1. 1 Активност: Въведение в в безкрайните процеси Предмет на активността

Тази активност е увод към безкрайните процеси. Това се достига чрез прилагане методa на изчерпването (метода на Евдокс – Архимед) за пресмятане лицето на единичния кръг.

Тази активност предвижда:

да въведе учениците по един естествен начин в използването безкрайни процеси за решаването задачи, които не могат да бъдат решени по друг начин.

Да помогне на учениците да се срещнат с метода на изчерпването (и на идеята за безкрайността зад него) в една среда без алгебрични пресмятания.

да запознаят учениците със смяната на представянията на зададена среда, където графичните и числените представяния са комбинирани хармонично.

Методология на активността:

Тази активност въвежда учениците в безкрайните процеси използвайки задачата за пресмятане на лицето на единичния кръг. Тази задача не може да се реши с използването на по-раншни познания на учениците, тъй като кръгът не може да се раздели на многоъгълници. Учениците обаче, могат да използват своите по-знания за многоъгълниците, за да се приближат до непознатото лице на кръга. Понятието безкраен процес се появява естествено като средство, което позволява приближаване до непознати величини без значение колко скрити са те, чрез безброй много известни количества. Тази идея подготвя почвата за запознаване на уче-ниците с понятието за граница на следващ етап. Използването на динамичен геометричен софтуер не само позволява графично представяне на проблема, но също така опростява изчислителните трудности присъщи на пресмятането на лицата на многоъгълниците, давайки на учениците възможност да се фокусират на безкрайните процеси.

Тази активност може да бъде предложена като въведение към увод в анализа или към анализа. Учениците на това ниво не са запознати с безкрайните процеси. Предполага се да продължи един час.

Това е общ въпрос, който ще въведе учениците в безкрайните процеси.

Ние очакваме, че някои от учениците знаят формулата, даваща лицето на

кръга и може да отговорят, че търсеното лице е равно на π.

В този случай може да се състои дискусия по следните въпроси:

Защо това лице е равно на π?

Как се е появила формулата Ε=πR² ?

Как може да пресметнем π?

За да се реши тази задача започваме с три въпроса отнасящи се до основни познания за измерването на лица.
В1. Какво означава, че лицето на един триъгълник е равно на 4.5?

Това означава, че четири и половина квадрата със страна с дължина 1 съот-ветстват на този триъгълник.

Може да има дискусия за измерването на лица и за мерните единици за лица.
В2: Намерете геометрични фигури, чиито лица може да се изме-рят с горния метод.

Можем да пресмятаме лицата на многоъгълници като използваме горния метод.

Може да има дискусия как можем да пресмятаме лицето на многоъгълник чрез разделяне на по-малки праволинейни фигури с лесни за пресмятане лица.
В3: Може ли да разделим кръга на някакъв брой фигури с из-числими лица?

Този въпрос е еквивалентен на следния въпрос: можем ли да разделим кръга на многоъгълници? Страните на многоъгълника са отсечки от прави линии.Кръгът не може да бъде разделен на многоъгълници. Отрицателният отговор води до следващия въпрос.

Нарисувайте два квадрата: единият вписан в кръга, а другият описан около него.

Опитайте се да отговорите на въпроса като използвате файла 1.1.1.activity.en.euc .Средата ни осигурява следното:

Можем да видим кръга.

Бутонът sides (страни) контролира броя n на страните на правилните вписани и описани многоъгълници.

Когато е натиснат бутонът circumscribed (описан), се появява описаният многоъгълник. Второ кликване води до изчезване на многоъгъл-ника.

Бутонът inscribed (вписан) действа по подобен начин. Лицата на многоъгълниците и тяхната разлика също се появяват.

Бутонът magnification (увеличение) дава прозорец около предварително опре-делена точка от кръга. Чрез уголемяване достигаме до по-точен фокус.

Като използваме гореспоменатите лица можем да достигнем до първата оценка на търсеното лице Е. Тази оценка очевидно не е достатъчно добра.Така стигаме до следния въпрос:

Този въпрос е критична точка, след която учениците могат да преминат към успешна апроксимация (приближение). Вероятно учениците могат да отгатнат, че едно нарастване на броя на страните дава по-добри оценки. Инструкторът може да подтикне учениците да се фокусират на разликата от лицата на вписания и описания многоъгълници, когато n расте. Разликата показва колко близки са лицата на многоъгълниците и на кръга.

В случай на числа като 0.09, дадени в горната таблица, се очаква учениците да намерят стойността на n така, че разликата на двете лица да е по-малка от 0.09. 3.14…означава, че броят на страните е такъв, че вписаният и описаният много-ъгълници имат лица със съвпадащи два знака след десетичната запетая.

На горните въпроси учениците може да дават различни отговори.
В9: Има ли стъпка в този процес, при която вписаният и описа-ният многоъгълници да имат същото лице като лицето на кръга?

За да отговорите на въпроса можете да използвате zoom-in (мащабиращ) инструмент и да се фокусирате върху една точка от окръжността. С уголемяване на zooming scale (размер на увеличение) може да се постигне по-добро фокусиране.

Очевидно никакъв многоъгълник не може да съвпада с окръжността.


В10: Ще завърши ли процесът?
Тъй като процесът не се прекратява, то той може да продължи безкрайно.Това означава, че може да получаваме многоъгълници с все повече страни. В този пункт ние минаваме към безкрайните процеси.
В11: Какво е числото, към което се приближава разликата на лицата?
Разликата се приближава към 0, когато броят на страните става по-голям.
В12: Колко близо до това число може изобщо да стигне тази разлика?
Ние можем да направим разликата толкова близка до 0, колкото искаме, стига да бъде избрано подходящо голямо число за броя на страните.
В13: Колко добре може да се приближим до лицето на кръга?
В съгласие с предходния въпрос ние може да се приближим до лицето на кръга колкото искаме.
1.1.1 Работен лист

Въведение в Безкрайните Процеси
ЗАДАЧА

Как можем да пресметнем лицето на кръг с радиус R=1?


В1. Какво означава, че лицето на един триъгълник е равно на 4.5?

В2: Намерете геометрични фигури, чиито лица може да се изме-рят с горния метод.


В3: Може ли да разделим кръга на някакъв брой фигури с из-числими лица?

В4: По какъв начин е възможно да се свърже търсеното лице с лицата на многоъгълниците?
Нарисувайте два квадрата: единият вписан в кръга, а другият описан около него.

Опитайте се да отговорите на въпроса като използвате файла 1.1.activity.en.euc .Средата ни осигурява следното:

Можем да видим кръга.

Бутонът sides (страни) контролира броя n на страните на правилните вписани и описани многоъгълници.

Когато е натиснат бутонът circumscribed (описан), се появява описаният многоъгълник. Второ кликване води до изчезване на многоъгълника.

Бутонът inscribed (вписан) действа по подобен начин. Лицата на многоъгълниците и тяхната разлика също се появяват.

Бутонът magnification (увеличение) дава мащабиращ прозорец около предварително определена точка от кръга. Чрез уголемяване достигаме до по-точен фокус.

В5: Каква е съотношението между лицето Е на кръга и лицата на тези два квадрата?
В6: Каква е разликата от лицата на тези квадрати?
В7: Посредством какъв процес е възможно да се получи по-добро приближение за Е?
В8: Попълнете следната таблица:

N	Лице на вписания n-ъгълник	Лице на описания n-ъгълник	Разликата от лицата е по-малка или равна на
4
5
6
10
12
			0,09
	3,1…	3,1…
			0,009
	3,14…	3,14….
			0,0009
	3,141…	3,141…
			0,00009

В9: Има ли стъпка в този процес, при която вписаният и описа-ният многоъгълници да имат същото лице като лицето на кръга?

За да отговорите на въпроса можете да използвате zoom-in (мащабиращ) инструмент и да се фокусирате върху една точка от окръж-ността. С уголемяване на zooming scale (размер на увеличение) може да се постигне по-добро фокусиране.