§17. Задачи от пресмятане на пълна вероятност и формула на Бейс Съдържание



Дата09.04.2018
Размер38.54 Kb.
#65280
ТипЗадача


§17. Задачи от пресмятане на пълна вероятност и формула на Бейс
Съдържание

1. Формула за пълната вероятност

2. Теорема за Бейс

3. Пресмятане на вероятности по схемата на Бернули

4. Намиране най-вероятен брой сбъдвания на дадено събитие при многократно повторение на опитите
ТЕОРИЯ

Формула за пълната вероятност. Нека , , ..., е система от събития в пространството на елементарните изходи , които са две по две несъвместими и покриват цялото , което означава, че при , , и освен това .

В този случай казваме, че събитията, , ..., , които се наричат още хипотези, образуват пълна система от несъвместими събития.

Нека е някакво събитие, което се сбъдва само с някоя от хипотезите. Тогава ,

което се нарича формула за пълната вероятност.



Формула на Бейс се нарича формулата

,

Вероятността за точно появи на събитието в серия от на брой независими опита е равна на



, .

В тази формула (формула на Бернули) е вероятността събитието да се сбъдне при един опит, а .



За най-вероятния брой успехи в схемата на Бернули имаме



ЗАДАЧИ

Задача 1. Дадени са пет кутии, от които две сини, една червена и две зелени. Всяка от сините кутии съдържа по 2 бели и 1 черна топка, в червената кутия има 10 черни топки, а във всяка от зелените кутии има по 3 бели и една черна топка. Произволно е избрана една кутия и от нея по случаен начин е извадена една топка. Каква е вероятността извадената топка да е бяла?

Решение. Нека Н1 е хипотезата “Топката е извадена от синя кутия”, Н2 е хипотезата “Топката е извадена от червена кутия”, а Н3 е хипотезата “Топката е извадена от зелена кутия”. Нека А е събитието “Извадена е бяла топка”. Тогава



.

Задача 2. Петнадесет изпитни билета съдържат по 2 въпроса, които не се повтарят. Студент знае само 25 от всички въпроси. Каква е вероятността той да вземе изпита, ако за това е достатъчно да отговори на двата въпроса от изтегления билет или на един въпрос от билета и на един допълнителен въпрос от останалите въпроси.

Решение. Нека Н0 е хипотезата “Студентът не знае нито един въпрос от билета”, Н1 е хипотезата “Студентът знае само един въпрос от билета”, а Н2 е хипотезата “Студентът знае двата въпроса от билета”. Нека А е събитието “Студентът е взел изпита” . Тогава.



.

Задача 3. В първата от три кутии има 2 бели и четири черни топки, във втората има 3 бели и 3 черни, а в третата има 4 бели и 2 черни топки. Една топка е извадена случайно, но не е известно от коя кутия и се е оказала бяла. Да се определи вероятността топката да е извадена от първата кутия.

Решение. Нека Н1 е хипотезата “Топката е извадена от първата кутия”, Н2 е хипотезата “Топката е извадена от втората кутия”, а Н3 е хипотезата “Топката е извадена от третата кутия”. Нека А е събитието “Извадена е бяла топка”. Тогава използваме теоремата на Бейс и намираме



Задача 4. Известно е. че 96% от дадена продукция е качествена. Опростена система за контрол признава за годна стандартна продукция с вероятност 0,98 и нестандартна продукция за годна с вероятност 0,05. Да се определи вероятността на събитието В - “изделие преминало качествения контрол е качествено”.

Решение. Нека Н1 е хипотезата “Изделието е качествено”, Н2 е хипотезата “Изделието не е качествено”, а А е събитието “Изделието е минало опростения контрол”. Тогава





Задача 5. На всеки 6 изстрела един курсант улучва целта средно 5 пъти. Да се намери вероятността при дванадесет изстрела той да улучи целта точно три пъти.

Решение. Прилагаме формулата на Бернули

при . Тогава





Задача 6. Стрелец стреля по цел 3 пъти. Вероятността, че той ще улучи целта поне един път е 0,992. Да се намери вероятността за улучване на целта при един изстрел.

Решение. Нека А е събитието – "При един изстрел стрелецът улучва целта" и . Тогава и



Задача 7. Процентът на изделията от първо качество в едно предприятие е 31. Какъв е най-вероятния брой изделия от първо качество в партида от 75 изделия?

Решение. Нека А е събитието – "Случайно избрано изделие от партидата е от първо качество". Тогава . Прилагаме формулата , при и получаваме . Следователно

Задача 8. Най-вероятния брой на попаденията при стрелба с оръдие по невидима цел е 10 при вероятност за попадение при един изстрел 0,8. Да се определи броят на изстрелите.

Решение. От формулата , при ; и получаваме

и от другото неравенство



Следователно броят на проведените изстрели е 12.



Задача 9. За поражение на цел при стрелба с оръдие е достатъчно едно попадение. Вероятността за попадение при всеки изстрел е 0.15. Какъв ще бъде разходът на снаряди, ако вероятността за поражение на целта трябва да бъде по-голяма от 0.94?

Решение. Нека А е събитието – "Целта е улучена". Тогава . Използваме формулата

и получаваме



Следователно .






Сподели с приятели:




©obuch.info 2024
отнасят до администрацията

    Начална страница