1. Въведение в безкрайните процеси граници на редици 1 Активност: Въведение в в безкрайните процеси Предмет на активността



страница1/7
Дата12.03.2018
Размер1.04 Mb.
#62675
  1   2   3   4   5   6   7
АКТИВНОСТИ

1. Въведение в безкрайните
процеси - гРАНИЦИ НА РЕДИЦИ



1.1 Активност: Въведение в в безкрайните процеси
Предмет на активността:

Тази активност е увод към безкрайните процеси. Това се достига чрез прилагане методa на изчерпването (метода на Евдокс – Архимед) за пресмятане лицето на единичния кръг.



Цели на активността:

Тази активност предвижда:

да въведе учениците по един естествен начин в използването безкрайни процеси за решаването задачи, които не могат да бъдат решени по друг начин.

Да помогне на учениците да се срещнат с метода на изчерпването (и на идеята за безкрайността зад него) в една среда без алгебрични пресмятания.

да запознаят учениците със смяната на представянията на зададена среда, където графичните и числените представяния са комбинирани хармонично.

Методология на активността:

Тази активност въвежда учениците в безкрайните процеси използвайки задачата за пресмятане на лицето на единичния кръг. Тази задача не може да се реши с използването на по-раншни познания на учениците, тъй като кръгът не може да се раздели на многоъгълници. Учениците обаче, могат да използват своите по-знания за многоъгълниците, за да се приближат до непознатото лице на кръга. Понятието безкраен процес се появява естествено като средство, което позволява приближаване до непознати величини без значение колко скрити са те, чрез безброй много известни количества. Тази идея подготвя почвата за запознаване на уче-ниците с понятието за граница на следващ етап. Използването на динамичен геометричен софтуер не само позволява графично представяне на проблема, но също така опростява изчислителните трудности присъщи на пресмятането на лицата на многоъгълниците, давайки на учениците възможност да се фокусират на безкрайните процеси.



Активността и учебната програма :

Тази активност може да бъде предложена като въведение към увод в анализа или към анализа. Учениците на това ниво не са запознати с безкрайните процеси. Предполага се да продължи един час.



1.1.1 Работен лист (Анализ)

Въведение в Безкрайните Процеси
ЗАДАЧА:

Как може да пресмятаме лицето на кръга с радиус R=1?

Това е общ въпрос, който ще въведе учениците в безкрайните процеси.

Ние очакваме, че някои от учениците знаят формулата, даваща лицето на

кръга и може да отговорят, че търсеното лице е равно на π.

В този случай може да се състои дискусия по следните въпроси:

Защо това лице е равно на π?

Как се е появила формулата Ε=πR2 ?

Как може да пресметнем π?

За да се реши тази задача започваме с три въпроса отнасящи се до основни познания за измерването на лица.
В1. Какво означава, че лицето на един триъгълник е равно на 4.5?

Това означава, че четири и половина квадрата със страна с дължина 1 съот-ветстват на този триъгълник.

Може да има дискусия за измерването на лица и за мерните единици за лица.
В2: Намерете геометрични фигури, чиито лица може да се изме-рят с горния метод.

Можем да пресмятаме лицата на многоъгълници като използваме горния метод.

Може да има дискусия как можем да пресмятаме лицето на многоъгълник чрез разделяне на по-малки праволинейни фигури с лесни за пресмятане лица.
В3: Може ли да разделим кръга на някакъв брой фигури с из-числими лица?

Този въпрос е еквивалентен на следния въпрос: можем ли да разделим кръга на многоъгълници? Страните на многоъгълника са отсечки от прави линии.Кръгът не може да бъде разделен на многоъгълници. Отрицателният отговор води до следващия въпрос.


В4: По какъв начин е възможно да се свърже търсеното лице с лицата на многоъгълниците?
От ученическите отговори може да възникне дискусия.Целта на дискусията е да се достигне до идеята, че може да се намерят многоъгълници, чиито лица са или по-малки, или по-големи от лицето на кръга. (Това са многоъгълниците, вписани в кръга, както и многоъгълниците, описани около кръга.)

Нарисувайте два квадрата: единият вписан в кръга, а другият описан около него.

Опитайте се да отговорите на въпроса като използвате файла 1.1.1.activity.en.euc .Средата ни осигурява следното:

Можем да видим кръга.

Бутонът sides (страни) контролира броя n на страните на правилните вписани и описани многоъгълници.

Когато е натиснат бутонът circumscribed (описан), се появява описаният многоъгълник. Второ кликване води до изчезване на многоъгъл-ника.

Бутонът inscribed (вписан) действа по подобен начин. Лицата на многоъгълниците и тяхната разлика също се появяват.

Бутонът magnification (увеличение) дава прозорец около предварително опре-делена точка от кръга. Чрез уголемяване достигаме до по-точен фокус.



В5: Каква е разликата между лицето Е на кръга и лицата на тези два квадрата?
В6: Каква е разликата от лицата на тези квадрати?

Като използваме гореспоменатите лица можем да достигнем до първата оценка на търсеното лице Е. Тази оценка очевидно не е достатъчно добра.Така стигаме до следния въпрос:



В7: Посредством какъв процес е възможно да се получи по-добро приближение за Е?

Този въпрос е критична точка, след която учениците могат да преминат към успешна апроксимация (приближение). Вероятно учениците могат да отгатнат, че едно нарастване на броя на страните дава по-добри оценки. Инструкторът може да подтикне учениците да се фокусират на разликата от лицата на вписания и описания многоъгълници, когато n расте. Разликата показва колко близки са лицата на многоъгълниците и на кръга.



С построяването на вписани и описани правилни петоъгълници можем да по-лучим по-добра апроксимация на лицето на кръга.Учениците могат да експери-ментират с по-голям брой на страните. След определено нарастване на броя на страните изглежда, че многоъгълниците съвпадат с окръжността, въпреки че всъщност това не се случва. В случай, че някои ученици имат затруднения, ние можем да използваме възможността zoom-in (мащабиращ инструмент). Сега интересът се измества към числените резултати.
В8: Попълнете следната таблица:


N

Лице на вписания n-ъгълник

Лице на oписания n-ъгълник

Разликата от лицата е по-малка или равна на

4










5










6










10










12










(18)







0,09

(23)

3,1…

3,1…




(56)







0,009

(114)

3,14…

3,14….




(177)







0,0009

(187)

3,141…

3,141…




(243)










(559)







0,00009

При този въпрос учениците попълват празните клетки на таблицата.Числените резултати от таблицата са предназначени да позволят на учениците да направят някои предположения за границите на тези три редици.

В случай на числа като 0.09, дадени в горната таблица, се очаква учениците да намерят стойността на n така, че разликата на двете лица да е по-малка от 0.09. 3.14…означава, че броят на страните е такъв, че вписаният и описаният много-ъгълници имат лица със съвпадащи два знака след десетичната запетая.

На горните въпроси учениците може да дават различни отговори.
В9: Има ли стъпка в този процес, при която вписаният и описа-ният многоъгълници да имат същото лице като лицето на кръга?

За да отговорите на въпроса можете да използвате zoom-in (мащабиращ) инструмент и да се фокусирате върху една точка от окръжността. С уголемяване на zooming scale (размер на увеличение) може да се постигне по-добро фокусиране.

Очевидно никакъв многоъгълник не може да съвпада с окръжността.


В10: Ще завърши ли процесът?
Тъй като процесът не се прекратява, то той може да продължи безкрайно.Това означава, че може да получаваме многоъгълници с все повече страни. В този пункт ние минаваме към безкрайните процеси.
В11: Какво е числото, към което се приближава разликата на лицата?
Разликата се приближава към 0, когато броят на страните става по-голям.
В12: Колко близо до това число може изобщо да стигне тази разлика?
Ние можем да направим разликата толкова близка до 0, колкото искаме, стига да бъде избрано подходящо голямо число за броя на страните.
В13: Колко добре може да се приближим до лицето на кръга?
В съгласие с предходния въпрос ние може да се приближим до лицето на кръга колкото искаме.


1.2 Активност: Въведение в граници на редици
Съдържание на активността:

Тази активност въвежда понятието граница на редица. Два работни листа подсказват на учениците дефиницията на граница на редица, клоняща към нула. Работните листове, които се появяват в секцията за допълнителни проучвания водят до дефиницията на ненулева граница.



Цели на активността:

  • Тази активност се стреми да въведе учениците в дефиницията на граница на редица.

  • Да запознае учениците с графични, алгебрични и числени представяния на граница на редица

  • Да разшири постепенно ученическата представа за дефиниция на сходяща редица, за да се избегнат възможни погрешни схващания (например, че всяка редица клони към нула, че всяка сходяща редица е монотонна).

Методология на активността:

Задачата, използвана в първия работен лист се базира на един от парадоксите на Зенон. Задачата е избрана така, че чрез описанието на един безкраен процес учениците да бъдат въведени в понятието сходимост на редици.

Задачата от втората листовка има сериозно визуално представяне, което става още по-добро при използване на динамичен геометричен софтуер. Процесите, които са представени в работните листове са подобни и всеки от тях може да се опише чрез сходимост на една редица. Поставените въпроси са избрани така, че да ориентират учениците към дефиницията на сходяща редица.

Активността и учебната програма:

Предложени са два независими работни листа, които могат да подскажат дефиницията на нулева редица. Инструкторът може да избере дали да използва един или двата. Всеки от работните листове може да бъде разгледан по време на едночасов урок, докато идеите от допълнителните проучвания се нуждаят от още един час урок. Работен лист 1 и задачите от допълнителните проучвания не използват динамичен геометричен софтуер.



1.2.1. Работен лист (Aнализ)

Въведение в понятието граница на редица А
Започваме с отсечката АВ с дължина равна на 1. Една точка се движи от A към B по следния начин:

През първия ден точката пробягва интервала AA1, равен на половината от интервала AB.

През втория ден точката пробягва интервала A1A2, равен на половината от интервала A1B.

Продължавайки по този начин, през n-тия ден тя пробягва интервала An-1An, равен на половината от интервала An-1B.

(Това означава,че всеки ден точката пробягва половината от разстоянието, което остава за да се достигне B).


В1: Ще стигне ли точката в B?
Вероятно учениците ще поддържат различни виждания. Някои може да претендират, че накрая точката ще пристигне, докато други – че няма да пристигне. Инструкторът може да пита за обяснение на всяко от изразените мнения. Целта на дискусията е да се помогне на класа да стигне до заключение, че движещата се точка никога няма да достигне точка В. Това може да се докаже с използване на метода на допускане на противното. Ако допуснем, че точката пристига на n-тия ден, това означава, че на n-1-вия ден тя не е била в точка B, нека C е точката, в която тя е била на n-1-вия ден. Тогава на n-тия ден тя е била в средата An на интервала CB, но тази среда е различна от B.
В2: Пресметнете дължините на интервалите AnB за n=1,2,…

От горното може да се покаже числено, че движещата се точка никога няма да достигне В защото няма n такова, че AnB = 0.



В3: Нека C1 е точка от AB такава,че C1B = 10-6.

Ще стигне ли движещата се точка отвъд C1?
Знаем от предния въпрос,че ΑnΒ =.Така че въпросът е еквивалентен на следния: Има ли естествено число , такова че или ?

Това е вярно защото множеството на естествените числа не е ограничено отгоре. Така че съществува естествено число , такова че и че.


Някои ученици може би ще се опитат да решат проблема като използват монотонността на логаритмичната функция. По-добре е да се фокусираме на факта, че се интересуваме от съществуването на такова едно n, а не на точното му определяне. Използвайки това като повод, инструкторът може да коментира разликата между доказателството на съществуване на едно число n със специфично свойство и намирането на конкретно число с това свойство.

В4: Разгледайте същия въпрос за точките C2, C3 , такива че C2Β = 10-100 , C3Β = 10-1000
Аргумент подобен на този от В3 може да покаже,че точката може да стигне отвъд C2 и C3.
В5: Нека C е произволна точка между А и В. Ще премине ли движещата се точка отвъд С?
Нека ε е дължината на CB. Въпросът е еквивалентен на следния:

Има ли естествено число , такова че или ?

Това може да се докаже по начин подобен на В3 и В4.

В6: Можете ли да опишете резултата, до който достигнахте по въпрос C5?
Учениците може да съставят твърдение като следното:

За всяко ε>0 съществува естествено n, такова че



В7:Допълнете своя отговор на въпрос В6 по такъв начин, че да включите информацията, че ако някой ден точката прескочи С, то същото ще бъде и за всички следващи дни.

За всяко ε >0 съществува естествено число n, такова че за всяко имаме.


Въпреки че при тази задача информацията, добавена към В7, е очевидна заради специалните особености на задачата (монотонна сходимост), ние знаем,че в общия случай сходящите редици не са монотонни. Във въпросите при допълнителните проучвания са дадени подходящи примери.

1.2.2 Работен лист (Анализ)

Въведение в понятието граница на редица Б
Нека ABCD е квадрат със страна равна на 1 и K е пресечна точка на диагоналите.

Нека A1, B1, C1 и D1 са среди съответно на


KA, KB, KC и KD.

Построяваме квадрата A1B1C1D1.

Нека A2, B2, C2 и D2 са среди съответно на
KA1, KB1, KC1, и KD1 .

Построяваме квадрата A2B2C2D2.

Въобще, ако An, Bn, Cn, Dn са среди съответно на KAn-1, KBn-1, KCn-1, и KDn-1 , построяваме квадрата AnBnCnDn , за n = 2, 3, …

Това означава,че върховете на всеки квадрат са среди на отсечките, свързващи К с върховете на квадрата от предната стъпка.


В1:Има ли друга обща точка освен К във вътрешността на всички построени квадрати ?
Отворете файла 1.2.1.activity.en.euc и експериментирайте.
Числото с етикет “лице” представлява лицето En на квадрата AnBnCnDn.

Ако е необходимо, може да използвате мащабиращия инструмент magnification tool.


Безкрайното сечение на вътрешностите на всички квадрати е равно на {K}. Това може да се докаже с допускането, че друга точка L различна от K принадлежи на сечението и да се остави n да расте така, че диагоналът да остави L извън квадрата AnBnCnDn. От това след-ва, че L не принадлежи на квадрата AnBnCnDn .
В2: Пресметнете лицето En на квадрата AnBnCnDn , n = 1, 2, 3, …

Учениците може да забележат,че на всяка стъпка страната на квадрата е равна на половината от страната на по-предишния построен квадрат ( Теорема на Талес) и по индукция да стигнат до заключението,че En =



В3: Има ли някой от тези квадрати лице по-малко от 10-60?
На този въпрос може да се отговори както алгебрично (подобно на активност1.2.1), така и експериментално на EucliDraw. Сходимостта на En всъщност е толкова бърза, че учениците могат да експериментират в EucliDraw, като изменят точността до определен знак след десетичната запетая.

B4: Разгледайте същия въпрос за числото 10-1.000.000.
Динамичната геометрична среда не може да бъде използвана за да се отговори на този въпрос, така тук се появява нуждата от алгебрична аргументация.
В5: Нека ε > 0. Има ли квадрат, чието лице да е по-малко от ε?
Въпроси В3 и В4 подготвят въпрос В5 , където има обобщение и ε е променлива, и водят учениците до ε – дефиницията на сходяща редица.
В6: Можете ли да намерите описание на резултата, до който стигнахте във В5?
Учениците може да съставят твърдение като следното:

За всяко ε>0 съществува естествено n, такова че


В7:Допълнете своя отговор на въпрос В6 по такъв начин, че да включите информацията, че ако някой ден точката прескочи С, то същото ще бъде и за всички следващи дни.
За всяко ε >0 съществува естествено число n,такова че за всяко имаме .
Въпреки че при тази задача информацията, добавена към В7 е очевидна заради специалните особености на задачата ( монотонна сходимост) ние знаем,че в общия случай сходящите редици не са монотонни. Във въпросите при допълнителните проучвания са дадени подходящи примери.

Следващи разглеждания

1. Нека е дадена редицата αn = (-1)n , n = 1, 2, …

(i) Попълнете следващата таблица:



n

1

2

3

103

116

10100

αn


















(ii) Има ли реално число λ, към което се приближават членовете на редицата αn , когато n расте?


(iii) Има ли член на редицата такъв, че разстоянието от него и следващите го членове до λ е по-малко от 10-6?
Разгледайте същия въпрос с числата 10-100 и 10-1000 съответно.
(iv) Нека ε > 0. Има ли член на редицата такъв, че разстоянието от него и следващите го членове до λ е по-малко от ε?
(v) Можете ли да формализирате заключението, до което достигнахте, отговаряйки на въпрос (iv)?
2. Разгледайте същия въпрос за редицата βn = , n = 1.



Сподели с приятели:
  1   2   3   4   5   6   7




©obuch.info 2022
отнасят до администрацията

    Начална страница