Задачи от системи линейни уравнения Съдържание
Изтегляне 53.08 Kb.
|
- Навигация на страницата:
- ЗАДАЧИ Задача 1
- Забележка
- Задача 2 .
- Задача 3
- Задача 4
- Задача 5
- Задача 6
- Задача 7
- Задача 8
- Задача 9
|
§4. Задачи от системи линейни уравнения Съдържание 1. Метод на Крамер за решаване на системи линейни уравнения 2. Метод на Гаус за решаване на системи линейни уравнения 3. Метод на Гаус-Жордан за решаване на системи линейни уравнения. ТЕОРИЯ Когато броят на уравненията и неизвестните е равен и ако детерминанта на основната матрица 
на системата 
е различна от нула, то системата има единствено решение, което се получава по формулите на Крамер  ,  ,
където детерминантите В общия случай на линейна система с 1) По метода на Крамер Основната детерминанта на системата е
Пресмятаме поотделно всяка от помощните детерминанти 
Тогава от формулите на Крамер получаваме  ,  и 
2) По метода на Гаус. Съставяме разширената матрица на системата като предварително разменяме местата на първо и трето уравнение, за да си осигурим удобен работен елемент за преобразуване на матрицата в трапецовидна. 
Съставяме система с коефициенти от последната матрица и я решаваме като от третото уравнение определяме единственото неизвестно 
3) По метода на Гаус-Жордан. Съставяме разширената матрица и извършваме последователно елементарни преобразования 
В този случай единственото решение на системата се получава на мястото на стълба на свободните коефициенти, т.е.  .
4) Като матрично уравнение. Образуваме основната матрица 
от коефициентите на системата и матрицата 
от свободни коефициенти и матрицата 
от неизвестните. В такъв случай трябва да решим матричното уравнение 
Определяме първо обратната матрица  ,
а след това извършваме умножението 
Забележка: Формулите на Крамер могат да се използват само ако основната детерминанта на системата е различна от нула. Решение на 1.2.Аналогично по някой от посочените по-горе методи, за системата 1.2 получаваме единственото решение  .
Задача 2. Да се докаже, че следната система е несъвместима 
Решение. Решаваме системата по метода на Гаус. Разширената матрица на системата е  .
Умножаваме последния ред с -1 и прибавяме към съответните елементи на първи ред, а след това умножаваме елементите на трети ред с -2 и ги прибавяме към съответните елементи на трети ред. Получаваме  .
Разменяме втори и трети ред  ,
умножаваме първи ред с -2, а след това с -1 и прибавяме съответно към втори и трети ред. Получаваме  .
Последното уравнение на преобразуваната разширена матрица Задача 3. Да се намерят всички решения на системата 
Решение. Решаваме системата по метода на Гаус. Разширената матрица на системата е  .
Последният ред на матрицата се състои само от нули (следствено уравнение) и при възстановяване на системата не го вземаме пред вид. Възстановената система е  .
В нея последното уравнение съдържа две неизвестни y и z. Полагаме  ,  и  .
Следователно общото решение на системата във векторно матричен вид се записва като  ,
където Задача 4. Да се реши системата 
Решение. Разменяме местата на първо и второ уравнение и образуваме разширената матрица на системата 
и посредством познатите елементарни преобразования достигаме до трапецовидна матрица 
Възстановената система има вида 
В последното уравнение има три неизвестни. Полагаме  ,  .
Тогава  ,
Следователно общото решение на системата във векторно матричен вид се записва като  ,
където Задача 5. Да се реши системата 
Решение. Съставяме разширената матрица на системата 
и я преобразуваме последователно в трапецовидна 
Възстановената система има вида 
От последното уравнение намираме  .
Задача 6. Да се реши системата 
Решение. Привеждаме разширената матрица на системата в трапецовидна форма 
Възстановената система има вида 
В последното уравнение полагаме  ,
където Задача 7. Да се реши системата 
Решение. Работейки по познатия начин, за разширената матрица последователно намираме 
Последното уравнение на преобразуваната система е противоречиво, следователно системата е несъвместима. Задача 8. Да се реши системата 
Решение. Преобразуваме разширената матрица 
Възстановената система има вида (записвайки само първите две уравнения, защото третото е същото като второто) 
В последното уравнение полагаме  ,
 .
Следователно общото решение на системата във векторно матричен вид се записва като 
където Задача 9. Да се реши системата 
Решение. Преобразуваме последователно разширената матрица 
Възстановената система има вида 
Във второто уравнение полагаме  и  ,
следователно общото решение на системата във векторно матричен вид се записва като 
където Каталог: NVUMathLectures -> JORGOV-EXERCISES -> VM-1 JORGOV-EXERCISES -> Задачи от степенни редове Съдържание JORGOV-EXERCISES -> Задачи от пресмятане на детерминанти Съдържание JORGOV-EXERCISES -> Задачи от действия с матрици Съдържание JORGOV-EXERCISES -> §11. Задачи от изследване на функции Съдържание JORGOV-EXERCISES -> §17. Задачи от пресмятане на пълна вероятност и формула на Бейс Съдържание Изтегляне 53.08 Kb. Сподели с приятели:
|
, 
, се 
-тия стълб се замени със стълба от свободните коефициенти. 
уравнения и 
неизвестни, системата се решава посредством елементарни преобразования върху разширената матрица по метода на Гаус или по метода на Гаус-Жордан.
.
, след което го заместваме във второто уравнение и намираме 
. Така намерените неизвестни заместваме в първото уравнение и намираме неизвестното 
. Това последователно е направено така
.
е противоречиво и очевидно няма решение, което означава, че и системата няма решение.
е параметър. В този случай системата е съвместима и неопределена – решението не е единствено. 
. След заместване в първото уравнение намираме 
и 
са параметри. 
. Заместваме последователно във третото, второто и първото уравнение и намираме единственото решение 
, след което чрез последователно заместване в предишните уравнения намираме 
, 
и 
, следователно общото решение на системата във векторно матричен вид се записва като
, 
. Тогава 
са параметри. 
и 
намираме