1 Спектрален анализ на периодични сигнали 1 Представяне на периодичен сигнал чрез тригонометричен ред на Фурие



Дата11.01.2018
Размер175.97 Kb.
#44158
СПЕКТРАЛЕН АНАЛИЗ НА НЕПРЕКЪСНАТИ СИГНАЛИ ТЕОРЕТИЧНИ ОСНОВИ И ПРИЛОЖЕНИЕ В ПРАКТИКАТА
1.1. Спектрален анализ на периодични сигнали
1.1.1. Представяне на периодичен сигнал чрез тригонометричен ред на Фурие
Най-простият периодичен сигнал е хармоничното трептение, което се изразява чрез функцията




(1.1а)

при ,

като А е амплитудата, Ω – честотата, а φ - началната фаза на хармоничното трептение. Те са постоянни.

По-нататък ще бъдат разгледани сложните периодични сигнали. Това са сигнали с форма, отлична от тази на елементарното хармонично трептение. Техният анализ е предпоставка за по-доброто разбиране на процесите в устройствата и каналите за връзка. Типични представители на този тип сигнали са периодичните правоъгълни сигнали (импулси), дадени на фиг. 1.1.

фиг. 1.1.


Периодичните сигнали са функция на времето от вида


,

(1.1б)

където ,

а Т е периодът на функцията при .

В действителност повечето от сигналите имат начало и край. С достатъчна за практиката точност обаче те се приемат за периодични.

Периодичната функция трябва да отговаря на условията на Дирихле:

- във всеки краен интервал тя да е непрекъсната или да има краен брой прекъсвания от първи род (при t, клонящо към точките на прекъсване от двете страни, функцията s(t) трябва да има крайни стойности);

- в границите на един период функцията s(t) трябва да има краен брой екстремуми.

Тогава може да се приложи разложението в ред на Фурие. Целта е всеки сложен периодичен сигнал да се сведе до сума от елементарни хармонични сигнали, които се наричат хармонични съставки (употребява се също само съставки или хармонични съставящи) или краткото хармоници (също и хармонични) на сложния сигнал.

Пълната тригонометрична форма на реда на Фурие има вида


,

(1.2)

където

;

(1.2a)

;

(1.2б)

.

(1.2в)

С n е означен номера на хармоничната.

Коефициентът с нулев индекс е удвоената средна стойност на периодичния сигнал за един период. Тогава е постоянната съставка на периодичния сигнал.

Прието е с да се бележи кръговата честота на управляващия сигнал, т.е. сигналът – първичен носител на информацията, а с - кръговата честота на високочестотните радиосигнали.

Връзката между кръговата честота Ω, честотата F и периода Т е:


, .

(1.3)

Редът на Фурие може да се представи и чрез т.нар. кратка тригонометрична форма:





,

(1.4)

където

;

(1.4а)

.

(1.4б)

С и са означени съответно амплитудата и фазата на n-тата хармонична.

За намирането на и е необходимо да се изчислят по формули (1.2а) и (1.2б) амплитудите на косинусоидалните и на синусоидалните съставки.

От приведените изрази за разлагане в ред на Фурие могат да се направят следните изводи:

1. Постоянната съставка е равна на нула за сигнали, чиито площи над и под абсцисната ос са еднакви за един период.

2. Преместването на абсцисната ос нагоре или надолу променя само постоянната съставка на функцията , но не влияе на амплитудите на хармоничните.

3. При разлагането на четна функция се получават само косинусоидални съставки.

4. При разлагането на нечетна функция се получават само синусоидални съставки.

5. Преместването на ординатната ос наляво или надясно променя само фазата на хармоничните.

1.1.2. Комплексна форма на реда на Фурие
Значително улеснение в изчисленията се получава чрез използуването на комплексната форма на реда на Фурие:


,

(1.5)

където

;

(1.5а)

.

(1.5б)

Сумирането се извършва за честоти (n) и (+n). Отрицателните честоти нямат физически смисъл. Въвеждането има формален характер и е свързано с използуването на комплексна форма за представяне на реална величина. На фиг. 1.2а е дадено във векторен вид хармоничното трептение




,

(1.6)

където с А е означена големината на вектора .




а) б)


фиг. 1.2
Същият резултат се получава, ако два вектора с големина се въртят в противоположна посока, със същата ъглова скорост (фиг. 1.2 б). Тогава за хармоничното трептене се получава


.

(1.7)

От израза (1.7) може да се направи изводът, че амплитудите на хармоничните съставки при комплексната форма на представяне са равни на половината от амплитудите при кратката тригонометрична форма на реда на Фурие.


1.1.3. Спектрални диаграми. Примери за спектри на сигнали и спектрални характеристики в телекомуникациите.
Графичното изобразяване на резултатите от разлагането (спектралния анализ) става чрез спектралните диаграми.

Амплитудно–честотната спектрална диаграма се получава, като в координатната система амплитуда – честота от точки на абсцисната ос, съответстващи на честотите на хармоничните, се издигат отсечки, пропорционални на големините на амплитудите за тези честоти (фиг. 1.3 а).

Фазово–честотната спектрална диаграма се построява, като от същите точки на честотната ос се построяват отсечки, пропорционални на фазата на съответната хармонична (фиг. 1.3 б).

При изчисленията някои от стойностите на амплитудите се получават с отрицателен знак. Хармоничните обаче се чертаят винаги с положителни амплитуди. Това се постига чрез прибавяне на ъгъл към фазовия ъгъл .

На фиг. 1.4 е дадена спектралната диаграма при разложение в комплексен ред на Фурие. Вижда се, че характерът на диаграмата за един и същ сигнал не се променя спрямо тригонометричната форма на представяне. Само отсечките на амплитудите на спектралните съставящи са два пъти по-малки. Затова не е необходимо да се чертае спектралното разпределение за отрицателни честоти. При изчисления се работи с удвоената стойност за амплитудата, получена при комплексната форма.


а)

б)

фиг. 1.3

фиг. 1.4


Спектърът на периодичните сигнали е прекъснат (дискретен). За да се отчете влиянието на дадена линейна система върху входния периодичен сигнал, е достатъчно да се отчетат амплитудните и фазовите изменения, които е претърпяла всяка от хармоничните при преминаването през разглеждания четириполюсник.

За целта е необходимо да се познават амплитудно-честотната и фазово-честотната характеристики на линейната система.

За повечето от случаите, преминаването на всяка от хармоничните може да се разглежда независимо от всички останали хармонични на сигнала.

Ролята на спектралния анализ се оценява в два аспекта:

- при известна амплитудно–честотна характеристика на телекомуникационната система, към която се подава периодичният сигнал, да се отчетат измененията в параметрите му;

- при известен спектрален състав на сигнала да се наложат изискванията към телекомуникационната система, която се проектира, за да не настъпят изменения, свързани със загуба или изкривяване на носената от сигнала информация.

И в двата случая се работи с ограничен (или реален за конкретните условия) спектър. В практиката безкрайно широкият спектър губи смисъл, тъй като от определена граница нагоре амплитудите на хармоничните стават пренебрежимо малки. Мястото на тази граница на честотната ос се обвързва с конкретните изисквания към системите и сигналите. Най-често за тази граница се приема хармоничната, след която всички хармонични са с амплитуди, по-малки от определена величина, например (където е амплитудата на първата хармонична) или след която сумарната мощност на хармоничните е по-малка от предварително зададената за конкретния случай (например 0,1Р).

Областта на честотната ос, в която е съсредоточен ограниченият спектър, се нарича широчина на спектъра на периодичния сигнал.

Съществен интерес за практиката представлява връзката между формата на сигнала и амплитудно–честотната спектрална диаграма. В табл. 1.1 са дадени изразите за разлагането в ред на Фурие на някои сложни периодични сигнали.



табл.1.1

Вид на сигнала

Амплитуди на хармониците















Най-често срещаните са правоъгълните периодични сигнали. От таблицата се вижда, че за тях наличието или отсъствието на хармоничните зависи от коефициента на запълване k. Той се дефинира като отношение на продължителността на импулса към периода Т (фиг. 1.5)
фиг.1.5


.

(1.8)

След известни преобразувания изразът за амплитудата на хармоничните на правоъгълните периодични сигнали (наричани още правоъгълни импулси) добива вида






(1.9)

за ,

където .

Определяща е функцията . Графиката на изменението й е дадена на фиг. 1.6.
фиг. 1.6

Към нея ще се върнем по-късно в други раздели. Характерното е, че тя се нулира за всяко , където .

Като се имат предвид свойствата на функцията от вида , могат да се направят следните изводи:

а) постоянната съставка (n=0) на едностранно разположените правоъгълни сигнали е равна на kА, където с А е означена амплитудата на импулса;

б) съгласно т.2 от свойствата на разлагане в ред на Фурие разнополярните правоъгълни сигнали имат същия спектрален състав, както еднополярните сигнали с коефициент на запълване, определен от по-кратковременния импулс (в случая на фиг. 1.7 импулса с продължителност );

фиг. 1.7
в) колкото е по-малък коефициентът на запълване k, толкова по-голям брой бавно намаляващи по амплитуда хармонични съдържа реалния спектър (фиг. 1.8);

г) амплитудите на всички хармонични, чийто номер е кратен на реципрочната стойност на коефициента на запълване , където m е цяло число, са равни на нула.

Последните две зависимости са особено важни. Най-често допусканата грешка е да се ограничава реалният спектър до първата от хармоничните, която става по-малка от предварително приетата за нормално предаване на сигнала минимална амплитуда или до първата, която се нулира (при по-широките спектри). Трябва да се помни, че изменението е по закона и след тази, погрешно приета за гранична амплитуда, може да има други, които ще я надвишават по стойност (фиг. 1.8).



фиг. 1.8
В някои случаи при разглежданията на спектрите се среща реципрочната стойност на коефициента на запълване . Използването й в някои случаи дава по-нагледна картина. Например в радиолокацията се работи със сигнали с N=100, N=1000 и дори N=2500; едва 100-ната, 1000-ната и 2500-ната хармонични ще се нулират и амплитудите на всички хармонични с кратни номера (например на 200-ната, 300-ната и т.н.) ще са равни на нула. За вярното предаване и обработка на такъв сигнал е необходимо да се проектират радиотехнически устройства с много широка амплитудно-честотна характеристика.

В енергийно отношение за всички сложни периодични сигнали е в сила правилото, че основната част от енергията се съдържа в хармоничните с по-малък номер. В повечето случаи обаче точността и надеждността на радиотехническите устройства са свързани със запазването на стръмността на фронтовете на сигналите. Последните се определят от висшите хармонични. Колкото е по-голям номерът на хармоничните, които се пропускат, толкова по-стръмни ще са фронтовете. Затова при оразмеряването на телекомуникационните устройства (пасивни и активни) винаги трябва да се вземат предвид съотношенията (а не абсолютните стойности) на спектъра на конкретния сигнал и амплитудно – честотната характеристика на устройството. Преценка за евентуална промяна във формата на сигнала може да се направи чрез начертаване в една координатна система на спектралната диаграма на сигнала и амплитудно – честотната характеристика на устройството.

Човешкото ухо е нечувствително към фазовите разлики. Това е лесно обяснимо. От свойствата при разложение в ред на Фурие се вижда, че изместването на ординатната ос наляво или надясно води до промяна само на фазово-честотната характеристика, без да се променят амплитудите на хармониците. Следователно двата периодични сигнала с различни фазово-спектрални характеристики на фиг. 1.9. могат да се разглеждат като изместени във времето. Тъй като акустичните сигнали се възприемат във времето, и в двата случая звуковото възприятие ще бъде едно и също. Когато времевите съотношения между сигналите не се изменят (в случая периодът на повторение на импулсите), за ухото е безразлично къде е началото на координатната система. За сметка на това ухото е изключително чувствително за промените в амплитудно-честотния спектър.




фиг. 1.9

Окото възприема пространствен сигнал. Ако се разглежда например телевизионно изображение, то може да се разложи на сигнали по редове. Изменението на фазовите съотношения ще доведе до изместване на сигнала във времето. Това изместване означава нови координати на точката в пространството. В резултат окото ще възприеме образ, идентичен на изходния, но на друго място. Така фазовите разлики при отразен сигнал довеждат до появата на двоен образ на телевизионния екран.

За някои практически решения, например в телеграфията с равномерен код на Бодо, е достатъчно да се предават само първата и третата съставки, в които е съсредоточена енергията на сигнала. Това се илюстрира най-добре на фиг. 1.10, където е показан принципа на синтез на правоъгълни сигнали от синусоиди. За разлика от сигнала с k=0.5, за правоъгълния сигнал с k=0.1 първите две хармонични от спектъра дават незначителна част от енергията му.



фиг. 1.10


Независимо от коефициента на запълване k в спектъра на предавания или обработвания сигнал трябва да се осигурят хармонични с много голям номер. От фиг. 1.10 се вижда, че именно те трябва да формират стръмните фронтове и областите с рязка смяна на знака на производната (при правоъгълния импулс това са преходите от фронт към хоризонталната част – платото и паузата, на сигнала). Това са областите с преход от производна, равна на , към производна, равна на 0. Следователно спектърът ще бъде толкова по-богат, колкото е по-голяма разликата между производните в точката на прехода.
1.1.4. Въздействие на линейни системи върху периодични сигнали

Когато става дума за преминаването на сигнали през линейна система, въздействието на системата върху сигнала може най-точно да се определи от съпоставянето на амплитудно-честотната и фазово-честотната характеристика на линейната инвариантна система и амплитудно-честотната и фазово-честотната спектрални диаграми на сигнала.

Амплитудно-честотната характеристика на всяка телекомуникационна система включва две характерни области, където се получава намаляване на коефициента на предаване (фиг.1.11). Спадането на характеристиката на ниските честоти се обуславя от последователно включените капацитети. Ако устройството е с директна връзка, би следвало характеристиката да започне от ординатната ос, т.е. схемата ще пропуска и постоянната съставка.

фиг. 1.11
Много по-големи трудности създава изместването на спада за високи честоти надясно. Спадането на коефициента на предаване за високи честоти се обуславя от честотните свойства на активните елементи и от паралелно свързаните паразитни капацитети и по-рядко при много високи честоти – от последователно свързани паразитни индуктивности. Последните се намаляват чрез скъсяване на изводите на активните и пасивните компоненти.

Паразитните капацитети водят до образуването на еквивалентни вериги, които могат да се разглеждат като нискочестотни филтри (фиг. 1.12).


фиг. 1.12

При ниски честоти определящо е паразитното последователно съпротивление. Не се проявява шунтиращото действие на капацитети. С увеличаване на честотата, съответно номера на хармониците, определящ е капацитетът. Преценка за евентуална промяна във формата на сигнала може да се направи чрез начертаване в една координатна система на спектралната диаграма на сигнала и амплитудно-честотната характеристика на устройството. На фиг. 1.13 а това е направено за k=0.1 С е означена гранична честота, където характеристиката се изменя под допустимите стойности. На фиг. 1.13 б е дадена формата на входния сигнал и на изходните сигнали за трите характеристики.






а) б)
фиг.1.13
Това е типичната картина на въздействие на нискочестотен филтър върху правоъгълен импулс. По степента на изменение на фронтовете може еднозначно да се съди за съотношението между ампитудно-честотната характеристика на филтъра и спектъра на сигнала.

Конструктивните и преди всичко технологични решения в съвременната интегрална схемотехника се свеждат до борба за намаляване на паразитните капацитети, които водят до размиване на фронтовете на импулсите. Стремежът да се интегрират стотици милиони и милиарди елементи в един чип води до намаляване на разстоянието между тях, което пък означава увеличаване на стойността, а оттам и влиянието на паразитните капацитети. Получава се нискочестотна селективна верига с по-тясна лента на пропускани честоти и съответно размиване на фронтовете. Резултатът е намаляване на бързодействието на схемите, ако не се вземат мерки за увеличаване на проводимостта, т.е. намаляване на съпротивлението на .

Когато правоъгълен сигнал преминава през високочестотен филтър (фиг. 1.14), определящо е съотношението между граничната честота на филтъра и спектъра на сигнала.

а) б)


фиг. 1.14

Ако е от порядъка на низшите хармоници, ще се получи изкривен, но все пак правоъгълен сигнал. При условие, че граничната честота е в областта на висшите хармоници на реалния спектър, на изхода ще се получи сигнал, на който като че ли остават само фронтовете.

В импулсната техника при спазване на определени съотношения на амплитудно-честотните характеристики на нискочестотния и високочестотния филтър спрямо спектъра на сигнала тези схеми се разглеждат като интегрираща и диференцираща верига.

Еднозначната зависимост между формата на сигнала и амплитудно-честотната характеристика на телекомуникационното устройство позволява да се създадат методи за изследване на тези устройства чрез подаване на входа им на правоъгълни сигнали. Не трябва да се забравя, че всеки хармоник е с определена фаза.


1.2. Спектрален анализ на непериодични сигнали (Трансформация на Фурие)
Непериодичните сигнали са вторият вид детерминирани сигнали. Такъв непериодичен сигнал е начертан на фиг. 1.15.

фиг. 1.15


Той може да се изрази чрез непериодична функция на времето. След усвояване на разложението на периодичните сигнали в ред на Фурие, лесно може да се изведат основните зависимости при спектралното представяне на непериодични сигнали. За целта е необходимо да се приеме, че представеният отделен сигнал е в същност сигнал от периодична последователност с период на повторение Т , който клони към безкрайност. До какво ще доведе това? Необходимо е да се припомни представянето в комплексен вид на периодичен сигнал


.

(1.10)

Разстоянието между две отделни спектрални съставки е






(1.11)

Тогава при , ще клони към безкрайно малки нарастъци . Сумата се превръща в интеграл. Произведението означава, че спектърът от дискретен преминава в непрекъснат с текуща честота ω. При тези условия може да се запише разложението на непериодичния сигнал в следния вид:




.

(1.12)

Аналогично на комплексната амплитуда тук се получава спектралната плътност




.

(1.13)

Този израз се нарича право преобразуване на Фурие.


При зададена спектрална плътност може да се намери първоначална функция x(t) чрез обратното преобразуване на Фурие (интеграл на Фурие)


.

(1.14)

По този начин непериодичният сигнал, описан с функцията x(t), се представя като безкрайна сума от безкрайно малки хармоници, които са с комплексна амплитуда и безкрайно малко разстояние между тях на честотната ос.

Диаграмата на спектралната плътност на непериодичен сигнал има формата на обвивната крива на дискретния спектър на същия по вид периодичен сигнал (фиг. 1.16)

фиг. 1.16 а)







фиг. 1.16 б)


Спектралната теория предполага използуването на две взаимно обратни преобразувания. Чрез уравнение (1.5) се изразява периодичния сигнал като сума от хармоници. То позволява да се получат параметрите на сигнал, синтезиран от определен брой хармоници. Хармониците при известен периодичен сигнал се изчисляват с уравнение (1.5а).

Още по-силно е изразена тази симетрия при непериодичните сигнали. При известна спектрална плътност (1.14) може да се получи изразът за сигнала и обратно – чрез (1.13) от сигнала да се получи спектралната плътност. Симетрията (или както беше наречено двуличието на сигнала) между време и честота позволява да се преминава от времевата в честотната област и обратно. Това е свойството дуалност при разложение по Фурие.

На фиг. 1.17 а е начертан правоъгълен сигнал, а на фиг. 1.17 б - графиката на спектралната му плътност. Тя се изменя по закона .


фиг. 1.17 а фиг. 1.17 б



На фиг. 1.18 а е показан сигнал, който по форма е идентичен с графиката на спектралната плътност на първия сигнал. Както и може да се очаква, той има спектрална плътност с типично П-образно разпределение (фиг. 1.18 б).



фиг. 1.18 а фиг. 1.18 б
Каталог: wp-content -> uploads -> 2010
2010 -> Регионален инспекторат по образованието – бургас съюз на математиците в българия – секция бургас дванадесето състезание по математика
2010 -> 7 клас отговори на теста
2010 -> Закон за ветеринарномедицинската дейност /извадка/ в сила от 02. 05. 2006 г
2010 -> Регионален инспекторат по образованието – бургас съюз на математиците в българия – секция бургас дванадесето състезание по математика
2010 -> Закон за здравето /извадка/ в сила от 01. 01. 2005 г
2010 -> Закон за радиото и телевизията /извадка/ Отразена деноминацията от 07. 1999 г
2010 -> Закон за храните /извадка
2010 -> Регионален инспекторат по образованието – бургас съюз на математиците в българия – секция бургас десето състезание по математика
2010 -> Закон за контрол върху наркотичните вещества и прекурсорите /извадка/ в сила от 03. 10. 1999 г. Отразена деноминацията от 05. 07. 1999 г


Сподели с приятели:




©obuch.info 2024
отнасят до администрацията

    Начална страница