Задача 3, група "Б"(Технически Университети): Нека е два пъти диференцируема,като за всяко

От условието следва, че за . Полагаме за . Тогава: , т. е. е стрoго изпъкнала в интервала . От неравенството получаваме . Ако , то , което е противоречие. Следователно, няма асимптота при . Аналогично се процедира при .

Означаваме дясната страна на неравенство (3) като и разглеждаме функцията . Очевидно тя е изпъкнала: g”(x) > 0 и следователно удовлетворява неравенството:

От това неравенство следва:

Стигнахме до очевидно невъзможното неравенство: 0 , което доказва, че f(x) няма асимптоти при . Аналогично се доказва,че f(x) няма асимптоти и при . С това доказателството е завършено.

при фиксирано к. Известно е също така,че при доказване на необходимостта на горното условие, к се намира по единствен начин:

Нека функцията

Сега ще изследваме поведението на функцията , получена при втория начин на доказателство на задача 3, група “Б”(Технически Университети), НСОМ’02 .Това е функция с псевдоасимптота,тъй като:

Фиг.1 показва графиките на функцията и ,когато x се изменя от 0 до 2.

Фиг.3 показва графиките на функцията и ,когато x се изменя от 0 до 1000.

Правим извода,че при достатъчно големи х в мащаб x:y = 1:2 графиките на двете функции се наслагват една върху друга.Подобно свойство се наблюдава и при вече споменатите логаритмични функции lnx, ln(1+x). Тази особеност на логаритмичната функция също лежи в основата на използуването на логаритмичните таблици: не се работи с големи числа.

Нека е два пъти непрекъснато диференцируема функция. Тогава:

1) Ако, x0,функцията f(x) няма асимптоти при

2) Ако , 0 f(x) има псевдоасимптота, но няма асимптота;

3) Ако f(x)

1) От условието следват неравенствата (след двукратно интегиране):

Тогава: при и,следователно,

2). Нека,0. Интегрираме тези неравенства:

От получените неравенства правим извода,че съществува , тъй като f’(x) е монотонно растяща (f”(x)>0) и ограничена. Записваме f (x) с формула на Тейлор от нулев ред: , откъдето имаме: . Без ограничение на общността, можем да приемем, че: f(0) = 0. Разглеждаме производната: . Имаме: . Тогава: , производната на функцията е положителна, тя е монотонно растяща и ограничена отгоре, т. е. съществува границата , т. е. f (x) има псевдоасимптота при . От друга страна, , . С други думи, функцията е монотонно растяща като функция на х и монотонно растяща като функция на аргумента следователно . От тези неравенства правим още един извод за числото . Доказателството, че няма асимптоти, е посочено в началото.

3) Нека. Интегрираме тези неравенства получаваме при

(6)

Тогава от посоченото по-горе доказателство в случай 2) следва,че функцията има псевдоасимптота,т.е. съществува . Остава да докажем, че съществува границата: .

Функцията е монотонно намаляваща: :.

Следователно трябва да докажем, че тя е ограничена отдолу. Имаме следните съотношения: . Последната неопределеност е близка по стойност до неопределеността , тъй като и вече видяхме, че . Имаме: . От условията на разглеждания случай следва, че . Следователно е ограничена и границата съществува. С това доказателството е завършено.

1. 
   Разглеждаме случая: .
   

2. 
   Разглеждаме случая: .
   

.

На фиг.5 и фиг.6 показваме графиките на f(x) и нейната асимптота,когато х се изменя от 0 до 10и от 0 до100,когато двете графики също се наслагват една върху друга.

1. 
   Формули за функции с псевдоасимптоти
   

Последователно интегрираме 2 пъти с помощта на системата за компютърна алгебра MATEMATICA 4.0:

където: HypergeometricPFQRegularized[,  , , ,  , , z] е т.н. регуляризирана обобщена хипергеометрична функция. Функцията се представя с развитието си в ред по следния начин:. С Gamma е означена известната гама – функция Г(х).

Интегрираме втори път :

Навигационната лента на сайта съдържа следните хипервръзки:

В Web страницата Критерий за псевдоасимптоти и асимптоти се анонсира един критерий за съществуване на псевдоасимптоти и асимптоти за диференцируеми функции, който разделя два пъти непрекъснато диференцируемите функции на три групи: функции без асимптоти,функции с псевдоасимптоти и функции с асимптоти.

Поради централното място, което този критерий заема, ще дадем съдържанието му и тук:

Критерий (достатъчно условие) за съществуване на псевдоасимптоти и асимптоти на диференцируеми функции.

Теорема. Нека е два пъти непрекъснато диференцируема функция.Тогава:

1)Ако,x0,функцията f(x) няма асимптоти при при ;

2)Ако , 0 f(x) има псевдоасимптота, но няма асимптота;

3) Ако f(x)

Web страницата «План за провеждане на практическо занятие по математически анализ на тема “Изследване поведението и построяване на графики на функции с пседоасимптоти и асимптоти” с помощта на система за компютърна алгебра” включва следните задачи за изпълнение от обучаемите:

1. 
   Теоретична част: обучаемите предварително са присъствували на лекция и са се запознали със съдържанието на темата и доказателството на критерия 1.1. Преподавателят обръща внимание на основните идеи и посочва съществуването на твърде широк клас елементарни и специални функции с псевдоасимптоти. Подчертава се сложността на пресмятанията и практическата полза за намирането на формулите с помощта на системи за компютърна алгебра.
   
2. 
   Предлага се на обучаемите сами да намерят формули за функции с псевдоасимптоти и асимптоти.
   
3. 
   Обучаемите построяват графики за получените функции в т. 2.
   
4. 
   Правят се сравнения между графиките на функциите и се обясняват разликите в поведението им спрямо техните псевдоасимптоти или асимптоти.
   
5. 
   Ако се разполага с няколко системи за компютърна алгебра, правят се сравнения между резултатите, получени с тях при едни и същи задания.
   
6. 
   Изводи: разсъждава се върху възможността за допускане на грешки и неточности при работа със системи за компютърна алгебра, констатирането и отстраняването им . Изтъкват се предимствата на работа със системи за компютърна алгебра за получаване и илюстриране на сериозни математически резултати.
   

Web страница: Графики на функции с псевдо асимптоти. Вариант : елементарни функции

Намираме стойността на интересуващата ни граница (1): = .

Web страница: Формули и графики за диференцируеми функции с асимптоти. Вариант: специални функции

Разглеждаме случая: ,т.е. при l = 2. След две интегрирания с помощта на системата за компютърна алгебра MATHEMATICA 4.0 получаваме формулата за следната специална функция с асимптота и намираме двете граници (1) :

и (2):.Построяваме графиките на функцията и нейната асимптота в интервала [1,5] (фиг. 3).

Изводи

Сравнява се поведението на функциите с псевдоасимптоти и асимптоти, разгледани в предидущите страници. Както и очаквахме, едва при значителни стойности на аргумента графиката на функцията с псевдоасимптота и тази на нейната псевдоасимптотата са неразличими, докато при функцията с асимптота това се наблюдава при значително по-малки стойности на х.