Задача за две тела (Synge, 1940; Synge, 1960) и е показана тяхната еквивалентност
Изтегляне 266 Kb.
|
- Навигация на страницата:
- Задача на Кеплер в полярни координати
- Препоръчана за публикуване от
Годишник на Минно-геоложкия университет "Св. Иван Рилски"том 44-45, свитък III, Механизация, електрификация и автоматизация на мините, София, 2002, стр. 101-104 ВЪРХУ ЕКВИВАЛЕНТНОСТТА НА СИСТЕМИ ДИФЕРЕНЦИАЛНИ УРАВНЕНИЯ ВЪЗНИКВАЩИ В ЕЛЕКТРОМАГНИТНАТА ЗАДАЧА ЗА ДВЕ ТЕЛА
РЕЗЮМЕ
Разглеждат се два типа системи от уравнения на движението, възникващи в електромагнитната задача за две тела (Synge, 1940; Synge, 1960) и е показана тяхната еквивалентност. В представената статия се разглеждат два типа системи от уравнения на движението, възникващи в електромагнитната задача за две тела (Synge, 1940; Synge, 1960) и формулирани в (Angelov, 2002). Най-напред да припомним някои означения и резултати (Angelov, 2002; Angelov, 2000). Уравненията на движение въведени от J. L. Synge Означаваме както в (Synge, 1940) с 
пространствено-временните координати на движещите се частици, с  - техните собствени маси, с  - техните заряди,  - скоростта на светлината. Координатите на векторите на скоростта са
  .
Координатите на единичните допирателни вектори са  ,
където  , .
Следователно  .
Означаваме скаларното произведение в пространство-то на Минковски с Уравненията на Synge са:  (1)
където  . Да отбележим, че в (1) се сумира по . Елементите на електромагнитния тензор -  , се получават от закъсняващите потенциали (на Lienard-Wiechert)
  , т.е.
  .
Означаваме с  изотропния вектор (вж. [1], [2]):
където  , или
 (*)
 .
Пресмятайки както в (Angelov, 1990) можем да напишем уравненията от (1) във вида
   (2.)
  (2.4)
където  ,  .
Означаваме  ,
където  ,
 и
където точката означава диференциране по t. Както в (Angelov, 2000), където се доказва, че 4-то и 8-то уравнения са следствие от останалите, получаваме система от 6 уравнения. Сега можем да формулираме задача с начални условия по следния начин: да се намерят неизвестните скорости  , които удовлетворяват уравненията на движение  , както следва:
   
  
Припомняме, че в горните уравнения
 ,
докато в  , а закъсняващата функция  удовлетворява функционалните уравнения (*) за  .
За  функциите  са дадени:
 ,
където  .
Това означава, че за дадените траектории  за трябва да се намерят траектории удовлетворяващи горната система от уравнения при  . (Припомняме, че  , където  са началните координати).
Задача на Кеплер в полярни координатиСега ще разгледаме равнинно движение в координатната система  . Следователно, по необходимост,  . Преминавайки в полярни координати полагаме  , където  .
След преобразувания направени в (Angelov, 2002) получаваме следната система от втори ред: 
(4)
при и начални условия
 .
От друга страна, започвайки от началната форма на уравненията на Synge (Angelov, 2000), получаваме за кеплеровата задача следните уравнения на движение:  
Но  . Тогава с интегриране от 0 до t получаваме
 или
 (6)
където 
 ,
 .
Системите (6) и са еквивалентни, тъй като дясната страна на е непрекъсната вектор-функция на t (което е необходимо и достатъчно условие за еквивалентност на двете системи). Наистина вектор-функцията  е непрекъсната, тъй като 
Разбира се  , 
 .
Тогава от (с  за краткост) получаваме:
 (7)
Умножавайки първото уравнение с  , второто с  и сумирайки, получаваме уравнението
 ,
т.е.  .
С други думи получихме връзката  .
Умножавайки първото уравнение на (7) с  , а второто със  и сумирайки, и след това първото уравнение с  , второто с и сумирайки, получаваме системата  , или (като заместим ):
 (8)
Очевидно системите (8) и (4) са една и съща система, с точност до прехвърляне на събираеми, тъй като  .
ЛИТЕРАТУРА Synge J.L. 1940. On the electromagnetic two-body problem. Proc. Roy. Soc. (London), ser. A, 177, 118-139. Synge J.L. 1960. Classical Dynamics, Springer-Verlag, Angelov V.G. 2002. Plane orbits for Synge’s electrodynamics two-body problem (I). Seminar on Fixed Point Theory – Cluj-Napoca, to appear. Angelov V.G. 1990. On the Synge equation in 3-dimensional two-body problem of classical electrodynamics. J. Math. Anal. Appl., v.151, N 2, 488-511. Angelov V. G. 2000. Escape trajectories of J. L. Synge equations. J. Non. Anal. RWA, ser. B, v. 1, 189-204. Препоръчана за публикуване откатедра “Математика” на МЕМФКаталог: annual -> public html -> 2002 2002 -> Марин Цветков 2002 -> Annual of the University of Mining and Geology "St. Ivan Rilski" 2002 -> The mineralogical education in bulgaria as exposed in textbooks from the XIX and first half of the XX century 2002 -> Том 44-45, свитък III, Механизация, електрификация и автоматизация на мините, София, 2002, стр. 71-72 2002 -> Технология на обработка на гранитни материали за единични дебелостенни изделия 2002 -> Юлиян Димитров 2002 -> Пластична зона на срязване и разломи на крехко разрушаване в югозападния склон на златишко-тетевенска планина 2002 -> Том 44-45, свитък III, Механизация, електрификация и автоматизация на мините, София, 2002, стр. 105-108 2002 -> Том 44-45, свитък III, Механизация, електрификация и автоматизация на мините, София, 2002, стр. 73-75 2002 -> Том 45, свитък I, Геология, София, 2002, стр. 69-74 ценни съпътстващи компоненти в състава на българските медно-порфирни находища Изтегляне 266 Kb. Сподели с приятели:
|
, а с 
- скаларното произведение в 3-мерното евклидово подпространство.
за горните уравнения. Предполагаме, че 
е фиксирана в началото 
, т.е.