Линейни параметрични уравнения
Определение: Уравнение от вида а x + b = 0, където х е променлива, а а и b са константи, като а ≠ 0, се нарича уравнение от първа степен или линейно уравнение.
Корен на уравнението е
Едно уравнението е параметрично, ако съдържа освен неизвестно и параметър, т.е. константите а и/или b са параметри и те могат да приемат различни стойности.
Решаването на линейно параметрично уравнение от вида а.х = b става като се разгледат случаи за коефициента пред х и се записва по следният начин:
I случай. При а = 0 0.х = b
1 подслучай b = 0 всяко х е решение
2 подслучай b ≠ 0 няма решение
II случай При а ≠ 0 решението е
Квадратни параметрични уравнения
Определение: Уравнениие от вида ах2 + bx + c = 0, където х е неизвестното, а а, b и с са числа се нарича уравнение от втора степен или квадратно уравнение.
Ако поне едно от числата а, b или с е зададено като параметър, то квадратното уравнение е параметрично.
Дескриминантата D = b2 – 4.a.c е определяща при решаването на уравнението
Нека разгледаме всички възможни случай при решаването на квадратно уравнение:
а ≠ 0 при D < 0 квадратното уравнение няма решения
D = 0 квадратното уравнение има един двукратен корен равен на
D > 0 решенията са
Ако а = 0 уравнението е линейно
Формули на Виет
Теорема: Ако квадратно уравнение. ах2 + bx + c = 0 има корени х1 и х2, то
и обратно, ако за числата х1 и х2 е в сила х1 + х2 = – p и х1.х2 = q, то те са корени на уравнението х 2 + px + q = 0
Линейни параметрични неравенства
Определение: Неравенства от вида a. x + b > 0, a. x + b < 0, a. x + b ≤ 0 или
a. x + b ≥ 0, където а ≠ 0 се наричат линейни неравенства от първа степен и ако а е реален параметър, то тези неравенства са линейни параметрични.
Квадратни неравенства
Определение: Неравенство от вида а.х2 + b. x + c > 0,
а.х2 + b. x + c < 0,
а.х2 + b. x + c ≥ 0,
а.х2 + b. x + c ≤ 0,
където а ≠ 0 се нарича квадратно неравенство.
Нека f(x) = ax2 + bx + c, а х1 и х2 са корени на уравнението f(x) = 0.
|
a < 0
|
a > 0
|
D < 0
|
f(x) < 0 при
f(x) = 0 няма решения
f(x) > 0 няма решения
|
f(x) < 0 няма решения
f(x) = 0 няма решения
f(x) > 0 при
|
D = 0
|
f(x) < 0 при
f(x) = 0 при х = х1 = х2
f(x) > 0 няма решения
|
f(x) < 0 няма решения
f(x) = 0 при х = х1 = х 2
f(x) > 0
|
D > 0
|
f(x) < 0 при
f(x) = 0 при х = х1 или х = х2
f(x) > 0 при
|
f(x) < 0 при
f(x) = 0 при х = х1 или х = х2
f(x) > 0 при
|
1) (а – 1).х = 2
Решение:
I сл. а = 1 0.х = 2 => няма решение
II сл . а ≠ 1
|
2) ах – а = 2 – х
Решение: Привеждаме уравнението в основен вид
(а + 1)х = 2 + а
I сл. а = – 1 0.х = 1 => няма решение
II сл. а ≠ – 1
|
3) 2а – ах = а2 – 2х
Решение: Привеждаме уравнението в основен вид
(2 – а)х = а(а – 2)
I сл. а = 2 0.х = 0 => всяко х е решение
II сл. а ≠ 2 х = – а
|
4) а2х – 3 = 9х + а
Решение: Основният вид на уравнението е
(а – 3)(а + 3)х = а + 3
I сл. а = 3 0.х = 6 => няма решение
II сл. а = – 3 0. x = 0 => всяко х е решение
III сл. а ≠ 3
|
5) ах – b = x + 1
Решение:
(а – 1)х= b + 1
I сл . а = 1 0.х = b + 1
1. b = – 1 0. x = 0 => всяко х е решение
2. b ≠ – 1 => няма решение
II сл. а ≠ 1
|
6) a – bx = b + 2 x
Решение: ( b + 2) x = a – b
I сл. b = – 2 0.х = a + 2
1. a = – 2 => всяко х е решение
2. а ≠ – 2 => няма решение
II сл. b ≠ – 2
|
Квадратни параметрични уравнения
2) Решете уравнението mх2 + ( m + 1) x + 1 = 0
Решение: D = ( m + 1)2 – 4 m = ( m – 1) 2
при m = 0, решението x = – 1
при m ≠ 0, решенията
|
3) Решете уравнението ( b + 2) x2 – 2 x + 3 = 0
Решение: при b = – 2 решението е
при решенията са
|
4) Решете уравнението ( 1 – 2а)х2 – а = 0
Решение: при решението е
|
Формули на Виет
3) Определете знаците на корените на уравненията, без да ги намирате:
а) х2 + 5.х + 6 = 0
б) х2 – 5.х + 6 = 0
в) х2 + 5.х – 6 = 0
г) х2 – 5.х – 6 = 0
Решение:
а) от х1 + х2< 0 и х1.х2> 0 => корените са отрицателни
б) от х1 + х2> 0 и х1.х2> 0 => корените са положителни
в) от х1.х2< 0 => корените са с различни знаци
г) от х1.х2< 0 => корените са с различни знаци
|
4) Пресметнете сбора от квадратите на корените на уравнението 2.х2 – 4.х + 3 = 0.
Решение: х1 + х2 = 2
х1.х2 =
х12 + х22 = х12 + 2.х1.х2 + х22 – 2.х1.х2 = (х1 + х2)2 – 2 х1.х2 = 2 2 – 2. = 1 Отговор: 1
|
Линейни параметрични неравенства
1) Решете линейното параметрично неравенство ( m – 1). x < m.
Решение:
I сл. m – 1 < 0
m < 1
II сл. m = 1 0.x < 1, всяко х е решение;
III сл. . m – 1 > 0
m > 1
Отг. При m < 1 ;
m = 1 всяко х е решение;
m > 1 .
|
2) Решете неравенството: (4 – m2).х ≥ m – 2.
Решение:
I сл. 4 – m2< 0 => , то ;
II сл. 1. m = – 2, 0.x ≥ – 4 => всяко х е решение;
2. m = 2, 0. x ≥ 0 => всяко x е решение;
III сл. 4 – m2> 0 => , то
Огговор: при
при
при , .
|
3) Решете неравенството: 2. m + 5. mx < 6.( x + 1) + m2 x
Решение: – m2 x + 5. mx – 6 x < 6 – 2 m
m2x – 5. mx + 6 x > 2 m – 6
(m – 3)(m – 2)x > 2.(m – 3)
I сл. ( m – 3)( m – 2) < 0 => m(2; 3), то
II сл. 1. m = 2 0. x > – 2 => всяко х е решение
2. m = 3 0. x > 0 => няма решение
III сл. ( m – 3)( m – 2) > 0 => , то решението е
Отг. при m(2; 3), то
при , то
при m = 2 всяко х е решение
при m = 3 няма решение
|
Квадратни неравенства
1) 4.х2 – 20х + 25 > 0
Първо решаваме квадратното уравнение 4.х2 – 20х + 25 = 0
D = 0 => x1 = x2 = 2,5
Решенията на неравенството са
|
2) х2 – 5х + 4 ≥ 0
Решаваме квадратното уравнение х2 – 5х + 4 = 0
D = 9, x1 = 1; x2 = 4
Решенията на неравенството са отговор:
|
3)– х2 – 3х – 2 > 0
Решенията на квадратното уравнение са х1= – 1 и х2 = – 2 => отговора е
|
4) х2 + 4.х + 7 < 0
D = 16 – 4.7 = – 12 и коефициентът пред х2 е положителен => неравенството няма решение.
|
5) – 2x2 + 3x – 2 < 0
D = 9 – 16 = – 7 и коефициентът пред х2 е отрицателен => всяко х ще е решение на неравенството
|
6) Решете квадратното параметрично неравенство: х2 – ( m + 3). x – m < 0.
Решение: D = ( m + 3)2 + 4. m = m 2 + 10 m + 9
D ≥ 0
m2 + 10 m + 9 ≥ 0
(m + 1)(m + 9) ≥ 0
отг. при , решението е
|
7) Решете квадратното неравенство: ( m – 1).х2 – 2.( m + 2). x + m ≥ 0.
Решение: D = ( m + 2)2 – m.( m – 1) = m2 + 4 m + 4 – m2 + m = 5. m + 4
D ≥ 0
5.m + 4 ≥ 0
отг. при
при m = 1
при решението е
|
3) (а2 – 2а + 1)х = 1 – а
|
9) ах – b = bx + 1 + а(х – b)
|
10) a2 x + b3 = a2b + abx
|
Квадратни параметрични уравнения
1) х2 + (а + 1) x + а = 0
|
2) mх2 + (2m2 – 1) x – 2m = 0
|
3) ( b – 1) x2 – bx + 1 = 0
|
5) ax2 – (a – 2)x – 2a + 2 = 0
|
6) (a – b)x2 – 2ax + 1 = 0
|
Формули на Виет
1) Определете х1 + х2 и х1.х2 , където х1, х2 са корени на уравненията:
а) 6.х2 – 5.х + 4 = 0
б) 3.х2 – 2.х + 7 = 0
в) х2 – 4.х + 3 = 0
г) 5.х2 – 11.х – 12 = 0
|
2) Намерете сбора от квадратите на корените (х12 + х22 ) на уравненията:
а) 2.х2 – 3.х + 1 = 0
б) 3.х2 + 4.х – 1 = 0
|
3) Определете сбора от кубовете на корените на уравненията:
а) х2 – 2.х + 5 = 0
б) 2.х2 – 6.х – 1 = 0
|
4) Определете знаците на корените, без да намирате самите тях:
а) х2 – 3.х + 2 = 0
б) х2 – 6.х – 7 = 0
в) х2 + 4.х + 5 = 0
г) х2 + х – 6 = 0
|
5) Намерете стойността на реалният параметър m в уравнението 2.х2 – ( m + 1).х + m = 0, ако:
а) х1 – х2 = 3
б)
|
Линейни параметрични неравенства
7) ( m3 – 2 m2). x ≥ m.( m – 1)
|
8) m . ( m – x ) > 2. x . ( m + 1)
|
9) (а2 – а – 2). y < a + 1
|
Квадратни неравенства
10) 2.х2 – 2.( m – 1). x + 1 < 0
|
11) х2 + (2. m + 1). x + m > 0
|
12) х2 + ( m + 3). x + 7 ≤ 0
|
13) х2 + ( m + 2). x – m ≥ 0
|
14) m .х2 – 2. m . x + m + 1 < 0
|
15) (1 – m ).х2 +( m + 1). x – 2. m ≥ 0
|
16) ( m – 2).х2 – ( m – 2). x – 1 ≤ 0
|
17) х2 – 2.( m + 2). x + m + 1 ≥ 0
|
18) – х2 – m . . x + m ≤ 0
|
19) (2 m + 3).х2 – (3 m – 2). x + m ≥ 0
|
20) ( m – 4).х2 – 2.(2 m + 3). x + 4 m ≤ 0
|
Верните отговори са:
Линейни параметрични уравнения
5) а = 1 няма решение а ≠ 1
6) а = – 1 няма решение а ≠ – 1
7) при а = 3 всяко х е решение; при а ≠ 3 х = – а
8) при а = b няма решение; при а = – b всяко х е решение; при а ≠ b
9) при b = 0 няма решение; при b ≠ 0
10) при а = b всяко х е решение; при a = 0 и b = 0 всяко х е решение
при а = 0 но b ≠ 0 няма решение; при a ≠ 0 и а ≠ b
Квадратни параметрични уравнения
1)
2) при m = 0 решението е х = 0; при m ≠ 0 решенията са х = m; x =
3)при b = 1 решението е ; при b ≠ 1 решенията са ;
4) при решенията са
5) при а = 0 решението е х = – 1;
при решенията са
6) а = b и a = 0 , няма решения; а = b , a ≠ 0, решението е
а ≠ b и a 2 – 4 a + 4 b ≥ 0 решенията са
Формули на Виет
1) a) ; б) ;
в) ; г) ;
2) а) б)
3) а) – 6 б) 10
4) а) двата корена са положителни б) положителен и отрицателен
в) два отрицателни г) положителен и отрицателен
5) а) б)
Квадратни неравенства:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11) за всяко m
12) при
13) при
14) при m < 0
при m ≥ 0 няма решение
15) при е решение
при
при
при
при
16) при
при
при
17) няма решение
18)
19)
20)
Сподели с приятели: |