Задача Даден е триъгълник с върхове (2,1), (-3, 2), (1, -4). Намерете: а) Дължините на страните на триъгълника
Изтегляне 370.27 Kb.
|
 Университет за национално и светеовно стопанство
Гр. София Факултет „ Международна икономика и политика” Курсова работа по математика Задача 1. Даден е триъгълник с върхове (2,1), (—3, 2), (1, —4). Намерете: а) Дължините на страните на триъгълника. б) Координатите на средите на страните на триъгълника. в) Уравненията на страните на триъгълника. г) Дължините на медианите на триъгълника. е) Координатите на пресечната точка на медианите на триъгълника. ж) Разстоянията от върховете на триъгълника до неговите медиани. Решение: A (2, 1), B (– 3, 2), C (1, – 4). А) Дължините на страните на триъгълника:   
Б) Координатите на средите на страните на триъгълника: 
- координатите на средата на страната АС – точка N: A (2, 1); C (1, – 4); N (xN, yN)
B (– 3, 2); C (1, – 4); M (xM, yM) 
- координатите на средата на страната AB – точка L: A (2, 1); B (– 3, 2); L (xL, yL) 
B) Уравненията на страните на триъгълника: - уравнение на страната АВ: А (2,1) В (–3,2) 
- уравнение на страната ВС: B (– 3, 2,); C(1, – 4) 
- уравнение на страната АС: А (2,1); C(1, – 4) 
Г) Дължините на медианите на триъгълника:  
- дължина на медианата към страната ВС – АМ: 
- дължина на медианата към страната АС – ВN: 
- дължина на медианата към страната BA – CL: 
E) Координатите на пресечната точка на медианите на триъгълника: G – медицентър. Той дели медианите в съотношение λ = 2:1 = 2, гледано от върховете A, B и C. Разглеждаме медианата АМ (към страната ВС). Точка М дели страната ВС на 2 равни части:
? Уравнение на медианата BN:  
- разстоянието от точка А (2,1) към медианата BN: 
- разстоянието от точка С (1, – 4) към медианата BN: 
? Уравнение на медианата СL:   
- разстоянието от точка А (2,1) към медианата CL: 
- разстоянието от точка В (–3,2) към медианата CL: 
? Уравнение на медианата АМ:  
- разстоянието от точка В (– 3,2) към медианата AM: 
- разстоянието от точка C(1,– 4) към медианата AM: 
Задача 2. A) Да се решат по метода на Гаус системите линейни уравнения: 
Решение: (1) 
C С oзначаваме разширена матрица на системата линейни уравнения . Към елементите от 1ви ред, умножени с (– 1), прибавяме съответните елементи на 2ри ред. Към елементите от 2ри ред прибавяме съответните елементи на 3ти ред. Eлементите на 2ри ред умножаваме с (–1) . Към елементите от 3ти ред на новополучената матрица прибавяме съответните елементи на 1ви ред, умножени с 3. получаваме верига еквивалентни матрици:
Към елементите от 3ти ред на новополучената матрица, умножени с С ~  ~ 
. Последната матрица е разширената матрица на триъгълната система: 
която е еквивалентна на изходната. От третото уравнение x3 = 1, заместваме и намираме:
Към елементите от 1ви ред, прибавяме съответните елементи на 2ри ред. към елементите от 2ри ред, умножени с 3, прибавяме съответните елементи на 3ти ре. Eментите на 2ри ред на новополучената матрица разделяме на 2. Така получаваме верига еквивалентни матрици:
Елементите на 2ри ред умножаваме с С ~ Поради това то може да бъде премахнато от системата, без да се наруши нейната еквивалентност с предишните системи. 
Oпределяме от горната система "зависимите" базисни неизвестни x1 и х2 . Даваме на "свободните " неизвестни х3 и x4 произволни числени стойности. 
3а произволни реални числени стойности на свободните неизвестни х3 и x4 Є R съответната наредена четворка (3 – 4x2 – 3x4; 5/7 – 1/7x2 – 4/7x4; x3; x4) е общото решение на дадената изходна система. (3) 
Тази система линейни уравнения се различава от предишната система (2) само по свободния член от третото уравнение. Върху разширената матрица на системата С извършваме операциите, описани в предишната задача. C =  ~  ~ 
C ~  ~  .
Получаваме, че на третия ред в последната разширена матрица съответства линейното уравнение 0.x1 + 0.x2 + 0.x3 + 0.x4 = 4, в което коефициентите пред неизвестните са равни на нула и има ненулев свободен член, и следователно няма решение, понеже не се удовлетворява от никоя наредена четворка реални числа (x1, x2, x3, x4). Поради това и първоначално дадената система също няма решение. Б) С метода на Гаус Жордан намерете обратната матрица на матрицата: 
Образуваме разширената матрица (А | Е), от дясната страна на която е разположена единичната матрица. Умножаваме нейния 2ри ред с (– 1) и го събираме с 1ви ред. Умножаваме 3ти ред с (– 2) и го събираме с 2ри ред.  ~  .
Умножавам 1ви ред на последната матрица с (–1), след което го събираме с 3ти ред:
Умножаваме 3ти ред с 2 и го събираме с 2ри: 
Към елементите на 3ти ред прибавяме елементите на 2ри:  .
Към елементите на 1ви ред прибавяме елементите на 3ти ред:  .
Към елементите на 1ви ред и към елементите на 2ри ред прибавяме съответните елементи на 3ти ред, умножени с  .
Отдясно на вертикалната черта получихме обратната матрица: А-1 ~  .
В) С метода на Гаус - Жордан решете матричното уравнение. 
Това е уравнение от типа АХ=В. Образуваме разширената матрица:  .
Умножаваме 3ти ред с (–1) и го събираме с 1ви, за да получим на 1вo място в първия ред числото 1.  .
След това умножаваме новополучения 1ви ред с (– 2) и 3 и го събираме с 2ри и 3ти ред съответно.  .
Разделяме новополучения 2ри ред с 5 и след това го прибавяме към новополучения 3ти ред. Така получаваме:  ~  .
Разделяме с 3 3ти ред на последната матрица и получаваме : (A/B) ~ Това показва, че матрицата е решение на уравнението.  .
Задача 3. Да се изследва функцията  за локални екстремуми, монотонност, изпъкналост, асимптоти и да се начертае нейната графика.
всички реални числа х, за които знаменателят на функцията е различен от нула:  за 
 Следователно f(х) е нечетна.
следователно f (х) е непрекъсната и диференцируема за всяко  .
Намираме производните на функцията: Първа производна: 
Втора производна: 
Знаменателите на f'(x) и f"(x) са положителни и знаците на първата и втората производна се определят от знаците на числителите им. изследваме само числителите на производните. числителя на първата производна: По метода на интервалите определяме знаците му: за В точките в т. в т. 
числителя на втората производна: По метода на интервалите определяме знаците му: за Изключваме т. х = −2 и х = 2, т.к. те не принадлежат на дефиниционното множество. Следователно f(х) е: строго изпъкнала за и строго вдлъбната за Точката х = 0 е инфлексна точка, т.к. в нея втората производна си сменя знака.
Намираме границата на функцията когато х клони към −2 със стойности по малки от −2, т.е.: 
Намираме границата на функцията когато х ? −2 със стойности по-големи от −2, т.е. 
Аналогично намираме границата и когато х клони към 2: 
Изследваме границите при 
Левите и десните граници на функцията в точките х = −2 и х = 2 са безкрайни . Следователно в тях функцията има вертикални асимптоти. При Изследваме функцията за наклонени aсимптоти:
Следователно функцията f(х) има наклонена асимптота с уравнение у = х.
Тъй като f(х) = 0 за х = 0 е единственото решение на уравнението, следва, че точката (0,0) е точката, в която графиката на функцията пресича координатните оси. Нанасяме всички получени данни за функцията в таблицата
8) Построяваме графиката на функцията. 
Задача 4. Да се изследват за локални екстремуми функциите: а) б)  .
Решение: А) 
Функцията f(х,у) е дефинирана в   
 8х = 0 за х = 0
 6y = 0 за y = 0
следователно в т. (0,0)  
 , следователно в т. (0,0) функцията има локален екстремум f (0,0)= 0
 , следователно този екстремум е локален минимум.
Б)
  
Частните производни на функцията са дефинирани за всяко 8х = 0 за х = 0
– 6y = 0 за y = 0
следователно частните производни на функцията се анулират едновременно в т. (0,0). Вторите частни производни са непрекъснати функции и са дефинирани за всяко 
следователно в т. (0,0) функцията има локален максимум. Задача 5. Да се пресметнат неопределените интеграли: 
Решение: A)  
Б)  
 
В) 
 
Нека ex = t Г) 
Интегрираме по части:  
 
1). 
2). Решаваме отделно  чрез интегриране по части:
3). Пак решаваме отделно  чрез интегриране по части:
Заместваме този интеграл в 2): 
И този интеграл заместваме в 1): 
Д)  
 Е)  
Ж) 
Означаваме I  
 
 
 
 I +  .
Получаваме уравнение: I 2I I Този интеграл е решен в задача №5 (ж).  
за 
 
В) 
Този интеграл е решен в задача №5 (г). 
Г)  Интегрираме по части
:  
Интегрираме по части:  
Задача 7. Да се пресметнат несобствените интеграли: 
Решение: A) 
Интегралът е сходящ, т.к. е число. Б)  =
 
Интегралът е сходящ, т.к. е число. за xy < 1 В) 
за xy > -1 Интегралът е сходящ, т.к. е число. Г) 
 Нека 
Интегралът е сходящ, т.к. е число Задача 8 A) При едновременно хвърляне на два зара пресметнете:
Решение: При еднократно хвърляне на два зара пространството от елементарните събития Ω се състои от всички наредени двойки (m, n), където m и n са някои от числата 1, 2, 3, 4, 5 и 6 Ω = { (1,1), (1,2,),...(6,5), (6,6) }. Класическа вероятност:  – брой на изходите от опита, благоприятстващи настъпването на
събитието А;  – брой на всичките възможни изходи от опита.
вероятността да се падне пет и пет е 1/36. ( При едновременно хвърляне на два зара вероятността да се падне кой да е от чифтовете {1,1}, {2,2}, …, {6,6}, е равна на 1/36, т.к. броят на всички елементарни изходи от опита е Ω=36 ) 2) Чифт Вероятността да се падне поне един чифт вече е 6/36 = 1/6. 3) да не се падне чифт,т.е. двете числа да са различни, е противоположно събитие:  , тази вероятност е значително по-голяма.
Б) Явявайки се на изпит, студент е научил 18 от 24 въпроса от конспекта. Намерете вероятността да отговори на два, зададени му по случаен начин въпроси от конспекта. Решение: А = { студент знае по 1ви въпрос } Б = { студент знае по 2ри въпрос } P(A) = 
Вероятността студентът да знае и по двата изтеглени въпроса е вероятността на произведението AB на двете събития A и B.  , където  е вероятността студентът да знае по втория въпрос, при условие, че се е оказало, че знае по първия изтеглен въпрос. При това условие остават 23 въпроса, от които студентът знае по 17 от тях, т.е. сега условната вероятност =  Следователно търсената вероятност е  (или  )
В) Двама души стрелят по мишена независимо един от друг. Вероятността за попадение на мишената при единичен изстрел на първия е 0,5, а на втория - 0,7. Да се намери вероятността поне един от двамата да улучи мишената. Решение: А = { 1ви стрелец улучва мишената } Б = { 2ри стрелец улучва мишената } Независими събития А и Б: 
Вероятността поне един от двамата да улучи мишената е вероятността на обединението 
Г) Дадени са 15 съда. Първата група от тях се състои от 5 съда и всеки от тях поотделно съдържа по 13 бели и 7 черни топки. Втората група е от 7 съда и всеки от тях поотделно съдържа по 8 бели и 5 черни топки. Третата група, съдове е от 3 съда и всеки от тях поотделно съдържа по 11 бели и 7 черни топки. От един случайно избран съд изваждаме топка. Пресметнете: Решение: A. Каква е вероятността топката да е бяла? А1 = {извадената топка е от първата група съдове}, А2 = {извадената топка е от втората група съдове}, А3 = {извадената топка е от третата група съдове}, А = {извадена е бяла топка}.   
За търсената вероятност P(A) прилагаме формулата за пълната вероятност:  ,
където  =   =   = 
Заместваме във формулата за пълната вероятност: =
= B. При условие, че сме извадили бяла топка, каква е вероятността тя да е извадена от първата група съдове?
 .
Каталог: files -> files files -> Р е п у б л и к а б ъ л г а р и я files -> Дебелината на армираната изравнителна циментова замазка /позиция 3/ е 4 см files -> „Европейско законодателство и практики в помощ на добри управленски решения, която се състоя на 24 септември 2009 г в София files -> В сила oт 16. 03. 2011 Разяснение на нап здравни Вноски при Неплатен Отпуск ззо files -> В сила oт 23. 05. 2008 Указание нои прилагане на ксо и нпос ксо files -> 1. По пътя към паметник „1300 години България files -> Георги Димитров – Kreston BulMar files -> В сила oт 13. 05. 2005 Писмо мтсп обезщетение Неизползван Отпуск кт Изтегляне 370.27 Kb. Сподели с приятели:
|
Използваме формулите: 
λ = 2:1 = 2 Използваме формулите: 
~ 
~
.
, прибавяме съответните елементи от 2ри ред. Разделяме 3ти ред на матрицата на 4:
~ 
~
.
.
и получаваме:
.
.
:
.
за всички
;
за всички 
и
.
за:
и 
първата производна си сменя знаците, следователно в тези точки съществуват екстремуми:
f(x) има локален максимум, т.к. 
сменя знака си от «+» към «–»:
f(x) има локален минимум (знакът на 
за 
за
при x = 0, x = 2, x = – 2.
т.к 
:
x
.
.
на двете събития А и В:
.
по формулата на Бейс e: