§18. Задачи от случайни величини Съдържание
Изтегляне 83.31 Kb.
|
- Навигация на страницата:
- Числови характеристики на случайни величини. Математическо очакване
- ЗАДАЧИ Задача 1.
|
§18. Задачи от случайни величини Съдържание 1. Основни дискретни разпределения 2. Някои непрекъснати разпределения
Числова величина, която в резултат от даден експеримент може да прима различни стойности с известно разпределение на вероятностите се нарича случайна величина. Случайната величина
Една случайна величина  се нарича абсолютно непрекъсната, когато нейните стойности запълват един или няколко интервала, при което можем да намираме вероятността  , стойността на разглежданата величина да се помества в интервала  по следната формула
 .
Тук  (условие за нормировка).
Всяка неотрицателна функция Нека Ако  ,
където Непосредствено от определението се получават следните основни свойства на функцията на разпределение.
Всяка функция Числови характеристики на случайни величини. Математическо очакване (средно) на дискретната случайна величина ,  ,  , се нарича числото (когато съществува)
Ако  .
Дисперсия  на дискретната случайна величина се нарича числото (когато съществува)
 .
Ако  .
Числото ЗАДАЧИ Задача 1. Три монети се хвърлят едновременно един път. Да се псстрои закона на резпределение на случайнта величина X- задаваща броя на появилите се гербове при това хвърляне и да се пресметнат M[X]; D[x] и P(X<2). Решение. Провеждането на опита “хвърляне на три монети едновременно” има същия резултат както ако една монета се хвърля три пъти последователно. При това герб може да се падне 0, 1, 2, 3 пъти, т.е, случайнта величина X - задаваща броя на появилите се гербове има биномно разпределение с вероятност при един опит  . Следователно
 
 
Тъй като разпределението е биномно, то  ;  ;  .
Задача 2. Магазин получава ежедневно 1000 бутилки минерална вода. Вероятността за това, че при транспортирането дадена бутилка ще се счупи е 0,003. Намерете вероятността счупените бутилки да са: 2.1. точно 3. 2.2. по-малко от две Решение. Случайната величина X, задаваща броя на счупените бутилки има биномно разпределение при n=1000 и p=0,003. Тъй като n.p=3 е от порядък на единици, можем да считаме, че X има Поасоново разпределение с параметър a=n.p=3 и закон за разпределение
2.1.  ;
2.2.  .
Задача 3. Ловец, който има само 4 патрона, стреля по цел до първо попадение или да изразходване на патроните, Да се състави закона на разпределение на случайната величина X, задаваща броя на изразходваните патрони, ако вероятността за попадение при всеки изстрел е една и съща и равна на 0,25. Да се пресметнат M[X]; D[x] и P(X>3). Решение. Нека A е събитието “целта е улучена”. Тогава P(A)=  ; 
 ;
 ;
 ;
 .
Следователно законът за разпределение на случайната величина е
Задача 4. По маршрут на автомобил има 5 светофара всеки, от които с вероятност 0,5 разрешава преминаването. Съставете закона за разпределение на случайната величина X, задаваща броя на светофарите, задминати от автомобила до първото му спиране. Преметнете M[X]; D[X] и P(X>4). Решение. Нека A е събитието “преминаването е тазрешено”. Тогава  ; ;  ;  ;  ;  ;  .
 ;
Задача 5. Правят се последователни изпитания относно сигурността на 5 апарата. Всеки следващ апарат се изпробва смо в случай, че предишният се е оказал негоден. Вероятността определен апарат да е надежден е 0,6. Определете закона на разпределение на случайната величина X, задаваща броя на надеждните апарати. Преметнете M[X]; D[X] и P(X<2). Решение. Нека A е събитието “даден апарат е надежден”. Тогава  ;  ;  ;  ;  ;  ;  .
 ;  .
Задача 6. Дадена е случайната величина X с диференциалната си функция на разпределение 
Да се намери 6.1. константата А; 6.2. интегралната функция на разпределение F(x); 6.3. вероятността за попадение на X в интервала  . Преметнете M[X]; D[X].
Решение. 6.1. Използваме, че  . Тогава  
6.2. 
6.3. 
защото подинтегралната функция е четна, а границите на интеграла са симетрични относно началото на абсцисната ос. 
Задача 7. Дадена е случайната величина X с диференциалната си функция на разпределение 
Да се намери 7.1. константата А; 7.2. интегралната функция на разпределение F(x); 7.3. вероятността за попадение на X в интервала  . Преметнете M[X]; D[X].
Отговор Задача 8. Дадена е случайната величина X с диференциалната си функция на разпределение 
Да се намери: 8.1. константата А 8.2. интегралната функция на разпределение F(x); 8.3. вероятността за попадение на X в интервала . Преметнете M[X]; D[X].
Отговор
Задача 9. Дадена е случайната величина X с интегралната си функция на разпределение 
Да се намери 9.1. константата А; 9.2. диференциалната функция на разпределение f(x); 9.3. вероятността за попадение на X в интервала  . Преметнете M[X]; D[X].
Задача 10. Дадена е случайната величина X с интегралната си функция на разпределение 
Да се намери 10.1. диференциалната функция на разпределение f(x); 10.2. M[X]; 10.3. D[X]. Каталог: NVUMathLectures -> JORGOV-EXERCISES -> VM-3 VM-3 -> §16. Задачи от пресмятане на вероятности Съдържание VM-3 -> Задачи от степенни редове Съдържание VM-3 -> §17. Задачи от пресмятане на пълна вероятност и формула на Бейс Съдържание VM-3 -> Теория криволинеен интеграл от първи род Изтегляне 83.31 Kb. Сподели с приятели:
|
от елементарните изходи на даден експеримент.Ако имаме дискретно вероятностно пространство с множество на елементарни изходи 
(крайно или безкрайно), можем да определим една случайна величина 
за всеки елементарен изход 
, 
е някаква неотрицателна функция, определена за всяко 
и интегруема над всеки числов интервал. Функцията 
е достоверно, то 
се нарича функция на разпределение на 
има вида
е плътността на 
и 
.
.
- вероятност случайната величина да приеме стойности от интервала 
се нарича стандартно отклонение на 
, което задава 
като друго означение за дисперсия. 
; 
; 
; 
.