Анотация
На проект
Алгебрата, математическата логиката и алгебричната геометрия са едни от най-древните области на математиката, които винаги са имали основен принос за изграждането на нейния облик и тематично единство. Участниците в представения проект работят активно в основни направления на съвременната алгебра, логика, алгебрична геометрия и техни приложения. Техните изследвания се отнасят към следните подтеми:
-
Алгебра
Проектът е насочен към изучаването на основни алгебрични системи – групи, пръстени, полета, алгебри, копродуктивни алгебри, алгебрични многообразия и други. Това включва изучаването на техни структурни и аритметични инварианти, както и на изображенията между такива системи. Освен върху водещи проблеми на алгебрата, изследванията се фокусират естествено върху алгебрични обекти, представляващи широк математически интерес, върху такива, които хвърлят мостове между алгебрата и други области на математиката, като геометрията, топологията, теорията на числата, комплексния анализ, диференциалните уравнения, абстрактната теория на рекурсията, теорията на алгоритмите и други. Пример в това отношение е връзката на определени типове алгебри на коси полиноми с теоретико-множествени решения на уравненията на Янг-Бакстер и с теорията на квантовите групи. Специално внимание се обръща и алгебрични структури възникващи в квантовата механика, теорията на полето и други области на теоретичната физика, а също така, в органичната химия и в други природни науки. Тематиката на проекта е мотивирана и от приложения на алгебрата в теорията на кодирането, теорията на сложността на алгоритмите, икономиката и други.
-
Алгебрична геометрия
Най-общо казано, предмет на алгебричната геометрия са основно множествата от решения на системи полиномиални уравнения. Понастоящем тя използва значителен брой техники от общата, комутативната и хомологичната алгебра за решаването на геометрично формулирани проблеми. В резултат на забележителния прогрес в развитието й през 60-те на 20 век, алгебричната геометрия се утвърждава като основен клон на математиката, в който се работи изключително активно, и който се намира във все по-важни връзки с редица други области на математиката и точните науки като комплексния анализ, топологията, теорията на числата, комбинаториката, теoрията на представянията, диференциалните уравнения и математическата физика. През последните двадесет години алгебричната геометрия взаимодейства активно с теоретичната физика, основно в областта на теорията на струните, огледалната симетрия и квантовата теория на полето. Алгебричната геометрия се прилага и в компютърните науки, биологията, финансовата икономика и математическата статистика.
Изследванията в подтема “Алгебрична геометрия” включват алгебричните криви и техните модули, разслоенията на Хигс и техните модули, абелевите многообразия и алгебричните интегрируеми системи, неабелевата теория на Ходж, стековете на де Рам и Долбо, и свързаните с тях въпроси.
-
Математическа логика
Mатематическата логика е дял от математиката, изследващ законите на мисленето с математически методи. Тя е тясно свързана с основите на математиката и теоретичната информатика. Математическата логика е традиционно подразделяна на теория на множествата, теория на моделите, теория на изчислимостта и теория на доказателствата. В този проект основно внимание се отделя на въпросите от математическата логика, свързани с т.нар. формални методи, и на подходът към теорията на изчислимостта, известен като абстрактна теория на рекурсията.
Формалните методи съдържат много приложения на математическата логика. Те стават аткуални във връзка с бурното развитие на автоматиката и изчислителната техника и автоматизацията на проектирането. Все по-голямата производителност на изчислителната техника позволява тези типично изискващи обемисти изчисления и логически изводи методи да се осъществяват с помощта на подходящ софтуер. Сред задачите, решавани с формални методи са задачата за проверка на коректността на построението на дадена автоматизирана система по модел (model-checking), задачата за синтез от спецификации, за проектиране от компоненти по т.нар. софтуерни контракти. Казаните задачи имат разновидности в зависимост от пространството от състоянията в моделите (крайно, дискретно, включващо реални величини, динамични структури от данни и пр.) и начина на изменението на състоянията във времето (на дискретни стъпки или непрекъснато), присъствието на случаен елемент и на (игрово) взаимодействие с други системи. Езици за спецификации са както класическата предикатна логика от първи и втори ред, така и модални, темпорални и други некласически логики. Сред чисто логическите задачи, свързани с формалните методи, са разрешимостта на истинността в конкретен модел и на общовалидността, търсенето на логически извод, сравняването на изразителната способност на свързани логически езици, задачи от теорията на формалните езици и крайните автомати, оценки на изчислителната сложност на тези задачи. Решаващо за ползата от формалните методи е и качеството на програмната им реализация, която нерядко изисква разработването на нови решения в програмирането.
Абстрактната теория на рекурсията възниква с опитите за аксиоматично третиране на свойствата на алгоритмите и свързаните с тях изчислителни устройства. В последно време бяха забелязани възможности да се използва анализът на алгоритмите от абстрактната теория на рекурсията за решаване на най-важните въпроси на теорията на сложността на алгоритмите. Изследванията по абстрактна теория на рекурсията и теорията на сложността целят осъществяването на тези възможности.
-
Стандартизация на географска информация и приложението й в антарктическата топонимия
Дейността по темата включва идентификация, картографиране и описание на безименни антарктически географски обекти с оглед тяхното наименуване с български имена. Ползуватели на научните продукти са Министерство на външните работи и Президентът на Република България, и Международният комитет за антарктически изследвания SCAR към ICSU. Научно-приложните разработки се реализират чрез укази на Президента за наименуване на антарктически географски обекти, и чрез периодично включване на разработките в международния Справочник на антарктическите географски имена Composite Gazetteer of Antarctica публикуван от SCAR (https://data.aad.gov.au/aadc/gaz/scar/).
Изпълнител: доц. д-р Любомир Иванов, член на Националния съвет по стандартизация на географските имена към Министерство на регионалното развитие и благоустройството, председател на Комисията по антарктическите наименования към МВнР, и член и национален представител на България в Постоянния комитет по антарктическа географска информация SCAGI на SCAR.
Списък на колектива
доц. д-р Иван Чипчаков (ръководител)
акад. дмн Веселин Дренски
проф. дмн Валентин Ванков Илиев
доц. дмн Георги Томанов
доц. д-р Татяна Гатева-Иванова
доц. д-р Йордан Зашев
доц. д-р Димитър Гелев
доц. д-р Любомир Иванов
доц. д-р Васил Кънев
доц. д-р Даниела Николова-Попова
гл. ас. д-р Христо Илиев
ас. д-р Петър Далаков
мат. д-р Вилислав Бучакчиев
мат. д-р Димитър Стефанов
мат. д-р Димитър Циганчев
мат. Димитър Добрев
Индивидуални изследователски планове
на членовете на колектива
Aкад. Веселин Дренски. Основните усилия ще бъдат съсредоточени върху въпроси от теорията на алгебрите с полиномни тъждества, класическата и некомутативната теория на инвариантите, както и върху разработване на нови алгоритми за смятане с полиномни тъждества, с пораждащи и съотношения на алгебри и на редове на Хилберт на градуирани обекти в горните раздели на алгебрата, със симетрични функции и с хипергеометрични функции на матричен аргумент. Предвижда се програмна реализация на алгоритмите за нуждите на колективите, извършващи изследванията.
-
Съвместно с Леонид Бедратюк (Университет в Хмелницки, Украйна) ще бъдат намерени нови еквивалентни условия за крайна породеност на алгебрите на инвариантите на редуктивни групи, действащи върху относително свободни асоциативни алгебри.
-
Съвместно с Пламен Кошлуков (Университет в Кампинас, Бразилия) и негови студенти и докторанти ще бъде пресметната размерността на Гелфанд-Кирилов на относително свободни алгебри на Ли.
-
Съвместно с Пламен Коев (Щатски университет в Сан Хосе, Калифорния, САЩ) ще бъдат усъвършенствани методите за пресмятане на хипергеометрични функции на матричен аргумент.
-
Ще бъдат завършени съвместни изследвания, започнати предишни години и доведени до различна степен на готовност по алгебри с полиномни тъждества и теория на инвариантите със Силвия Бумова (ИМИ и Висше строително училище „Любен Каравелов” в София), Лотар Геритцен (Рурски университет в Бохум, Германия), Шехмус Фъндък (Университет в Адана, Турция), Матяш Домокош (Математически инситут на Унгарската АН), Франческа Бенанти и Антонио Джамбруно (Университет в Палермо, Италия), Роберто Ла Скала (Университет в Бари, Италия), Лучо Чентроне (Университет в Кампинас, Бразилия), Джиетаи Ю (Университет в Хонг Конг), Пламен Кошлуков (Университет в Кампинас, Бразилия), Леонид Макар-Лиманов (Университет „Уейн” в Детроит, САЩ), Мартин Касабов (Университет „Корнел”, САЩ) и по решетки от подалгебри на градуирани алгебри на Ли с Висенте Вареа (Университет в Сарагоса, Испания).
Проф. дмн Валентин Илиев. Теорията на вероятностите се дели структурно на две части. Едната част е чисто аналитична и обхваща теорията на интегрирането (мярката). Другата част гравитира около понятието за независимост и определя спецификата на тази теория. Съгласно А.Н.Колмогоров – велик пионер на теорията на вероятностите – един от най-важните въпроси във философията на естествените науки е да се изучат предпоставките, при които дадени реални явления да се разглеждат като независими.
В момента, заедно с моя дипломантка работя по проект за превод на втората част на теорията на езика на теория на категориите. Понятието за независими морфизми, обобщаващо независимост на събития и на вероятностни експерименти е определено от мен в чисто категорни термини и представлява ядрото на проекта, около което ще се развие категорификацията на тази теория.
Доц. д-р Иван Чипчаков. Подготовка за печат на две статии, посветени на p-размерностите на Брауер на широк клас полета, както и на връзките между индексите на Шур и експонентите на техните централни прости (крайномерни асоциативни) алгебри. Изследването включва оценки отдолу и отгоре за споменатите p-размерности, а в редица често използувани частни случаи – и явни формули за тях.
Подготовка за печат на статия, посветена на структурата на крайно породените про-p-групи, реализиращи се като групи на Галоа на максимални p-разширения. Като стъпка в тази посока предвиждам да бъдат определени т.н. групи на разлагане на про-p-групите на Дьомушкин и да бъде решена основната задача в случая, когато основното поле е снабдено с p-хензелево нормиране с поле от остатъци с ненулева характеристика p..
Доц. д-р Татяна Гатева-Иванова.
1. Ще продължа изследванията си върху асоциативни алгебри и алгебри на Ли, дефинирани с думи на Линдон. Ще работя и върху своята хипотеза, че при определени условия, всяка Артин-Шелтър регулярна алгебра има множество от обструкции, състоящо се от думи на Линдон. Първо ще насоча вниманието си върху класификация на крайно породени алгебри на Ли, L, дефинирани чрез Лиеви мономи. Изветно е, че съответната универсална обвиваща алгебра U(L) е регулярна в смисъл на Артин и Шелтър тогава и само тогава, когато L е крайно мерна.
2. Ще продължа изследванията си върху теоретико-множествени решения на уравнението на Янг-Бакстер и асоциираните към тях алгебрични структури. Ще работя върху своята хипотеза, че всяко крайно решение свободно от квадрати е мултипермутационно.
Доц. д-р Васил Кънев. Завършване на различни детайли и подготовка за печат на статия посветена на модулярните свойства на пространства на Хурвиц, които параметризират покрития на Галоа на дадена алгебрична крива от произволен род. В тази насока планирам изследване на аритметични свойства на пространствата на Хурвиц с оглед на евентуални приложения към обратната проблема на Галоа.
Завършване на детайли и подготовка за печат на статия посветена на доминантност на изображение на Прим-Тюрин от пространство на Хурвиц в модулярното многообразие на Зигел параметризиращо главнополаризирани абелеви многообразия от размерност 6.
Усилване на резултатите ми за унирационалност на пространства на Хурвиц, които параметризират покрития на алгебрични криви от степен 3, 4 или 5 в случай на неголям брой на точки на разклонение. Ще се търсят евентуални приложения за доказване на унирационалността на някои модулярни пространства на Зигел.
Доц. д-р Георги Томанов. Изследване на ефективното разпределение на множеството от значения в целите точки на нерационални разложими форми. Целта е да се привлекат методи и идеи от теорията на динамичните системи и от ергодичната теория в духа на неотдавни работи на Линденщраус, Шах, Беноа и Кент. Това е проект с Дмитрий Клейнбок.
Доц. д-р Любомир Иванов. По подтема "Стандартизация на географска информация и приложението й в антарктическата топонимия" се планира: Изготвяне на 2 до 3 научно-приложни разработки годишно, всяка от тях с идентификация, картографиране и описание на няколко десетки безименни антарктически географски обекта; внасяне на всяка разработка в Комисията по антарктическите наименования към МВнР с предложение за наименуване на обектите с български имена, и предлагане на одобрените наименования с описание на обектите за тяхното утвърждаване от Президента на Република България. Предоставяне на всяка от разработките в Постоянния комитет по антарктическа географска информация на SCAR за включването й в международния Справочник на антарктическите географски имена.
Доц. д-р Йордан Зашев. В по-близкa перспектива: фундаментални свойства на копродуктивните алгебри като основа за развитието на абстрактната теория на рекурсията в контекста на, и до степен пригодна за, апроксимацията на хипотезата на Кук и други сходни въпроси на теорията на сложността. В по-далечна перспектива: ще продължат търсенията във връзка с възможността за предикативна апроксимация на хипотезата на Кук.
Доц. д-р Димитър П. Гелев. Продължаване на изследванията върху разширенията на темпорални логики с поточкова семантика, включващи епистемични модалности, теоретико-игрови оператори, стратегически контексти и refinement. Продължаване на изследванията върху дедуктивната верификация на системи, работещи в реално време, в частност на системите от тип на Хоар за извод на свойства на процеси от алгебрата от процеси Hybrid Communicating Sequential Processes, записани на езика на темпоралната логика Duration Calculus или на предикатен език с явни означения за времето. Осъвременяване на английската версия на курса по темпорална логика за докторанти и дипломанти. Проучване на съвременното състояние на разрешаващия метод на Тарски за елементарната алгебра и геометрия.
Гл. ас. д-р Христо Илиев. Основната насока на работата ще е конструирането и изучаването на определени свойства на семейства от алгебрични криви с фиксирани числови инварианти.
Съвместно със Сонджа Ким и Йонгук Чой ще бъде бъде продължена настоящата ни работа по определяне на неприводимостта на Хилбертовата схема от алгебрични криви. Целта е конструрането на компоненти от двата ``крайни'' типа: такива чиято проекция в пространството на модули на алгебрични криви е от минимална размерност, както и такива за които ко-размерността на проекцията е минимална.
Ще се изследват и локусите на Брил-Ньотер от ко-размерност 2 и 3 в пространството на модули на алгебрични криви като ще се цели да се идентифицират определени съотношения в пръстена на Чжоу, както и да се определят други основни техни свойства. Ще се търсят и приложения на тези резултати в други задачи отнасяни към ``теория на Брил и Ньотер''.
Ас. д-р Петър Далаков:
-
Изследване на поляризацията на многообразията на Донаги-Прим, асоциирани със системата на Хитчин и нейните обобщения.
-
Изследване на специалната Келерова метрика върху базата на Хитчин за някои изключителни комплексни прости групи на Ли (съвместно с У. Бруцо).
-
Изучаване на хиперкелеровите метрики върху коприсъединените орбити на прости комплексни групи на Ли чрез методите на обобщената комплексна геометрия (съвместно със Ст. Гуерра).
-
Изследване на връзката между смесените структури на Ходж, дефинирани от К.Симпсън и тази, дефинирана от Р.Хейн върху локалните пръстени на пространството на Де Рам, за точки, съответстващи на вариации на комплексни структури на Ходж.
Мат. д-р Вилислав Бучакчиев: Основните ми усилия през периода 2014-2016 ще са разделени между две направления: алгебрична геометрия и ефективност на финансовите пазари.
Алгебрична геометрия Най-новите изследвания в областта на Неаблелевата теория на Ходж дават индикация, че дефинираната от Пантев, Тоен, Ваки и Весози дефинират n-отместена симплектична структура върху Артинови стакове (ср. http://lanl.arxiv.org/abs/1111.3209), може да се представя чрез итерирани интеграли. Моите усилия през следващите месеци и години ще бъдат насочени в изучаването и реализирането на тази перспектива.Първа стъпка в това направление е пресмятането на примери.
Финанси Като продължение на предишните ми изследвания в тази област планирам да разследвам дали има зависимост между особени събития в корпоративното управление на фирмите и импакта върху тях на пазарните аномалии. По-специално, интересува ме дали Момент е свързан положително с издаване на корпоративни облигации, смяна на висшето корпоративно ръководство, промяна на данъчното законодателство и т. п.
Факултативна дейност Инициативата Цирк на науката (ср. https://www.facebook.com/Circusofscience ) ще продължава. По-нататъшното ни разширяване на дейността ще бъде свързано с участия в училищни мероприятия в няколко средни училища, (ЧСОУ „П. Р. Славейков“ в София, ГПАЕ „Гео Милев“ в Бургас.)
Мат. Димитър Добрев:
Програма за откриване на зависимости без памет
Тази задача е от областта на Изкуствения Интелект. Според дефиницията AI е програма, която в произволен свят би се справила достатъчно добре. Следователно, ако искаме да създадем такава програма ние се сблъскваме с две задачи. Първо, как програмата да разбере света, т.е. на построи адекватен модел. Второ, как на базата на този модел да планира действията си с цел да се справи добре.
Тук ще се занимаваме само със задачата за намирането на адекватен модел на света. При това ще се интересуваме само от най-простите зависимости, които са зависимостите без памет. Това са зависимости от вида: „Ако виждаме това, то на следващата стъпка ще се случи онова.“ Тези зависимости естествено се представят под формата на импликации. Ако лявата част на импликацията е празната, то зависимостта е абсолютна и не зависи от нищо, но по-интересен е случая когато зависи от входа и изхода от предишната стъпка. Тоест, нямаме памет за по-стари събития, но помним какво се е случило на последната стъпка. Дори ще предполагаме, че помним историята за последните N стъпки, където N е някакво малко число (например нека N да е 5). Следователно зависимостите без памет зависят само от последните N стъпки, но не зависят от по-стара информация.
Целта ни е да направим програма, която по дадена последователност от входно-изходни данни намира зависимостите без памет и на тяхна база прави прогноза за следващия вход. Подобна програма (App4) вече е правена през 2001 година и е публикувана на (http://dobrev.com/AI/), но там съществуват известни ограничения, които при новата програма трябва да бъдат коригирани. Първо, там (в App4) се предполага за входно-изходните данни, че са булеви вектори, докато по-правилно е да се предполага, че са вектори от скалари (крайни и дори и безкрайни скалари). В App4 имаме ограничението N=1, но ще се освободим от това ограничение. Може би най-съществен е въпросът с некоректните ходове, който в App4 не е решен добре.
За да се напише програмата за откриване на зависимости без памет трябва да се преодолеят редица практически и теоретични проблеми. App4 работи с милиони импликации и въпреки това резултатите от App4 са крайно незадоволителни. Нужно е така да се представят данните, че програмата да може ефективно да търси зависимости. Искаме да получим една практически полезна програма, а не един безполезен теоретичен резултат.
Имаме и много теоретични проблеми, които трябва да се преодолеят. Най-вече в областта на логиката, но също така и в областта на алгебрата, защото става дума за булеви и крайни алгебри, които са на границата между логика и алгебра. Има и много проблеми свързани с вероятности и статистика. Например когато имаме няколко импликации, чието условие е изпълнено и тези импликации ни дават различна вероятност за настъпването на определено събитие на следващата стъпка, то ние трябва да отговорим каква вероятност очакваме за това събитие и до колко сме уверени в това очакване. Задачите, които излизат от областта на с вероятности и статистика може да се окаже, че вече са решени, но трябва да се потърсят и намерят тези резултати.
Сподели с приятели: |
