Зависимости между питагоровите тройки и степените на простите числа



Дата24.07.2016
Размер37.97 Kb.

ГОДИШНИК НА ТЕХНИЧЕСКИ УНИВЕРСИТЕТ – ВАРНА, 2007 г.


Зависимости между питагоровите тройки и степените на простите числа

инж. Иван Здравков Демиров*

*Технически Университет – гр. Варна, ул. „Студентска” № 1,

Е-mail: ivan_demirov@abv.bg



Резюме: В настоящата статия са разгледани някои зависимости между питагоровите тройки числа и степените на простите числа. Разгледани са три основни постановки: когато разликата между хипотенуза и катет е две на дадена степен; когато разликата е просто число повдигнато на степен; когато разликата е произведение от предните две.

Ключови думи: просто число, разлика, степен.

Основна постановка: В питагоровите тройки числа, разликата между хипотенузата и единия катет е равна на d.

b2 = d(2a + d); a; c = a + d.

1.Да разгледаме случаите, когато разликата d е равна на степените на простото число p (p ≠ 2).

1.1 Когато степента е четна , например d = p2m, където p е просто число. Тогава получаваме за b2 = p2m (2a + p2m). Полагаме 2a + p2m = k2 (k > pm; k е нечетно положително число) и получаваме

(1.1) b = pm.k; a = (k2 - p2m ) / 2; c = (k2 + p2m ) / 2.

1.2 Да разгледаме и случая , когато p е на нечетна степен ; d = p2m+1

b2 = p2m+1.(2a + p2m+1). За да бъде точен квадрат , трябва a = s.p (s е естествено число); b2 = p2m+2 (2s + p2m ). Полагаме 2s + p2m = k2 (k > pm; k е нечетно положително число) и получаваме: s = (k2 - p2m) / 2 , оттук следва:

(1.2) b = pm+1.k; a = p.(k2 - p2m ) / 2; c = p .(k2 + p2m ) / 2.

Този резултат се получава от (1.1.) като го умножим с p.

Когато p = 3, а m = 0 получаваме задача 3, стр. 70 [1].



2. Да разгледаме случаите, когато разликата d е равна на степените на двойката.

2.1 Тук разглеждаме първо случая с нечетна степен. Нека d = 22n+1 и получаваме за b2 = 22n+2 (a + 22n ). Полагаме a + 22n = k2 (k > 2n) и получаваме:

(2.1) b = 2n+1.k; a = k2 - 22n; c = k2 + 22n.

Когато n = 0 получаваме задача 2, стр. 70 [1]; при n = 1, получаваме задача 6, стр.71 [1].

2.2 Нека сега степента е четно число : d = 22n+2 , тогава b2 = 22n+2 ( 2a + 22n+2 )

b2 = 22n+3 ( a + 22n + 1 ). За да бъде точен квадрат трябва a = 2.s (s е естествено число); b2 = 22n+4 ( s + 22n ). Полагаме s + 22n = k2 (k > 2n) и получаваме:

(2.2) b = 2n+2. k; a = 2 (k2 - 22n); c = 2 (k2 + 22n).

Този резултат се получава от (2.1.) като го умножим с двe.



3. Да разгледаме случая , когато разликата d е равна на произведение от степен на двe и степен на друго просто число.

3.1 Нека d = 22n+1. p2m, тогава получаваме за b2 = 22n+1. p2m (2a + 22n+1. p2m) = 22n+2.p2m.(a + 22n.p2m). Полагаме a + 22n.p2m = k2 (k > 2n.pm) и получаваме :

(3.1) b = 2n+1.pm.k; a = k2 - 22n. p2m; c = k2 + 22n. p2m.

3.2 Нека d = 22n+2.p2m; получаваме b2 = 22n+2.p2m.(2a +22n+2. p2m); => b2 = 22n+3.p2m.(a + 22n+1.p2m). За да получим точен квадрат трябва a = 2s (s е естествено число).

b2 = 22n+4.p2m.(s + 22n. p2m ) ; полагаме s + 22n. p2m = k2 (k > 2n.pm) и получаваме:

(3.2) b = 2n+2.pm.k; a = 2.(k2 - 22n. p2m); c = 2.(k2 + 22n.p2m).

Този резултат се получава от (3.1.) като умножим с две.

3.3 Нека d = 22n+1.p2m+1 ; тогава b2 = 22n+1. p2m+1.(2a + 22n+1. p2m+1); b2 = 22n+2. p2m+1.(a + 22n. p2m+1). За да стане точен квадрат трябва a = p.s (s е естествено число).

b2 = 22n+2. p2m+2 ( s + 22n. p2m ) ; полагаме s + 22n. p2m = k2 (k > 2n.pm) и получаваме:

(3.3) b = 2n+1. pm+1.k; a = p.(k2 - 22n. p2m ); c = p.(k2 + 22n. p2m).

Този резултат се получава от (3.1) като се умножи с p.

3.4. Нека d = 22n+2.p2m+1; => b2 = 22n+2.p2m+1.(2a + 22n+2.p2m+1) = 22n+3.p2m+1.(a+22n+1.p2m+1), оттук следва, че a = 2.p.s, за да има точен квадрат (s е естествено число); b2 = 22n+4.p2m+2.(s + 22n.p2m) правим полагане: s + 22n. p2m = k2 (k > 2n.pm) и получаваме:

(3.4) b = 2n+2.pm+1.k; a = 2p.(k2 - 22n.p2m); c = 2p.(k2 + 22n.p2m).

Този резултат можем да получим от (3.1) като умножим с 2p , а може да се получи и от (3.2) като умножим с p , можем и от (3.3) като умножим с две.

приложената таблица се вижда, че когато разликата d между катета и хипотенузата се увеличава, разликата между двата катета намалява. Тази зависимост се запазва дори и при големи стойности на k.
Литература:

1. Математика, информатика и образование, ВСУ "Черноризец Храбър", 2007г, стр. 69 –74.











База данных защищена авторским правом ©obuch.info 2016
отнасят до администрацията

    Начална страница