LES PÔLES _____________________________________________________________________ POLES

_____________________________________________________________________

Et si j’enlevais ... tout ?

_____________________________________________________________________

And if I cut it all out ?

_____________________________________________________________________

А ако отрежа всичко?

_____________________________________________________________________

Comment tout ?!?

_____________________________________________________________________

Wodjer mean, all ?

____________________________________________________________________

Как всичко?

_____________________________________________________________________

Oui, si j’enlevais pratiquement TOUT le plan

_____________________________________________________________________

Well – suppose I cut out ALMOST all of the plane ?

_____________________________________________________________________

Ако на практика отрежа ЦЯЛАТА плоскост?

_____________________________________________________________________

19

Bon, voilà mon cône

Now you see the point of my remark.

_____________________________________________________________________

Ето го моя конус.

_____________________________________________________________________

Vous appelez cela un cône ?

_____________________________________________________________________

Are you tryin’ ter needle me ?

_____________________________________________________________________

Вие това конус ли го наричате?

_____________________________________________________________________

Misère ...

_____________________________________________________________________

Oh 'eck ...

_____________________________________________________________________

Неприятно...

En fait, les MAILLAGES obtenus par Anselme auraient pu être construits en étirant le

matériau

_____________________________________________________________________

Another way to produce the tilings that Archie got is to stretch some fabric.
_____________________________________________________________________

Всъщност МРЕЖАТА, получена от Анселм, може да бъде направена чрез разтегляне на материала.

_____________________________________________________________________

En enlevant pratiquement tout le plan et en appliquant ce procédé, on obtiendrait ceci :

_____________________________________________________________________

Removing almost all of the plane and applying this procedure in reverse, you get this :

a pattern like meridians and parallels ...

_____________________________________________________________________

Отрязвайки на практика цялата плоскост и прилагайки този метод, ще получим следното:

_____________________________________________________________________

Et on obtient alors un PÔLE

_____________________________________________________________________

... at a POLE.

_____________________________________________________________________

получаваме ПОЛЮС.

_____________________________________________________________________

Le pôle, c’est ce qui reste quand on a tout enlevé. Ce point représente une courbure

concentrée égale à 360°

_____________________________________________________________________

A pole is what’s left when you take everything else away. Just a concentrated curvature

of 360°. Of course, the earth’s poles aren’t like that, because you don’t have to stretch the surface to see the pattern.

_____________________________________________________________________

Полюсът е това, което остава, когато отрежем всичко. Тази точка представлява концентрична кривина, равна на 360°.

_____________________________________________________________________

20

Tout à l’heure, j’avais pavé des espaces à deux dimensions (surfaces) avec des quadrangles.

_____________________________________________________________________

A while ago I tiled my two-dimensional spaces (surfaces) with squares. But I could have done it equally well with triangles ...

_____________________________________________________________________

Току-що облицовах моите двуизмерни пространства (повърхности) с четириъгълници. Но спокойно мога да го направя и с триъгълници.

_____________________________________________________________________

Ou avec des hexagones

_____________________________________________________________________

... Or hexagons.

_____________________________________________________________________

Или с шестоъгълници.

_____________________________________________________________________

Ces maillages en triangles équilatéraux permettent d’engendrer les cônes d’angle 60°,

120°, 180°, 240° et 300°

_____________________________________________________________________

Triangular tilings let us make cones with angles of 60°, 120°, 180°, 240° and 300°. _____________________________________________________________________

Тези мрежи от равностранни триъгълници позволяват да се създадат конуси с ъгли 60°, 120°, 180°, 240° и 300°.
_____________________________________________________________________

21

En insérant un secteur d’angle θ, je crée une courbure négative -θ, concentrée au sommet

_____________________________________________________________________

On the other hand, by inserting a sector with angle θ, I can create a point of negative curvature, concentrated at the tip of this negacone.
_____________________________________________________________________

Включвайки сектор с ъгъл θ, създавам отрицателна кривина –θ, разположена във върха на този отрицателен конус.

Quantité de courbure concentrée = -180°, etc ...

Concentrated curvature of -180°, etc ...

Количеството концентрирана кривина = -180°, и т. н.

On peut aussi faire de jolis négacônes avec des maillages triangulaires.

You can make some pretty negacones using triangular tilings, too.

_____________________________________________________________________

Могат да се създават прекрасни отрицателни конуси от триъгълни мрежи.

_____________________________________________________________________

22

MESURE DE LA COURBURE

_____________________________________________________________________

MEASURING CURVATURE

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

Voici Anselme très occupé à jouer une marelle d’un nouveau genre
_____________________________________________________________________

Archie seems to be playing a cross between dominos and hopscotch.

Анселм е много зает с някакъв странен вид игра на дама.

_____________________________________________________________________

Le jeu consiste à entourer un point de concentration de courbure avec des carreaux en respectant la continuité du flêchage. Quand on a fait un tour autour du point P, l’angle dont la flêche a tourné donne une mesure directe de la courbure θ

_____________________________________________________________________

The object of the game is to completely surround a point of concentrated curvature with squares, keeping the direction of the arrow the same from one to the next. When you go

all the way round P, the angle through which the arrow has turned gives a direct measure of the curvature θ.

_____________________________________________________________________

Играта се състои в това да се обгради центърът на кривината с квадрати, като се спазва посоката на последователните стрелки. Когато кръгът около точка Р е направен, ъгълът, по който стрелката се е завъртяла указва размера на кривината.
_____________________________________________________________________

Il faut que mes carreaux soient bien jointifs

Hmmm ... Pennsylvania Avenue ?

Важно е квадратите да са добре свързани един с друг.

PLAN
_____________________________________________________________________

PLANE
_____________________________________________________________________

РАВНИНА

CYLINDRE
_____________________________________________________________________

CYLINDER
_____________________________________________________________________

ЦИЛИНДЪР

CÔNE

CONE

КОНУС

Quelques exemples :

Plan, cylindre, cône (sans entourer le sommet) : quantité de courbure : zéro

_____________________________________________________________________

Some examples :

Plane, cylinder, cone (not surrounding the tip) – curvature zero.

_____________________________________________________________________

Няколко примера:

Равнина, цилиндър и конус (без да обграждаме върха) – кривината е нулева.

_____________________________________________________________________

POSICÔNE + 90°

_____________________________________________________________________

POSICONE + 90°
_____________________________________________________________________

ПОЛОЖИТЕЛЕН КОНУС + 90°

_____________________________________________________________________

NEGACÔNE - 180°

_____________________________________________________________________

NEGACONE - 180°

_____________________________________________________________________

ОТРИЦАТЕЛЕН КОНУС - 180°

_____________________________________________________________________

Tournons autour du point dans un sens quelconque. Si la flêche tourne dans le même

sens, il s’agira d’un posicône. Si elle tourne en sens inverse, il s’agira d’un négacône.
_____________________________________________________________________

Go once round the point in any direction. If the arrow turns the same way, you’ve got a

posicone the other way, and you’ve got a negative one.
_____________________________________________________________________

Да се завъртим около точката в която и да е посока. Ако стрелката се върти в същата посока, имаме положителен конус. Ако се върти в обратна посока, имаме отрицателен конус.

_____________________________________________________________________

23

Je vais fabriquer des posicônes ayant chacun un très petit angle θ

I’ll make some nearly flat posicones, each with a very small angle θ.

_____________________________________________________________________

Сега ще си направя положителни конуси, всички с много малък ъгъл θ.

_____________________________________________________________________

Des atomes de courbure en quelque sorte ...

_____________________________________________________________________

Atoms of curvature, so to speak.

_____________________________________________________________________

Така да се каже, атоми на кривината.

_____________________________________________________________________

Et puis je vais les coller ensemble

_____________________________________________________________________

Then I’ll glue them together.

_____________________________________________________________________

После ще ги залепя заедно.

_____________________________________________________________________

COLLE

GLUE

ЛЕПИЛО

J’obtiens une surface sur laquelle je vais tracer des triangles faits de géodésiques,

obtenues à l’aide de ruban adhésif.

_____________________________________________________________________

I get a surface on which I can draw triangles made from sticky-tape geodesics.

_____________________________________________________________________

Получавам повърхност, върху която ще начертая триъгълници, състоящи се от геодезически линии, получени с помощта на тиксо.
_____________________________________________________________________

La somme des angles du triangle dépasse 180° d’une valeur qui est égale à la somme

des angles des cônes élémentaires dont les sommets sont contenus dans ce triangle.

La Direction

_____________________________________________________________________

The angle-sum of a triangle exceeds 180° by an amount equal to the sum of the angles

of the elementary cones whose peaks are contained in the triangles.

The Boss

_____________________________________________________________________

Сумата от ъглите на триъгълника е по-голяма от 180° от стойността, която е равна на сумата от ъглите на обикновените конуси, чиито върхове влизат в този триъгълник.

Ръководството

_____________________________________________________________________

Ce que nous appelons habituellement une surface courbe peut être considéré comme

un assemblage d’un très grand nombre de microcônes collés ensemble

A curved surface, in the usual sense of the phrase, can be thought of as a very large

number of tiny microcones, glued together.

_____________________________________________________________________

Това, което обикновено наричаме крива повърхност, може да бъде считано за съвкупност от множество микроконуси, слепени един с друг.
_____________________________________________________________________

On peut aussi assembler des NÉGACÔNES, ou des POSICÔNES et des NÉGACÔNES.

Dans ce cas, la somme des angles du triangle vaudra 180°, plus la quantité de courbure

qu’il contient, comptée algébriquement.

_____________________________________________________________________

You can also join together negacones ; or a mixture of posicones and negacones.

In that case, the angle-sum of a triangle will be 180°, plus the total amount of curvature inside it, counted algebraically (plus for posicones and minus for negacones).

_____________________________________________________________________

Така можем да създадем съвкупности и от ОТРИЦАТЕЛНИ КОНУСИ или от ПОЛОЖИТЕЛНИ и ОТРИЦАТЕЛНИ конуси. В такъв случай сумата от ъглите на триъгълника ще бъде равна на 180°, повече от размера на кривината, която съдържа, изчислена математически.

_____________________________________________________________________

24

PATCHWORK
_____________________________________________________________________

PATCHWORK
_____________________________________________________________________

ПАЧУЪРК
_____________________________________________________________________

Sophie, qu’est-ce qui se passe si j’assemble des NÉGACÔNES ?

Sophie ; what will I get if I assemble a lot of negacones ?

Софи, какво става, когато направя съвкупност от ОТРИЦАТЕЛНИ КОНУСИ?

_____________________________________________________________________

Par exemple des négacônes θ = -180°. Leur contour correspond à un hexagone qui aurait

ses six angles droits
_____________________________________________________________________

For example, negacones with θ = -180°. Their boundary is a hexagon with six right angles.

Например отрицателни конуси θ = -180°. По форма те приличат на шестоъгълник, който има шест прави ъгли.

_____________________________________________________________________

On peut d’abord les assembler quatre par quatre

So you can join them up, four at a time.

Първо можем да ги съединим четири по четири.

Si tu en assembles vingt, tu obtiens cet élément de surface à courbure négative, chacun se plaçant sur un des vingt sommets d’un DODÉCAÈDRE (*)

By putting twenty of them together, you get this piece of a surface of negative curvature, arranged like the twenty corners of a DODECAHEDRON. (*)

Ако съединиш двадесет, получаваш такава част от повърхността с отрицателна кривина, като всеки шестоъгълник се намира на един от двадесетте върха на ДОДЕКАЕДЪР. (*)

_____________________________________________________________________

(*) Du Grec DODEKA = Douze + EDRA = BASE

(*) From the Greek : DODEKA = Twelve 'EDRON = SID

_____________________________________________________________________

(*) От гръцки - DODEKA = 12 + EDRA = СТРАНА

25

Le même objet où l’on a réparti plus uniformément la courbure négative.

up from sixty hexaorthogons.

Това е същият обект, където отрицателната кривина е разместена равномерно. Той е съставен от 16 правоъгълни шестоъгълника.

_____________________________________________________________________

Un soixantoèdre, en quelque sorte ...

A SIXTYHEDRON, yer might say ...

Един вид шестнадесетоедър.

_____________________________________________________________________

On dirait une vertèbre de DODÉCAÈDRODON

Looks more like a vertebra of an extinct DODECAHEDRODON to me.

Може да се каже „скелет на ДОДЕКАЕДРОДОН”.

_____________________________________________________________________

Si vous étiez carreleur, et si vous utilisiez des carreaux hexaorthogonaux, voilà à quoi

ressemblerait votre sol.
_____________________________________________________________________

If your job was to lay tiles, and your tiles were hexaorthogons, that’s the shape of floor you’d get.

Ако поставяхте плочки и те са правоъгълни шестоъгълници, така щеше да изглежда подът.

_____________________________________________________________________

Mon cher, je me suis laissé dire qu’en modifiant les gènes d’un escargot, on pourrait

faire en sorte que sa coquille ...
_____________________________________________________________________

You know, me old duck, h’it’s just struck me that by performin’ a bit of genetic h’engyneerin’ on a snail, yer could h’arrange for it’s shell to be ...

Скъпи, осмелявам се да кажа, че променяйки гените на охлюва, ще се получи нещо като неговата черупка.

_____________________________________________________________________

Cet exemple montre comment la distribution de la courbure peut conditionner la forme

des objets.
_____________________________________________________________________
Here’s a good example of the way the distribution of curvature determines the shape of

an object.

Този пример показва как разпределението на кривината може да повлияе върху формата на обекта.

Quelle horreur !!!

Ugh ! How Nasty !

Ужас!

26

TROIS DIMENSIONS

_____________________________________________________________________

Sopie, est-ce qu’on peut VOIR la courbure de notre espace à TROIS dimensions ?
_____________________________________________________________________

Sophie, is there any way to see curvature in our usual space of three dimensions ?

Софи, може ли да се ВИДИ кривината от нашето ТРИИЗМЕРНО пространство?

_____________________________________________________________________

C’est difficile, puisque tu habites dedans

It's difficult, because you're living in it.

Трудно е, защото ти живееш в него.

Voyons, j’ai vu qu’on pouvait projeter des géodésiques d’une surface (à deux

dimensions) sur un plan (2 dimensions)
_____________________________________________________________________

One way to picture the curvature of a surface is to project its geodesics on to a plane.

Я да погледна. Видях, че геодезическите линии на една повърхност (с две измерения) могат да се проектират върху плоскост (с две измерения).

_____________________________________________________________________

Cette "bosse" correspond à une concentration de courbure positive, entourée d’un halo

de courbure négative.
_____________________________________________________________________

This 'bump' corresponds to a concentration of positive curvature, surrounded by a halo

of negative curvature. It's as plain as the - er – beak on your face, Lenny.
_____________________________________________________________________

Тази „гърбица” съответства на концентрацията на положителната кривина, заобиколена от ореол от отрицателна кривина.

_____________________________________________________________________ Regarde maintenant un cube habillé avec de la ficelle
_____________________________________________________________________

Now, take a look at this cube, all tied up with string.

А сега виж този куб, обвит с връвчици.

_____________________________________________________________________

27

maintenant, je fais glisser les ficelles, comme ceci :

I'll slide the string sideways, like this.

_____________________________________________________________________

Сега ще „разопаковам” куба, ето така:

_____________________________________________________________________

En assemblant ainsi huit de ces cubes, on obtient la projection à trois dimensions,

dans un espace euclidien (sans courbure), des géodésiques d’une région d’un espace tridimensionnel où une courbure positive est entourée d’un halo de courbure négative.

_____________________________________________________________________

By fitting together eight of these cubes, we get the projection into three-dimensional euclidean space (having zero curvature) of the geodesics in a piece of a three-dimensional space, in wich a region of positive curvature is surrounded by a halo of negative curvature.

A three-dimensional bump !

_____________________________________________________________________

Съединявайки по този начин осем подобни куба, се получава триизмерна проекция в евклидово пространство (без кривина) на геодезическите линии на една част от триизмерното пространство, където положителната кривина е заобиколена от ореол с отрицателна кривина.

_____________________________________________________________________

En assimilant ces géodésiques à des TRAJECTOIRES, on trouverait d’abord une

répulsion, puis une attraction, puis une répulsion
_____________________________________________________________________

If you think of these goedesics as the TRAJECTORIES of a moving particle, it appears to undergo first a repulsion, then an attraction, and then a repulsion again.

Приравнявайки тези геодезически линии с ТРАЕКТОРИИ, в началото ще констатираме отблъскване, след това привличане, после отново отблъскване.

28

En faisant glisser les fils de cette façon et en assemblant convenablement les cubes,

an image of a world populated by regions of both positive and negative curvature :

Като плъзгаме връвчиците по този начин и като съединяваме кубовете, ще създадем образ на света, изпълнен с положителни и отрицателни кривини.

Quand on y regarde de près, il s’agit de déformations affectant des CUBES emplissant l’espace tridimensionnel

Ifyou look at it closely you'll see it can also be built up by deforming the usual CUBES

of Euclidean three-dimensional space.
_____________________________________________________________________

Когато погледнем облизо, ще установим деформации, засягащи КУБОВЕТЕ, които изпълват триизмерното пространство.

_____________________________________________________________________

Tiens, c’est curieux, je pourrais empiler tous ces cubes bizarres et remplir l’espace.

It's very curious that you can pile up all these weird cubes and still fill up the space.

Я виж, много интересно – мога да струпам всички тези странни кубове и да запълня пространството.

29