§11. Задачи от изследване на функции Съдържание

1.Интервали на монотонност

2. Екстремуми на функция

3. Асимптоти

4. Изследване на функции
ТЕОРИЯ

Нека функцията е диференцируема в отворения интервал . Тогава

Нека функцията е непрекъсната в някаква -околност , , на точката и диференцируема в тази околност, с изключение евентуално на самата точка (диференцируема във всеки от интервалите и ). Тогава, ако за и за , то е точка на строг локален минимум за . Аналогично, ако за и за , то е точка на строг локален максимум за .

Нека е критична точка за функцията , . Нека освен това има непрекъсната трета производна в интервала , , и . Тогава има екстремум в , при което:

1) Ако , то е точка на строг локален минимум за .

2) Ако , то е точка на строг локален максимум за .

Нека за някое естествено число функцията има непрекъснати производни до ред в интервала , , и нека

Тогава

Нека има непрекъсната втора производна в околност на точката , при което . Тогава функцията е строго изпъкнала надолу (нагоре) в точката .

Ако е налице някое от условията

, , , ,

то се казва, че правата е вертикална асимптота за графиката на функцията.

Правата се нарича наклонена асимптота за графиката на функцията при , когато

.

Ако , то асимптотата се нарича хоризонтална.

От определението следва, че

и ако такова съществува, то

и използваме, че расте в интервалите, за които . Решаваме неравенството

Следователно функцията расте в интервалите , а в интервала намалява.

Точките, в които функцията евентуално има екстремуми се наричат критични и се определят от уравнението . То има решения . Видът на екстремума в конкретна точка се определя от знака на за съответната точка. Ето защо намираме

.

Пресмятаме

Следователно за критичната точка дадената функция има локален максимум и

Пресмятаме

Следователно за критичната точка дадената функция има локален минимум и

Графиката на дадената функция можем да построим като използваме получените резултати. Тя ще изглежда така

Решение на уравнението е . Това е критична точка за дадената функция. За да определим вида на екстремума в нея намираме втората производна

и я пресмятаме в критичната точка

Следователно дадената функция има локален минимум в точката и

Решение на уравнението

са . За да определим вида на екстремума в критичните точки намираме втората производна

.

.

Следователно дадената функция има локален минимум за и

За другата критична точка имаме

.

.

Пресмятаме за критичната точка

Намираме

.

Пресмятаме за

Следователно дадената функция има локален максимум за и

и ще докажем, че нейната най-малка стойност за е равна на нула. Намираме първата производна на дадената функция

Решение на уравнението , т.е. на

е . Втората производна

в критичната точка има стойност

Следователно в функцията

има локален минимум и

Тъй като за

то в интервала намалява до стойността и . В интервала функцията расте. Следователно локалният и минимум е и глобален минимум, т.е. най-малката стойност на функцията е равна на 0. Щом за , то неравенството

е вярно за всяко .

и да се начертае нейната графика.

(само положителни величини могат да се логаритмуват) се получава

Следователно е уравнение на хоризонтална асимптота.

Следователно е уравнение на вертикална асимптота.

Тогава също е уравнение на вертикална асимптота.

и тъй като за имаме , то за всяко от дефиниционното множество. Това означава, че функцията само намалява.

се вижда, че уравнението няма решение, т.е. функцията няма критични точки и понеже само намалява тя няма локални екстремуми.

Уравнението има решение

Това означава, че функцията няма инфлексни точки. От неравенството

Следователно дадената функция е вдлъбната („”) за , а в интервала функцията е изпъкнала („”).

9⁰. Чертаем графиката на функцията

и да се начертае нейната графика.

(забранено е да се дели на нула) се получава Тогава

е непрекъсната в това множество.

Следователно графиката е симетрична спрямо началото О на координатната система. Ето защо ще изследваме функцията само в интервалите

а графиката на функцията в тях ще начертаем симетрично спрямо точка О за останалата част от дефиниционното множество.

Следователно е уравнение на вертикална асимптота.

Следователно функцията няма хоризонтална асимптота. Проверяваме има ли наклонена асимптота чрез

и

Следователно функцията има наклонена асимптота и нейното уравнение е

5⁰. Определяме интервали на монотонност. Намираме

Решаваме неравенството и вземаме пред вид, че .

Тогава в интервалите функцията расте, а в интервала функцията намалява. Това означава, че функцията само намалява.

6⁰. Определяме локални екстремуми. От

се вижда, че в интервалите уравнението има решения . За тези точки функцията евентуално има локални екстремуми. Видът им ще определим чрез втора производна на дадената функция

Следователно в точка дадената функция няма екстремум. Тази точка е инфлексна точка. Втората производна за другата критична точка е

Следователно за дадената функция има локален максимум.

следва, че уравнението има решение . Това означава, че функцията има инфлексна точка ( не е корен на уравнението ). От неравенството

Следователно дадената функция е вдлъбната („”) за , а в интервала функцията е изпъкнала („”).