Чист опън и чист натиск 1 Определение



Дата03.11.2017
Размер0.68 Mb.
#33792
ТипГлава
Глава 4. Чист опън и чист натиск
4.1 Определение

Един конструктивен елемент работи на чист опън (натиск) ако от шестте разрезни усилия отлична от нула е само нормалната сила, а останалите пет са тъждествено равни на нула



, (4.1)

Ако елементът работи на чист опън, а при - на чист натиск.

Само с нормална сила са натоварени прътите в ставно-прътовите конструкции (фермите), изучавани в курса по Теоретична механика, както и греди под въздействието само на осов товар, каквато е показаната на фиг. 4.1. Възможен е и случай един участък от гредата да е натоварен на чист опън, а друг – на чист натиск.

4.2 Напрежения

Ако по повърхността на прът с призматично напречно сечение се начертае мрежа от прави линии, успоредни и перпендикулярни на оста му и след това се натовари с осова сила, то може да се види че след деформацията, с изключение на участъка около линията на закрепване, напречните линии ще се преместят надолу, но ще останат хоризонтални (фиг. 4.2). Това е едно потвърждение на хипотезата на Бернули за равнинност на напречните сечения. Тази картина ни дава основание да приемем, че в сеченията възникват само равномерно разпределени нормални напрежения



(4.2)

Съгласно предпоставката сист. достигаме до



(4.3)

От (4.2) и (4.3) се получава формулата за определяне на нормалните напрежения



(4.4)
Ако нормалната сила е променлива по дължината на участъка и напречното сечение на елемента не е постоянно, то нормалните напрежения също така се променят с абсцисата
(x) = (4.5)

В зависимост от натоварването един конструктивен елемент може да бъде натоварен на опън, на натиск или на опън и на натиск. Опънните напрежения се приемат за положителни, а натисковите – за отрицателни.

Напреженията върху площадка с нормала ос х са показани на фиг. 4.3а. Напреженията върху площадка, чиято нормала сключва ъгъл с положителната посока на оста х се определят както при едномерно напрегнато състояние

(4.6)

Пълните напрежения pn са показани на фиг. 4.3б.




4.3 Деформации и премествания

При натоварване само по оста преместванията на точките ще бъдат с копоненти само по , които се означават с . Преместванията ще зависят само от , т. е. . Тогава деформацията ще се определи от ( . ), като частната производна се замени с обикновена



(4.7)
Като използуваме простия закон на Хук, валиден за едномерно напрегнато състояние

,

от (4.4) и (4.7) се стига до



, или
(4.8)

Интеграционната константа се определя от гранично условие. Например, за конструкцията от фиг. 4.1 граничното условие е или .

Ако ни интересува удължението или скъсяването на определен елемент, то интегрирането може да се извърши с определен интеграл

(4.9)

В частен, но доста разпространен в практиката случай на прът, натоварен с постоянна осова сила (фиг. 4.4), когато и , за алгебричното удължение се получава простата формула



(4.10)

В изразите за преместванията в знаменател се съдържа произведението на модула на еластичност и площта на напречното сечение . Това произведение е обратно пропорционално на преместванията на точките от елемента и се нарича коравина при чист опън или натиск.


4.4 Статически определими и статически неопределими системи

при чист опън (натиск). Отражение на температурата и

конструктивните неточности върху усилията.

За да определим разрезните усилия в една механична система е необходимо да знаем опорните реакции. Ако опорните реакции могат да бъдат определени с уравненията на статиката казваме, че системата е статически определима. Ако броят на неизвестните опорни реакции е по-голям от броя на уравненията на статиката, то системата е статически неопределима.

Нека броят на уравненията на статиката е , а броят на неизвестните опорни реакции да е . Тогава

(4.11)

се нарича степен на статическа неопределимост. При > 0 за съответната конструкция се казва че е пъти статически неопределима. Ако конструкцията е статически определима, а при <0 имаме механизъм. Показаните на фиг. 4.5а и фиг. 4.5б системи са статически определими. При първата неизвестни са двете прътови усилия, а броят на уравненията на статиката за равновесие на равнинна система съначални сили е също

две. За втората при този вид натоварване опорната реакция е една - , а от уравненията на статиката остава само едно проекционно за вертикална ос. Конструкциите от фиг. 4.5в и фиг. 4.5г са по един път статически неопределими.

За определяне на опорните реакции, съответно разрезните усилия, в статически неопределимите системи е необходимо броят на недостигащите уравнения на статиката да се допълни с допълнителни уравнения, описващи начина на деформиране на конструкцията след прилагане на външното натоварване. Това са уравненията на геометрията. Преместванията се изразяват чрез нормалните усилия чрез уравненията на физиката, или закона на Хук. Така, като се отчетат и уравненията на статиката, сумарно се достига до линейна система уравнения, броят на които съответствува на броя на

неизвестните, след решаването на която се получават неизвестните сили.

Описаната процедура и последователността на решението е илюстрирана върху следващите два примера.



Пример 4.1 Да се определят функциите и начерте диаграмата на нормалната сила на показаната на фиг. 4.6а колона. Участъците АB и BC са с постоянни напречни сечения, съответно A1= 400cm2 и A2 = 2,5 A1, материалът на колоната е с модул на линейните деформации = 2750 kN/cm2 и коефициент на температурно разширение 1,3.10-5 1/0C.

Прилагаме принципа на освобождаването и на местата на запъванията прилагаме опорните реакции Av и Cv. Уравнението на статиката е едно:



– 100 . 3 – 600 = 0

Броят на неизвестните опорни реакции е две - Av и Cv, задачата е един път статически неопределима. Функциите на нормалната сила в участъците AB и BC са съответно





Уравнението на геометрията изразява, че разстоянието между точките А и С остава неизменно, т. е. сумата от удълженията на двата участъка е 0. Съгласно (4.9), базирана на закона на Хук:



,

или ако умножим с по-голямата коравина стигаме до недостигащото уравнение

2,5 ,

след решаването на което се получава kN, kN, а функциите на нормалната сила са





Диаграмите на разрезните усилия са показани на фиг. 4.6в.

Съгласно (4.8) функциите на преместванията в двата участъка са

; .

Преместванията са малки величини, подходящо е да се работи с кратни техни стойности. Умножаваме последните равенства с едната коравина, например с по-голямата:





Двете интеграционни константи и се определят от граничните условия, изразяващи че преместването на т. А е нула и преместването на т. В и за двата участъка е едно и също:



и

kNm.

Така че за функциите за преместванията в двата участъка се стига до изразите





Проверката е, че т. С също не се премества, т. е. . Диаграмата на кратната стойност на осовите премествания е показана на фиг. 4.6г. Самото преместване на т. В ще се получи, като разделим на коравината на втория участък



cm

Ако вместо външно натоварване единият от участъците, например първия, е нагрят с С над монтажната температура, то опорните реакции ще бъдат и - фиг. 4.6д. Уравнението на статиката става =0, разрезните усилия ще бъдат . Деформационното условие е отново сумарното удължение на колоната да е равно на нула, но тук освен еластичните удължения в първия участък ще има и температурно разширение



= 0, или след умножаване с

2,5. 3. + 1,3.10-5.50.3.2750.1000 + 2. = 0, от където



= - 564,5 kN.

Знакът минус означава, че при нагряването на участък от двойно запънатата колона усилието е натисково. При охлаждане на участъка температурната разлика се отчита с отрицателен знак, тогава температурните усилия ще са опънни.

Ако единия участък, например АВ, е изпълнен с = 0,15 cm по-дълъг от предвидената дължина, то след монтажа опорните реакции ще бъдат и .Уравнението на статиката е

= 0,

нормалните усилия са



.

Деформационното условие за нулево сумарно удължение се записва



= 0, което води до

2,5.3 + 2750. 1000.0,0015 + 2. = 0, или



= -434,2 kN.

Знакът минус означава, че когато един участък се изпълни по-дълъг от проектната дължина и колоната се монтира с размерите си, то тя е с натискови усилия. Ако участъкът е изпълнен по-къс от проектната си дължина то удължението се взема с отрицателен знак и резултатът ще бъдат опънни усилиа.



Пример 4.2 Недеформируема греда АВС е подпряна и натоварена съгласно фиг. 4.7а. Прътите BD и CD са съответно с напречни сечения = 2 и = 16 cm2. Материалът от който са направени прътите е с модул на линейните деформации kN/cm2. Да се определят опорните реакции и вертикалното преместване на точка С.

От геометрията на конструкцията може да се определи, че ъгъл = 33,690. Прът BD е с усилие , площ на напречното сечение = 32 cm2 и дължина = 3,606 m, прът CD е с усилие , площ на напречното сечение = 16 cm2 и дължина = 3 m.

Независимите уравнения на статиката са три:

= 0 = 0;

= 0 = 0; (*)

= 0 = 0.

Броят на неизвестните в горната система е четири - и . Задачата е един път статически неопределима. Недостигащото четвърто уравнние се получава, като се разгледа деформираното положение на системата от приложеното натоварване –фиг. 4.7б. Поради това, че гредата е недеформируема, тя остава права и след деформацията на прътите. Точка В отива в положение В1, а точка С – в С1. От подобието но триъгълниците АВВ1 и АСС1 чисто геометрично може да се запише



.

Отсечката представлява удължението на прът CD под действието на постоянното прътово усилие , което съгласно (4.10) е



Ако завъртим недеформирания прът BD около точка D то точка В попада в положение В’, а удължението е



Но поради това, че преместванията на точките са малки, можем да заменим дъгата BB’ с тангентата, така триъгълникът BB1B’ e правоъгълен, в него ъгъл BB1B’ не се различава много от ъгъл и може да се приеме за равен на . Тогава



.

За деформационното условие се получава



, или за данните на задачата

1,204 .

Последната зависимост добавяме към системата (*) като четвърто уравнение и неизвестните вече могат да се намерят. Техните стойности са:



130,2 kN ( ); 78,12 kN ( ); 234,8 kN (o); 282,8 kN (o).

След определянето на опорните реакции те трябва да се проверят чрез едно или няколко независими условия за равновесие, в което да участвуват всички новополучени величини. За задачата ни е подходящо моментово условие например за точка на 1 m над средата на участък АВ.

Вертикалното преместване на т. С ще бъде равно на удължението на прът CD:

= 0,002651 m = 0,2651 cm.

Влиянието на нагряването или охлаждането на някой от прътите или на монтажни неточности се отчитат чрез разсъждения подобни на тези от предходния пример.


4.5 Експериментални изследвания на материалите при чист опън или чист натиск

Формите на опитните тела при изследване на чист опън или чист натиск са различни. Изпитването на опън се извършва чрез тела със стандартна форма, показани на фиг.4.8а. Те се наричат пробни тела или епруветки. Съдържат работна част с постоянно напречно сечение, от която с плавен преход за предотвратяване на концентрацията на напреженията се преминава към уширения за захващане на

челюстите на изпитателната машина. Напречните им сечения са обикновено кръгли с диаметър = 15 – 20 mm или по-рядко квадратни. Дължината на работната част


= 5. при къси тела и = 10 – 15 . за дълги пробни тела. Изпитателните машини по механичен – чрез система от лостове, електрически или хидравличен – чрез система от бутала, начин натоварват на опън по статичен начин захванатото за челюстите им

пробно тяло. Приложената сила може да нараства от нула до стойност, причиняваща скъсване на образеца. Във всеки момент има индикация показваща големината на силата. Често машините са комплектовани със самопишещи устройства за чертане със специален писец върху милиметрова хартия на зависимостта напрежение-деформация. Тази зависимост се нарича работна диаграма за съответния материал. На фиг 4.9 са показани за сравнение работните диаграми на висококачествена легирана стомана (крива 1), на нисковъглеродна стомана (крива 2) и на алуминий (крива 3). Най-богата на съдържание е крива 2, която е показана в по-едър мащаб на фиг. 4.10. Нейният първи участък ОА1 е линеен, което означава, че напреженията са пропорционални на деформациите, или материалът следва закона на Хук. Този участък е много стръмен, защото уравнението му е , а вече знаем, че е голямо число. Най-голямото напрежение, до което е в сила законът на Хук, се нарича граница на пропорционалност и се бележи с . Тази граница е важна характеристика, необходимо е да се определи от експерименталната крива колкото може по-точно, което зависи от точността на изпитвателната машина. Необходмо е да се съобрази до къде диаграмата е права и от къде преминава в крива. Това може да стане визуално, но често се прави чрез стъпково натоварване, задават се стъпки на напреженията и се измерва стъпката на изменение на деформацията . Счита се, че е достигната границата на пропорционалност когато .

След точката зависимостта напрежение-деформация преминава в крива. Следващата точка е , която определя границата на еластичност до . До достигането и се запазва еластичното поведение на материала, или при разтоварване в образеца не възникват остатъчни деформации, т.е. материалът следва линията . Но на практика дори и при малки напрежения възникват някакви, макар и много малки

остатъчни деформазии . Затова е прието да се счита, че е достигната, когато =

(1 – 5). 10-5. Поради близостта на двете граници и много често между тях не се прави разлика. Говори се за зона на еластичност, в която деформационните свойствата на материала се описват със закона на Хук.

След точката диаграмата рязко се закривява и достига точката , след която започва хоризонтален или почти хоризонтален участък . Тук деформацията расте без практическо нарастване на натоварването, без да има забележимо нарастване на напрежението. Налице е значително нарастване на дължината на опитния образец. В този случай казваме, че материалът тече или се провлача. Участъкът се нарича площадка на провлачане, а напрежението , при което тя се достига, се нарича граница на провлачане. Тя може да бъде определена доста точно от опитните резултати и е важна характеристика на изследвания материал. Дори за материали, които нямат изразена граница на провлачане, напр. криви 1 и 3 на фиг. 4.9, се въвежда условна такава, това е онова напрежение, при което деформацията = 0,002 или 0,2% (фиг.4.11). Характерно е, че след достигане на се появяват необратими (остатъчни) деформации, които се наричат пластични. Ако образецът бъде разтоварен, той не се връща в първоначалното си положение по кривата от фиг. 4.10, а е с нови размери.

Тук трябва да се отбележи, че трите граници , и са доста близки, поради това при някои модели на работната диаграма на нисковъглародни стомани те се приемат за съвпадащи.

При по-нататъшно увеличаване на натоварването се достига до зоната на уякчаването, означена на работната диаграма като . Но тук нарастването на напреженията с нарастването на деформациите не е толкова бързо както в началния участък. В един момент в образеца се появява локално стесняване, наречено шийка (фиг. 4.8б). Диаметърът постепенно намалява и накрая се стига до скъсване. Поради намаляването на напречното сечение изпитателната машина показва по-малка сила, съответно по-малко напрежение спрямо първоначалното напречно сечение, затова участък от работната диаграма е падащ. Всъщност площта на напречното сечение на шийката намалява, реалното напрежение расте и истинският последен клон от работната диаграма е показаният с пунктир . Вижда се, че най-голямото напрежение, което достига материалът на пробното тяло при нарастването на натоварването преди скъсването на образеца, е и се нарича якост на опън на материала.

Описаното поведение на опитния образец от нисковъглеродна стомана може да се обясни с поликристалния строеж на металите, използувани в строителството. В даден обем от метала се съдържа голям брой дребни кристали с хаотична ориентация. Но в самите кристали атомите на материала са разположени в правилна пространствена решетка, зависеща от вида на метала и от начина на кристализация. Между отделните атоми в решетката съществуват сили на взаимодействие. Ако върху метала се въздействува с външна сила взаимното разположение на атомите се променя, както се променят и силите на взаимодействието им, зависещи от преместванията. При сравнително малки премествания връзката между тях и силите е линейна, и това води до пропорционалността между напрежения и деформации в закона на Хук. При разтоварване на тялото атомите се връщат в първоначалното си положение, което обяснява еластичното поведение на тялото. Но при по-нататъшно натоварване все по-голяма роля започват да играят ъгловите деформации в кристалите. Също така започва и плъзгане на една част на кристалите спрямо друга. С това се обяснява пластичната деформация в отделните кристали. Плъзгането става винаги с цял брой елементи от кристалната решетка, всеки атом отива на мястото на следващия. Този процес е необратим и става в най-слабата равнина на кристала. При достигане на такова натоварване, пораждащо напрежения равни на границата на провлачане, пластичните деформации стават преобладаващи, започва масово плъзгане в кристалите, съпроводено с отделяне на топлина. Затова пластифицираните опитни образци са забележимо нагрети. Но кристалите не могат да се плъзгат неограничено, движението им се спира в съседните кристали. Това води до способност на материала да поеме известно допълнително натоварване. Но то не е толкова голямо колкото първоначалното.

Ако в един момент, например при достигане на точка , прекратим процеса на натоварване и отстраним натоварващата сила, то образецът се връща по правата , която се оказва успоредна на правата . При повторно натоварване материалът следва линията .

В европейските стандарти броят на видовете строителни стомани е доста голям. Необходимостта за произвеждане на стомани по единни критерии в различните европейски страни е довело до стандарти, описани в Еврокод 3. За доставката на нисковъглеродни стомани основният стандарт е EN10025. При изследванетона напрегнато и деформирано състояние на конструкции са приети две възможни

зависимости между напрежения и деформации. На фиг. 4.12а е показана двулинейна

идеализирана диаграма на Прандтл. Наречена е на името на немски учен, който я е предложил за първи път. На фиг. 4.12б е показана алтернативна двулинейна диаграма,

която се използува само при еласто-пластичен анализ.

Означенията на стоманите в Еврокод 3 започва с буквата S. След това следва число, показващо границата на провлачане в MPa. В зависимост от степента на откисляване (начин на изстиване), заваряемостта, ударната жилавост и други специфични изисквания стоманите се подразделят по качества. По възходящ ред те се определят с буквите JR, J0, J2 и К2. Допълнителна диференциация се прави с буквите G1, G2, G3 и G4. Стоманите от качество JR са основните стомани (BS), за тях не се предвижда годност за студено формуване, останалите са качествени стомани (QS). По отношение на степента на откисляване стандартът допуска четири възможности: opt – начинът на производство се предоставя на производителя, FU – предвижда се кипяща стомана, FN – не се допуска кипяща стомана, FF – стоманата трябва да е спокойна. Ако към означението на класа стомана накрая се добави буквата С, това очначава, че стоманата може студено да се валцува или формува.

В таблица 4.1 са дадени характеристични стойности на границата на провлачане и границата на якостта на опън на някои нисковъглеродни стомани при номинална дебелина на елементите 3 40 mm. За валцувани сечения номиналната дебелина t е дебелината на пояса, а за заварени сечения – по голямата от дебелините на пояса и стеблото.


Таблица 4.1

Нисковъглеродни стомани по EN10025

ОзначениеОткисляванеВид , kN/cm2 , kN/cm2S235JRoptBS23,536,0S235JRG1FUBSS235JRG2FNBSS235J0FNQSS235J2G3FFQSS235J2G4FFQSS275JRFNBS27,543,0S275J0FNQSS275J2G3FFQSS275J2G4FFQSS355JRFNBS35,551,0S355J0FNQSS355J2G3FFQSS355J2G4FFQSS355K2G3FFQSS355K2G4FFQS
Опитните тела за изпитване на натиск са с цилиндрична, кубична или призматична форма. Те са достатъчно къси, за да се натоварят на чист натиск и да няма допълнителни изкълчвателни ефекти. И за тези натоварвания могат да се получат работни диаграми. При сравнението им с работните диаграми за същите материали за чист опън могат да се разграничат два вида материали. При едните работните диаграми при опън и натиск са почти идентични. Дори да нямат рязко изразена граница на провлачане разрушаването става при твърде големи пластични деформации. Това свойство е характерно както за нисковъглеродните стомани, така и за легираните стомани, алуминия, бронза, медта. Тези материали се наричат жилави. При натоварване до разрушаване опитните тела от жилави материали се скъсяват и придобиват бъчвообразна форма (фиг. 4.13). Това се обяснява с триенето между образеца и хоризонталните плоскости на изпитвателната машина, което пречи на свободното разширение на двата края. Якостта на натиск не може да се определи точно, защото поради деформацията площта на напречното сечение непрекъснато се увеличава. Приема се, че якостта на натиск съвпада с якостта на опън .

Докато при друг вид материали разрушаването става внезапно при съвсем малки деформации. Освен това при тях якостта на опън е значително по-ниска от якостта на натиск . Такива материали са бетонът, бронзът, стъклото, камъкът, високовъглеродната инструментална стомана. Тези материали се наричат крехки. При увеличаване на натоварването се наблюдава появяването на пукнатини успоредно на направлението на натоварването или под наклон. Картината на разрушаване на опитни тела от крехки материали е показана на фиг. 4.14. На фиг.4.14а и 4.14б е показано характерното разрушение на цилиндрични и призматични образци от бетон, но ако се

постави смазка между плоскостите на изпитвателната машина и изпитваното тяло картината на разрушаване е като на фиг. 4.14в, която се обяснява с намаленото триене между тяло и машина. Крехките материали се разрушават при остатъчни деформации 0,05.

На фиг. 4.15 е показана работната диаграма на чугуна. Вижда се, че още от самото началото на натоварването тя е криволинейна. За този материал якостта на натиск е четири-пет пъти по-висока от якостта на опън. На фиг. 4.16 е работната диаграма на бетона. За бетона якостта на опън е около десет пъти по-ниска от якостта на натиск, поради което обикновено се приема, че той работи само на натиск. От

диаграмата се вижда, че модулът на еластичност не е постоянен в никой участък, а зависи от напрежението. В този случай се работи или с осреднен модул (пунктираната линия на фиг. 4.16а), или със секущи модули за съответните напрежения

(правите линии на фиг. 4.16б).

В таблица 4.2 са дадени якостите на опън и натиск за някои крехки материали.
Таблица 4.2

Вид на материала ,kN/cm2 , kN/cm2Бетон клас В12,50,10,95Бетон клас В150,1151,10Бетон клас В200,141,50Гранит0,49 – 0,788,83 – 22,6Варовик0,15 – 0,166,86 – 24,5Пясъчник0,2451,96 – 21,6Мрамор0,20 – 0,594,9 – 14,7Чугун сив, обикн14,0 – 18,060,0 – 100,0

И все пак делението на жилави и крехки материали е до известна степен условно. Нисковъглеродна стомана, охладена значително или след термична обработка има поведението на крехък материал. Камък, подложен на всестранен натиск, образува площадка на провлачане.

4.6 Влияние на температурата върху физико-механичните свойства на материалите

Получените данни от експерименталните изследвания на материалите са валидни за температури, съизмерими със стайната (200 С). При значителна промяна на температурата, например слънчево нагряване или аварийна ситуация (пожар) работните диаграми се променят значително. На фиг. 4.17 са показани експериментални данни за влиянието на нагряването на нисковъглеродни стомани върху модула на еластичността , якостта на опън и границата на провлачане . По данни от изпитвания в лаборатория във Франция и след апроксимация на данните са препоръчани следните зависимости за промяна на модула на еластичност с повишение на температурата над стайната



( ) (4.12)

и на границата на провлачане



.(1+ ) (4.13).

Както се вижда от графиките и зависимостите (4.12) и (4.13) материалите „омекват” с повишаването на температурата, това значи че конструктивните елементи ще се деформират повече и тяхната носимоспособност ще се изчерпа при по-малко натоварване. На практика конструкциите се топлоизолират по такъв начин, че при аварийно нагряване преди достигане на критична за носимоспособността температура да може да бъде извършена евакуация.


4.7. Влияние на фактора време. Пълзене и релаксация.

Когато натоварването на конструктивните елементи става бързо и за кратък период във времето, например динамично натоварване от подвижни товари или от земетръсни сили, работните диаграми се различават от тези при статично действие на силите. В този случай времето, необходимо за развитие на пластични деформации не е достатъчно. На фиг. 4.18 е показана разликата при работа на един и същи материал при кратковременно и статично натоварване.

Ако натоварването на един елемент е неизменно във времето , но действува много продължително, то това води до промяна на деформациите. Това явление се нарича пълзене и е илюстрирано на фиг. 4.19.

Обратното, поддържането на постоянна деформация продължително време довежда до намаляване на напреженията. Явлението се нарича релаксация и е показано на фиг. 4.20.



4.8 Потенциална енергия на деформацията

При натоварване на един елемент на опън или натиск в следствие на преместването на приложните им точки външните сили извършват работа. Да разгледаме колоната, показана на фиг.4.21а и натовапена със статична сила , големината на която расте бавно в процеса на натоварване от нула до крайната и стойност . Преместването на точка e , което нараства от нула до крайната си стойност . Ако е в сила закона на Хук, т. е. връзката между натоварване и деформация е линейна, графичният израз сила-преместване е показан на фиг.4.21б.

Елементарната работа на силата за преместване се определя съгласно изучаваното в курса по Теоретична механика

(4.14)

Връзката между и съгласно (4.10) е



, или (4.15)

Заместването на (4.15) в (4.14) дава



.

Тоталната работа на силата се получава като интегрираме елементарната работа в граници от нула до крайната стойност на преместването :



, (4.16)

понеже съгласно (4.15) = .

Работата на статично действуваща сила е равна на половината от произведението на крайната стойност на силата и крайната стойност на преместването. Графично работата на силата се изразява с площта на триъгълника на фиг. 4.21б. При нелинейна връзка между сила и преместване, например показаната на фиг. 4.21в, работата на статично приложената външна сила ще бъде равна на площта на криволинейния триъгълник .

За сравнение при прилагане на силата с цялата и величина работата и е равна на произведението на силата и преместването, или два пъти по-голяма от работата при статичното и прилагане.

Но при деформация работа извършват не само външните, но и вътрешните сили. На фиг.4. 22 е показан елемент от пръта с дължина . Върху него са приложени нормални напрежения , които за елемента са външни. Вътрешните сили са насочени в противоположна посока на преместванията, затова работата на вътрешните сили при натоварване винаги е отрицателна.

При статично натоварване работата на вътрешните сили за елемента е равна на половината от произведението на силата и преместването (удължението му):



. (4.17)

Съгласно простия закон на Хук , също и заместването в (4.17) води до



Тоталната работа на вътрешните сили за цялата колона се получава след интегриране по дължината и



(4.18)

При константи и



, (4.19)

Където с е означено удължението на колоната.

Величината , равна на работата на вътрешните сили и имаща противоположен знак, се нарича потенциална енергия на деформацията. Това е енергията, акумулираща се в тялото по време на деформацията.

. (4.20)

Потенциалната енергия на деформацията за единица обем се нарича енергетичен или деформационен потенциал



. (4.21)

От (4.19) и (4.21)



(4.22)
4.9 Оразмеряване при чист опън (натиск)

Беше установено, че при натоварване на чист опън (натиск) нормалните напрежения на площадка с нормала оста на конструктивния елемент се определят по формула (4.4). Естествено е да възникне въпроса в кое сечение от елемента напрежението ще бъде най-неблагоприятно за материала. Такова сечение се нарича застрашено. Намирането му зависи от вида на материала. Поради това, че жилавите материали реагират еднакво на опънни и натискови напрежения застрашеното сечение за тях е това с най-голямата по модул нормална сила . За елемент от крехък материал, понасящ по различен начин опънните и натисковите напрежения и натоварен и на опън, и на натиск, застрашените сечения са две – това с и това с . Ако елементът от крехък материал е натоварен само на опън или само на натиск, то застрашеното сечение в него е само едно, съответно с или с .



а. Оразмеряване по допустими напрежения. Да разгледаме случая с жилав материал. Трябва да установим дали полученото по формула (4.4) напрежение е допустимо в съответствие с решаваната от нас основна задача на Съпротивление на материалите – конструктивният елемент да не се разруши и да не се деформира чувствително. От двете условия второто е по-строго. При достигане от напрежението на границата на провлачане материалът ще се пластифицира и ще се получат големи необратими деформации. Очевидно това е нежелано. Допустимото напрежение не може да бъде и близко по стойност до границата на провлачане, защото всички изчислителни натоварвания са вероятностни величини и е възможно те да бъдат превишени. За случая на жилав материал се приема

. (4.23)

Величината се нарича допустимо напрежение (от admissible – допустим). Величината се нарича коефициент на сигурност и показва на колко трябва да се отдалечим надолу от границата на провлачане за да имаме сигурна работа на материала на елемента.

За случая на жилав материал оразмерителното условие се записва

(4.24)

или в друг вид



(4.25)

При елементи от крехки материали се въвеждат две допустими напрежения – на опън и на натиск , които са свързани с якостта на опън и якостта на натиск на материала съответно с два коефициента на сигурност и .



и (4.26)

Оразмерителните условия са



и

= (4.27)

Тук и са площите на напречното сечение съответно в опънната и натисковата зона. Оразмерителните формули стават:



и (4.28)

Ако един конструктивен елемент с постоянно напречно сечение съдържа едновременно натискова и опънна зони, тогава за негово напречно сечение се избира по-голямата от двете площи .

В таблица 4.3 са дадени допустимите напрежения за някои от най-често срещаните в строителната практика материали.
Таблица 4.3

Материал [kN/cm2] [kN/cm2]Сив чугун в отливка2,8 – 8,012,0 – 15,0Стомана Ст. 316,016,0Стомана Ст. 3 в мостове14,014,0Мед3,0 – 12,03,0 – 12,0Месинг7,0 -14,07,0 – 14,0Бронз6,0 – 12,06,0 – 12,0Алуминий3,0 – 8,03,0 – 8,0Дуралуминий3,0 – 4,03,0 – 4,0Гетинакс0,7 – 1,01,0 – 1,2Бор, успоредно на влакната0,7 – 1,01,0 – 1,2Бор, перпендикулярно на влакната-0,15 – 0,2Дъб, успоредно на влакната0,9 – 1,31,3 – 1,5Дъб, перпендикулярно на влакната-0,2 – 0,35Тухлидо 0,020,06 – 0,25Камъкдо 0,030,04 – 0,4Бетон0,01 – 0,070,1 – 0,9

Методът за оразмеряване по допустими напрежения е възникнал исторически най- рано и затова е най-несъвършен. При него се работи с единствен коефициент на сигурност, който се прецизира при последвалите методи.



Пример 4.3 Да се оразмери показаната на фиг. 4.23 чугунена колона с кръгли напречни сечения в двата участъка, , ако = 4 kN/cm2, a = 12kN/cm2.

Колоната е един път статически неопределима. В съответствие с натоварването функциите на нормалните сили в двата участъка - за участък и за участък са константи.

От условието за равновесие на граница можем да запишем

.

Общото удължение на колоната при показаното подпиране е равно на нула.



След умножаване на двете части на уравнението с коравината на втория участък се получава



Последното условие изразява, че сумата от редуцираните площи на -диаграмата е равна на нула. Стига се до системата:



,

.

Решението и е = 48 kN (опън); = -192 kN (натиск).

Диаграмата на нормалните сили е показана на фиг. 4.23б.

Оразмеряването за двата участъка дава



cm2 , cm2 и .

Aко не бъде спазено последното съотношение, което влиза в деформационното условие, то получените усилия няма да бъдат верни. Затова приемаме



cm2, cm2 .

На тях отговарят кръгли напречни сечения с диаметри за двата участъка



3,909 cm, 5,528 cm.

Напреженията за двата участъка са



kN/cm2 = = 4 kN/cm2,

8 kN/cm2 < = 12 kN/cm2 .

Проверката на напреженията трябва винаги да се прави, така ще избегнем грешката да приемем напречни сечения с такива размери, че напрежението в едното от тях да бъде равно на допустимото, а в другото – над допустимото.




б. Оразмеряване по гранични състояния. По този метод съгласно действуващите правилници се изчисляват всички конструкции в България. При проектирането на конструктивните елементи се работи с вероятностни величини, които имат някакво разсейване, това са натоварването, характеристиките на материала, различни могат да бъдат и условията на работа. Например, ако определяме с няколко измервания якостта на опън на стоманата, то ще получим, макар и близки, но различни стойности. Тези величини трябва да бъдат групирани около някаква средна стойност, която е важна характеристика на съответната вероятностна величина. Важно е в какъв интервал, в положителна или отрицателна посока, ще попадат всички останали измерени величини. Ако става въпрос за опънната якост на определен вид стомана, то този интервал ще бъде сравнително малък като процент от средната стойност, но при натоварване със сняг или вятър, определени за продължителен период от време очевидно отклоненията ще бъдат по-големи. Разсейването при различни условия на работа, например при висока влажност или в агресивна среда, също така е съществено.

От казаното до тук се вижда, че в процеса на оразмеряване участвуват случайни величини с различна природа. Те не трябва да се отчитат с един и същи коефициент на сигурност, а всяка от тях трябва да се обслужва от собствен коефициент в зависимост от същността си. Всички тези отделни коефициенти имат съответни наименования.

Вероятността да се осъществи по-голямо натоварване се отчита с коефициент на натоварването . С негова помощ се получава усилието от изчислителното натоварване

. (4.29)

Коефициентът на натоварване има различни стойности за различните видове товари. Колкото по-точно може да се определи едно натоварване, толкова по-малък е той. Например при определяне на изчислителното натоварването на една стоманена ферма от собствено тегло той ще бъде по-малък отколкото от натоварването и от вятър, което не може да се определи със същата голяма точност.

В таблица 4.4 са дадени коефициентите на натоварване за някои видове товари.
Таблица 4.4

Натоварване от Собст. тегло стоманена конструкция1,10Собст. тегло дървена конструкция1,15Собст. тегло монолитна стоманобетонова конструкция1,20Мазилки, замазки1,35Сняг1,40Вятър1,40

Оразмеряването на елемент от реална конструкция се извършва с изчислително усилие от комбинация от съответните действуващи натоварвания, отчитаща вероятността за тяхното едвовременно действие. Например, когато една сграда се изчислява на земетръс се приема, че не духа вятър.

Вероятността да се реализира якост на материала, по-ниска от предвидената, се отчита с коефициента на еднородност на материала . Предвидената якост се нарича нормативно съпротивление и представлявя минималната якост, която трябва да има всеки изпитан образец от дадена партида. Под якост за жилавите строителни материали обикновено се разбира границата на провлачане, а за крехките – границата на разрушаване. За партидата се изпитват определен от нормативите брой образци, и око някой от тях е с нормативно съпротивление под минималната изисквана за съответния клас материали якост, то партидата се бракува. Изчислителното съпротивление се определя по формулата

(4.30)

Коефициентът на еднородност е по-малък от единица. В таблица 4.5 са дадени нормативните съпротивления и негови стойности за някои материали:


Таблица 4.5

Материал [kN/cm2] Стомана Ст. 3230,90Стомана Ст. 5250,85Стомана клас AI23,50,95Стомана клас AIII41,00,90Сив чугун 12-28 (натиск)280,75Сив чугун 28-48 (натиск)480,65Бетон клас В15 (натиск)1,10,85Бетон клас В15 (опън)0,1150,65Бетон клас В20 (натиск)1,50,80Бетон клас В20 (опън)0,140,65

Особеностите които съпътствуват строителството и експлоатацията на строителната конструкция – влажност, агресивна среда, резки температурни промени, вида на съединенията, и влияят върху якостта на материала и разсейването от нормативното съпротивление се отчитат чрез коефициента на условие на работа , който при нормални условия е равен на единица, при неблагоприятни условия е по-малък от единица, а при благоприятни – по голям. Коефициентът има и социално-икономическа важност. Например според нормативите при изчисление на резервоар, обслужващ град с население над 50000 жители този коефициент е 1,5 пъти по-малък от същия коефициент за резервоар на град под 50000 жители. Тук трябва да се отбележи, че за разлика от и коефициентът на условие на работа няма вероятностен характер, той компенсира нащето непознаване на сложната действителна работа на конструкцията.

В таблица 4.6 са показани коефициентите на условие на работа за някои случаи от строителната практика.
Таблица 4.6

Конструктивен елемент От бетон при продължително

действие на товарите

1,0От бетон в комбинация при

кратковременно действие на товарите

1,1Елементи от дървена конструкция при

Кратковременно натоварване –

Ветрово или монтажно

1,2Пълностенни стоманени греди и

натиснати пръти от стоманени ферми

0,90Стоманени колони в обществени

сгради

0,95Натиснати стоманени елементи



от единичен ъглов профил закрепени

с болтове по едното рамо

0,75Натиснати стоманени елементи

от единичен ъглов профил закрепени

със заварка

0,90

Оразмерителното условие съгласно метода на граничните състояния става

, (4.31)
от което се определя площта на напречното сечение.

Методът се нарича гранични състояния, защото при него се проследява вероятността от претоварване, понижаване на якостта и условията на работа, при които се достига такова гранично състояние на конструкцията, при което се появява локална повреда или разрушаване, т. е. е невъзможна по-нататъшна нормална експлоатация.

Съгласно правилниците са възможни три гранични състояния:

-първо гранично състояние – изчерпване на носещата способност на елемента,

-второ гранично състояние – прекалено големи деформации или амплитуди на трептене,

-трето гранично състояние – поява и разтваряне на пукнатини. Това гранично състояние е от значение за конструкции от стоманобетон и е извън целите на настоящия курс.


в. Оразмеряване по разрушаващи натоварвания. По този метод се определя стойността на външния товар , при която конструкцията като цяло излиза от строя. Това означава разрушаване при изпълнение от крехки материали или големи премествания или движение при превърналата се в механизъм конструкция от жилав материал в следствие частично или цялостно пластифициране на отделни нейни зони поради достигането на напреженията на границата на провлачане.

Допустимият товар, с който може да се натовари конструкцията, е



. (4.32)

Тук е отново коефициент на сигурност. Той отчита няколко влияния и има вероятностна същност.

Разликата при оразмеряване по методите по допустими напрежения и по разрушаващи натоварвания е, че съгласно втория от тях достигането на високо напрежение в една точка от конструкцията (напр. границата на провлачане), то не се счита за катастрофално за цялата конструкция, ако тя продължава да поема цялостния товар. Обикновено оразмеряването по разрушаващи натоварвания е по-икономично от оразмерявянето по допустими напрежения, защото в работа се включват всички резерви на материала.
г. Оразмеряване съгласно Eurocode. Eврокод3 регламентира проектирането на стоманени конструкции, Еврокод 2 – на бетонови и стомонобетонови. Отново се използува усилие от изчислително натоварване чрез въвеждане на два вида коефициенти. От нормите за натоварване се определят характеристични стойности както за постоянните , така и за променливите натоварвания . При променливите натоварвания се въвеждат представителни стойности, които се получават чрез въвеждане на коефициенти в зависимост от продължителността на натоварването , 0 1. Коефициентите с съответен индекс са:

- за основни стойности на променливото натоварване,

- за често повтарящи се стойности (честотата на част от променливото натоварване е голяма) и

- за за квазипостоянни стойности (отразяващи вероятността част от променливото натоварване да действува продължителен период от време), като някои техни величини са дадени в следната таблица:

Таблица 4.7

Въздействия Полезен товар в

жилищни сгради 0,70,50,3Полезен товар в

административни сгради0,70,50,3Участъци с възможно

струпване на хора0,70,70,6Търговски помещения0,70,70,6Складови помещения0,70,70,6Натоварване от сняг0,60,20,0Натоварване от вятър0,60,50,0

Изчислителните стойности на натоварването, чрез сумиране на които се пресмятат изчислителните стойности на разрезните усилия , се получават от характеристичните представителните както следва:

за постоянни въздействия ,

за променливи въздействия ,

за случайни въздействия .


Някои стойности на новите коефициенти са дадени в следващата таблица:
Таблица 4.8

СлуаиВъздействияСимвол Регулярна ситуацияСлучайна ситуацияЗа загуба на статическо

равновесие, якост на строителен материал Постоянни

Променливи

Случайни



1,1

1,5


1,0

1,0


1,0За разрушаване

на конструкцияПостоянни

Променливи

Случайни





1,35

1,5


1,0

1,0


1,0
Изчислителното съпротивление за стоманата се получава, като характеристичната (нормативната) граница на провлачане с осигурена вероятност 95% = за стомана със съответното качество (вж. Табл. 4.1) се раздели с коефициент на сигурност , за който се препоръчват стойности = 1,15 за дълготрайни, краткотрайни и сеизмични изчислителни комбинации и = 1,0 за случайни изчислителни комбинации. Оразмерителното условие за стомана е

, (4.33)

От което се определя площта на напречното сечение



. (4.34)

Пример 4.4 Да се оразмери показаната на фиг. 4.23 колона с кръгли напречни сечения от стомана S235 ( kN/cm2), ако , приложената сила е изчислителна = 240 kN и = 1,15.

Нормалните усилия са същите както в пример 4.3, но в случая това са изчислителни им стойности, = 48 kN (опън) и = - 192 kN (натиск).

Оразмерителното условие съгласно (4.34) за първия участък е



= 2,349 cm2,

и за втория участък



= 9,396 cm2.

Като се отчете условието приемаме 4,7 cm2 и 9,4 cm2, което води до



cm и 3,460 cm.

Напреженията в двата участъка ще бъдат съответно



kN/cm2< = =20,43 kN/cm2 и

kN/cm2 = =20,43 kN/cm2.
4.10 Определяне на екстремално напрежение в елемент

При дадено натоварване и площ на напречното сечение най-големите по модул напрежения се определят:

а. за жилав материал

(4.35)

б. за крехък материал



, . (4.36)

Получените екстремални напрежения се сравняват с изчислителните съпротивления на материалите.


4.11 Определяне на допустимия изчислителен товар

При дадено напречно сечение на елемента и характеристиките на материала формулите са:

а. за жилав материал товарът трябва да е такъв, че изчислителното усилие

, (4.37)

б. за крехък материал допустимият товар трябва да предизвиква не повече от по-малкото от следните две изчислителни усилия



= и =

(4.38).

Тук и отново са по-големи от единица коефициенти на сигурност, а и са характеристичните якости на материала съответно на опън и натиск, осигурени с 95% вероятност.


4.12 Форми на еднаква якост при чист опън (натиск)

При всичките описани по-горе методи за оразмеряване на елемент натоварен на чист опън или натиск се процедира аналогично – площта на напречното сечение се определя от условието напреженията в сечението с максимално по модул нормално усилие да не надвишават определена за съответния материал стойност на допустимо напрежение или изчислително съпротивление. Но на практика диаграмата на нормалното усилие е променлива, най-малко поради действието на собственото тегло. И в същност само в едно, застрашеното сечение, се достигат съответните допустими напрежения или граничното съпротивление, навсякъде другаде те са по-малки. Или материалът не се използува рационално.

Възниква задачата дали не може да се направи прът с променливо напречно сечение по такъв начин, че напреженията във всяко сечение да бъдат еднакви и равни на максимално приемливите. Това означава, че на местата с по-големи стойности на - диаграмата напречното сечение ще бъде по-голямо, а в зоните с маки по модул стойности на нормалното усилие то ще намалява. Понеже вида на - диаграмата зависи от натоварването, то и формата на пръта ще зависи от натоварването. Тя се нарича форма на еднаква якост.

Начинът за определяне на формата на еднаква якост ще бъде илюстриран чрез показания на фиг. 4.24а пример. Стълб от бетон (крехък материал) е натоварен с изчислителна натискова сила , разпределена по горното сечение с площ . Изчислителното обемно тегло на материала е kN/m3. Напречното сечение е променливо и трябва да се определи от условието = .

Функцията на изчислителната нормална сила се определя от условието за равновесие на горната част от стълба, показана на фиг. 4.24б.

, (4.39)

тук е изчислителното тегло на дългата отделена горна част. То може да се определи като се разгледа резен, дебел на разстояние от горния край, . Теглото на резена е



а теглото на отделената горна част ще бъде

(4.40)

За нормалната сила се получава



. (4.41)

Нормалните напрежения във всяко сечение трябва да бъдат еднакви:



, (4.42)

или


= . (4.43)

Диференцираме (4.43) по х



. , (4.44)

което е


. (4.45)

Интегрираме последното уравнение



. (4.46)

Интеграционната константа се получава от граничното условие



, (4.47)

Следователно .

Заместваме в (4.46) и се получава

,

или за закона за изменение на площта на напречното сечение на бетоновия стълб окончателно се получава:



. (4.48)

Оказа се, че за разглеждания пример формата на еднаква якост се описва от експоненциален закон. На практика обаче никой не изпълнява бетонови стълбове, колони или устои по този начин, защото това е много трудоемка и скъпа задача. Експоненциалната форма остава само като теоретичен резултат, а изпълнението обикновено е стъпалообразно.

Скъсяването на стълба с форма на еднаква якост се получава от условието, че не само напреженията, но и деформациите са постоянни

. (4.49)

Функцията на преместванията ще бъде



. (4.50)

Интеграционната константа се получава от граничното условие че в долния край на участъка няма преместване.



, от където .

За функцията на преместването след заместване на константата се получава



. (4.51)

Скъсяването на елемента ще бъде



. (4.52)


4.13 Чист опън (натиск) на тънък кръгов пръстен

Това е една задача с често практическо приложение. Показаният на фиг.4.25а тънък кръгов пръстен с диаметър е натоварен с равномерно разпределен радиален товар с интензивност , който на практика може да се получи от аеростатично налягане, хидростатичен натиск, земен натиск и др. Тук не става въпрос за начина на подпиране защото приложеното натоварване е самоуравновесяващо се.



а.Усилия. Поради малката дебелина на стените огъващите моменти могат да бъдат пренебрегнати. За да определим нормалната сила чрез два разреза отделяме горната половина на пръстена (фиг. 4.25б). Върху дъга с дължина ще действува товар с равнодействуваща . От трите условия за равновесие на отделената част две – проекционно по хоризонталата и моментово за центъра на окръжността са тъждествено удовлетворени. От третото проекционно уравнение по ос се получава:

; , (4.53)
от където , или окончателно
. (4.54)
Последната формула се нарича формула на котела. Получила е това наименование понеже с нея дълго време са били изчислявани усилията в парните котли от налягането на парата.

Ако натоварването на пръстена е отвътре навън то пръстенът е опънат, а при радиален товар отвън навътре – натиснат.



Пример 4.5 Да се оразмери стената на бетонов цилиндричен резервоар с височина = 3 m и радиус = 2 m, пълен с вода. Обемното тегло на водата е = 10 kN/m3, коефициентът на натоварване за чиста вода е = 1,05, коефициентът за състояние е = 1. Якостта на опън на бетона е = 0,1 kN/cm2, коефициентът за сигурност за бетона при опън е = 1,3.

Най-голямо за пълен резервоар е хидростатичното налягане в долната част на цилиндричната стена. Изчислителната му стойност се определя като



= 1,05 . 1. 10 . 3 = 31,5 kN/m2.

Изчислителното натоварване върху пръстен с височина 1 cm в най-долната и най натоварена част на стената е



= 0,315 kN/m.

Съгласно формулата на котела изчислителното меридианно усилие в пръстена ще бъде



0,315 . 2 = 0,63 kN

Нека стената има дебелина cm. Оразмерителното условие се записва



, или 0,63 ,
от където за дебелината на стената се получава 8,19cm. Обикновено не се изпълняват стени с некръгли размери, затова може да се приеме = 10 cm. Тогава най-големите стойности на меридианните нормални напрежения в стената ще бъдат

= = 0,063 kN/cm2 < = 0,07692 kN/cm2.
На практика стените на резервоарите се изпълняват от стоманобетон. В бетона се поставят меридиални и вертикални армировъчни пръти. Изчислението на площите и диаметрите им е предмет на други дисциплини, но никога опънните напрежения в бетона в стените на резервоарите не трябва да надхвърлят изчислителните, защото ще се появяват пукнатини, което за пълно с течност съоръжение е недопустимо.
б. Деформации. Видяхме, че в пръстена има само нормални усилия, които са постоянни по цялата дължина на пръстена. Това означава, че и напреженията, и деформациите ще бъдат постоянни. Деформациите в пръстен с височина единица дължина са

= . (4.55)

Тогава дължината на деформираната окръжност на пръстена ще стане



. (4.56)

Радиусът на деформирания пръстен се получава, като дължината на окръжността разделим на .



. (4.57)

Каталог: filebank -> acadstaff -> userfiles
userfiles -> Формати и стандарти
userfiles -> Комасация на земеделските земи. За понятието „комасация”
userfiles -> Конспект за изпита по история на архитектурата за специалност урбанизъм архитектурата на древен Египет
userfiles -> Годишник на университета по архитектура, строителство и геодезия – софия 2002-2003 annuaire de l’universite d’architecture, de genie civil et de geodesie – sofia
userfiles -> Изчисляване на конструкции на сеизмични въздействия
userfiles -> Използване на функции в c++
userfiles -> Examination topic list river morphology and river training works
userfiles -> Годишник на университета по архитектура, строителство и геодезия – софия 2002-2003 annuaire de l’universite d’architecture, de genie civil et de geodesie – sofia
userfiles -> Конспект въведение в управлението на проекти определение за проект. Видове проекти. Характеристика на проекта


Сподели с приятели:




©obuch.info 2022
отнасят до администрацията

    Начална страница