§17. Задачи от пресмятане на пълна вероятност и формула на Бейс
Съдържание
1. Формула за пълната вероятност
2. Теорема за Бейс
3. Пресмятане на вероятности по схемата на Бернули
4. Намиране най-вероятен брой сбъдвания на дадено събитие при многократно повторение на опитите
ТЕОРИЯ
Формула за пълната вероятност. Нека , , ..., е система от събития в пространството на елементарните изходи , които са две по две несъвместими и покриват цялото , което означава, че при , , и освен това .
В този случай казваме, че събитията, , ..., , които се наричат още хипотези, образуват пълна система от несъвместими събития.
Нека е някакво събитие, което се сбъдва само с някоя от хипотезите. Тогава ,
което се нарича формула за пълната вероятност.
Формула на Бейс се нарича формулата
,
Вероятността за точно появи на събитието в серия от на брой независими опита е равна на
, .
В тази формула (формула на Бернули) е вероятността събитието да се сбъдне при един опит, а .
За най-вероятния брой успехи в схемата на Бернули имаме
ЗАДАЧИ
Задача 1. Дадени са пет кутии, от които две сини, една червена и две зелени. Всяка от сините кутии съдържа по 2 бели и 1 черна топка, в червената кутия има 10 черни топки, а във всяка от зелените кутии има по 3 бели и една черна топка. Произволно е избрана една кутия и от нея по случаен начин е извадена една топка. Каква е вероятността извадената топка да е бяла?
Решение. Нека Н1 е хипотезата “Топката е извадена от синя кутия”, Н2 е хипотезата “Топката е извадена от червена кутия”, а Н3 е хипотезата “Топката е извадена от зелена кутия”. Нека А е събитието “Извадена е бяла топка”. Тогава
.
Задача 2. Петнадесет изпитни билета съдържат по 2 въпроса, които не се повтарят. Студент знае само 25 от всички въпроси. Каква е вероятността той да вземе изпита, ако за това е достатъчно да отговори на двата въпроса от изтегления билет или на един въпрос от билета и на един допълнителен въпрос от останалите въпроси.
Решение. Нека Н0 е хипотезата “Студентът не знае нито един въпрос от билета”, Н1 е хипотезата “Студентът знае само един въпрос от билета”, а Н2 е хипотезата “Студентът знае двата въпроса от билета”. Нека А е събитието “Студентът е взел изпита” . Тогава.
.
Задача 3. В първата от три кутии има 2 бели и четири черни топки, във втората има 3 бели и 3 черни, а в третата има 4 бели и 2 черни топки. Една топка е извадена случайно, но не е известно от коя кутия и се е оказала бяла. Да се определи вероятността топката да е извадена от първата кутия.
Решение. Нека Н1 е хипотезата “Топката е извадена от първата кутия”, Н2 е хипотезата “Топката е извадена от втората кутия”, а Н3 е хипотезата “Топката е извадена от третата кутия”. Нека А е събитието “Извадена е бяла топка”. Тогава използваме теоремата на Бейс и намираме
Задача 4. Известно е. че 96% от дадена продукция е качествена. Опростена система за контрол признава за годна стандартна продукция с вероятност 0,98 и нестандартна продукция за годна с вероятност 0,05. Да се определи вероятността на събитието В - “изделие преминало качествения контрол е качествено”.
Решение. Нека Н1 е хипотезата “Изделието е качествено”, Н2 е хипотезата “Изделието не е качествено”, а А е събитието “Изделието е минало опростения контрол”. Тогава
Задача 5. На всеки 6 изстрела един курсант улучва целта средно 5 пъти. Да се намери вероятността при дванадесет изстрела той да улучи целта точно три пъти.
Решение. Прилагаме формулата на Бернули
при . Тогава
Задача 6. Стрелец стреля по цел 3 пъти. Вероятността, че той ще улучи целта поне един път е 0,992. Да се намери вероятността за улучване на целта при един изстрел.
Решение. Нека А е събитието – "При един изстрел стрелецът улучва целта" и . Тогава и
Задача 7. Процентът на изделията от първо качество в едно предприятие е 31. Какъв е най-вероятния брой изделия от първо качество в партида от 75 изделия?
Решение. Нека А е събитието – "Случайно избрано изделие от партидата е от първо качество". Тогава . Прилагаме формулата , при и получаваме . Следователно
Задача 8. Най-вероятния брой на попаденията при стрелба с оръдие по невидима цел е 10 при вероятност за попадение при един изстрел 0,8. Да се определи броят на изстрелите.
Решение. От формулата , при ; и получаваме
и от другото неравенство
Следователно броят на проведените изстрели е 12.
Задача 9. За поражение на цел при стрелба с оръдие е достатъчно едно попадение. Вероятността за попадение при всеки изстрел е 0.15. Какъв ще бъде разходът на снаряди, ако вероятността за поражение на целта трябва да бъде по-голяма от 0.94?
Решение. Нека А е събитието – "Целта е улучена". Тогава . Използваме формулата
и получаваме
Следователно .
Сподели с приятели: |