Е решение 2 подслучай



Дата15.10.2018
Размер271 Kb.
Линейни параметрични уравнения

Определение: Уравнение от вида а x + b = 0, където х е променлива, а а и b са константи, като а ≠ 0, се нарича уравнение от първа степен или линейно уравнение.

Корен на уравнението е

Едно уравнението е параметрично, ако съдържа освен неизвестно и параметър, т.е. константите а и/или b са параметри и те могат да приемат различни стойности.

Решаването на линейно параметрично уравнение от вида а.х = b става като се разгледат случаи за коефициента пред х и се записва по следният начин:

I случай. При а = 0 0.х = b

1 подслучай b = 0 всяко х е решение

2 подслучай b ≠ 0 няма решение

II случай При а ≠ 0 решението е

Квадратни параметрични уравнения

Определение: Уравнениие от вида ах2 + bx + c = 0, където х е неизвестното, а а, b и с са числа се нарича уравнение от втора степен или квадратно уравнение.

Ако поне едно от числата а, b или с е зададено като параметър, то квадратното уравнение е параметрично.

Дескриминантата D = b2 – 4.a.c е определяща при решаването на уравнението

Нека разгледаме всички възможни случай при решаването на квадратно уравнение:

а ≠ 0 при D < 0 квадратното уравнение няма решения

D = 0 квадратното уравнение има един двукратен корен равен на

D > 0 решенията са

Ако а = 0 уравнението е линейно



Формули на Виет

Теорема: Ако квадратно уравнение. ах2 + bx + c = 0 има корени х1 и х2, то



и обратно, ако за числата х1 и х2 е в сила х1 + х2 = – p и х1.х2 = q, то те са корени на уравнението х 2 + px + q = 0



Линейни параметрични неравенства

Определение: Неравенства от вида a. x + b > 0, a. x + b < 0, a. x + b ≤ 0 или


a. x + b
≥ 0, където а ≠ 0 се наричат линейни неравенства от първа степен и ако а е реален параметър, то тези неравенства са линейни параметрични.

Квадратни неравенства

Определение: Неравенство от вида а.х2 + b. x + c > 0,



а.х2 + b. x + c < 0,

а.х2 + b. x + c ≥ 0,

а.х2 + b. x + c ≤ 0,

където а ≠ 0 се нарича квадратно неравенство.

Нека f(x) = ax2 + bx + c, а х1 и х2 са корени на уравнението f(x) = 0.


 

a < 0

a > 0

D < 0

 f(x) < 0 при

f(x) = 0 няма решения

f(x) > 0 няма решения

 f(x) < 0 няма решения

f(x) = 0 няма решения

f(x) > 0 при

D = 0

 f(x) < 0 при

f(x) = 0 при х = х1 = х2

f(x) > 0 няма решения

f(x) < 0 няма решения

f(x) = 0 при х = х1 = х 2

f(x) > 0

D > 0

  f(x) < 0 при

f(x) = 0 при х = х1 или х = х2

f(x) > 0 при

f(x) < 0 при

f(x) = 0 при х = х1 или х = х2

f(x) > 0 при

 

1) (а – 1).х = 2

Решение:


I сл. а = 1 0.х = 2 => няма решение

II сл . а ≠ 1






2) аха = 2 – х

Решение: Привеждаме уравнението в основен вид

(а + 1)х = 2 + а

I сл. а = – 1 0.х = 1 => няма решение

II сл. а ≠ – 1





3) 2аах = а2 – 2х

Решение: Привеждаме уравнението в основен вид

(2 – а)х = а(а – 2)

I сл. а = 2 0.х = 0 => всяко х е решение

II сл. а ≠ 2 х =а





4) а2х – 3 = 9х + а

Решение: Основният вид на уравнението е

(а – 3)(а + 3)х = а + 3

I сл. а = 3 0.х = 6 => няма решение

II сл. а = – 3 0. x = 0 => всяко х е решение

III сл. а3

 





5) ахb = x + 1

Решение:


(а – 1)х= b + 1

I сл . а = 1 0.х = b + 1

1. b = – 1 0. x = 0 => всяко х е решение

2. b ≠ – 1 => няма решение

II сл. а ≠ 1





6) abx = b + 2 x

Решение: ( b + 2) x = ab

I сл. b = – 2 0.х = a + 2

1. a = – 2 => всяко х е решение

2. а ≠ – 2 => няма решение

II сл. b ≠ – 2



Квадратни параметрични уравнения

1) Решете уравнението х2 + а x + 1 = 0

Решение: D = a2 – 4



a2 – 4 ≥ 0








2) Решете уравнението 2 + ( m + 1) x + 1 = 0

Решение: D = ( m + 1)2 – 4 m = ( m – 1) 2

при m = 0, решението x = – 1

при m ≠ 0, решенията






3) Решете уравнението ( b + 2) x2 – 2 x + 3 = 0

Решение: при b = – 2 решението е

при решенията са





4) Решете уравнението ( 1 – 2а)х2а = 0

Решение: при решението е



Формули на Виет

1)Опр eделете х1 + х2 и х1. х2 , ако х1, х2 са корени на квадратното уравнение
2.х2 + 11.х + 17 = 0.

Решение:










2) Съставете квадратно уравнение, ако за корените му е дадено х1 + х2 = и х1.х2 = .

Решение: х2.х + = 0

3.х 2 – .х + 4 = 0.





3) Определете знаците на корените на уравненията, без да ги намирате:

а) х2 + 5.х + 6 = 0

б) х2 – 5.х + 6 = 0

в) х2 + 5.х – 6 = 0

г) х2 – 5.х – 6 = 0

Решение:


а) от х1 + х2< 0 и х1.х2> 0 => корените са отрицателни

б) от х1 + х2> 0 и х1.х2> 0 => корените са положителни

в) от х1.х2< 0 => корените са с различни знаци

г) от х1.х2< 0 => корените са с различни знаци






4) Пресметнете сбора от квадратите на корените на уравнението 2.х2 – 4.х + 3 = 0.

Решение: х1 + х2 = 2



х1.х2 =

х12 + х22 = х12 + 2.х1.х2 + х22 – 2.х1.х2 = (х1 + х2)2 – 2 х1.х2 = 2 2 – 2. = 1        Отговор: 1




5) Определете стойността на параметъра m в уравнението х2 + ( m – 1).х + ( m + 1) = 0, ако 2.х1 – 3.х2= 4.

Решение: => събираме първите две уравнения и получаваме => х2 = 0 и х1 = – 3

Замествайки в първото уравнение се получава:









Линейни параметрични неравенства

1) Решете линейното параметрично неравенство ( m – 1). x < m.

Решение:

I сл. m – 1 < 0

m < 1

II сл. m = 1 0.x < 1, всяко х е решение;

III сл. . m – 1 > 0

m > 1

Отг. При m < 1 ;



m = 1 всяко х е решение;

m > 1 .




2) Решете неравенството: (4 – m2).хm – 2.

Решение:

I сл. 4 – m2< 0 => , то ;

II сл. 1. m = – 2, 0.x ≥ – 4 => всяко х е решение;

2. m = 2, 0. x ≥ 0 => всяко x е решение;

III сл. 4 – m2> 0 => , то

Огговор: при

при

при , .





3) Решете неравенството: 2. m + 5. mx < 6.( x + 1) + m2 x

Решение: – m2 x + 5. mx – 6 x < 6 – 2 m



m2x – 5. mx + 6 x > 2 m – 6

(m – 3)(m – 2)x > 2.(m – 3)

I сл. ( m – 3)( m – 2) < 0 => m(2; 3), то

II сл. 1. m = 2 0. x > – 2 => всяко х е решение

2. m = 3 0. x > 0 => няма решение

III сл. ( m – 3)( m – 2) > 0 => , то решението е

Отг. при m(2; 3), то

при , то

при m = 2 всяко х е решение

при m = 3 няма решение



Квадратни неравенства

1) 4.х2 – 20х + 25 > 0

Първо решаваме квадратното уравнение 4.х2 – 20х + 25 = 0



D = 0 => x1 = x2 = 2,5

Решенията на неравенството са






2) х2 – 5х + 4 ≥ 0

Решаваме квадратното уравнение х2 – 5х + 4 = 0



D = 9, x1 = 1; x2 = 4

Решенията на неравенството са отговор:






3)– х2 – 3х – 2 > 0

Решенията на квадратното уравнение са х1= – 1 и х2 = – 2 => отговора е






4) х2 + 4.х + 7 < 0

D = 16 – 4.7 = – 12 и коефициентът пред х2 е положителен => неравенството няма решение.




5) – 2x2 + 3x – 2 < 0

D = 9 – 16 = – 7 и коефициентът пред х2 е отрицателен => всяко х ще е решение на неравенството




6) Решете квадратното параметрично неравенство: х2 – ( m + 3). xm < 0.

Решение: D = ( m + 3)2 + 4. m = m 2 + 10 m + 9



D ≥ 0

m2 + 10 m + 9 ≥ 0

(m + 1)(m + 9) ≥ 0



отг. при , решението е






7) Решете квадратното неравенство: ( m – 1).х2 – 2.( m + 2). x + m ≥ 0.

Решение: D = ( m + 2)2m.( m – 1) = m2 + 4 m + 4 – m2 + m = 5. m + 4



D ≥ 0

5.m + 4 ≥ 0





отг. при

при m = 1

при решението е






8)Решете неравенството: .

Решение: От това, че х2 + х + 1 > 0 за всяко х, следва



x2m. x + m – 2. x2 – 2.x – 2 < 0

x2 – (m + 2).x + m – 2 < 0



x2 + (m + 2).x + 2 – m > 0

D = ( m + 2)2 – 4.(2 – m) = m2 + 4 m + 4 – 8 + 4.m = m2 + 8m – 4

D ≥ 0

m2 + 8.m – 4 ≥ 0

D m =16 + 4 = 20 =>

отг. при решението е



1) (а – 1)х = а







2) (3 + а)х = 4




3) (а2 – 2а + 1)х = 1 – а




4) ах + х + а2 – 1 = 0




5) (а – 1).х = 2 – а




6) ах – 3а = 1 – х




7) 3аах = а2 – 3х




8) а 2хb = b2х + а




9) ахb = bx + 1 + а(х b)




10) a2 x + b3 = a2b + abx

Квадратни параметрични уравнения

1) х2 + (а + 1) x + а = 0




2) 2 + (2m2 – 1) x – 2m = 0




3) ( b – 1) x2bx + 1 = 0




4) ( 2а + 1)х2а = 1




5) ax2 – (a – 2)x – 2a + 2 = 0




6) (ab)x2 – 2ax + 1 = 0

Формули на Виет

1) Определете х1 + х2 и х1.х2 , където х1, х2 са корени на уравненията:

а) 6.х2 – 5.х + 4 = 0

б) 3.х2 – 2.х + 7 = 0

в) х2 – 4.х + 3 = 0

г) 5.х2 – 11.х – 12 = 0





2) Намерете сбора от квадратите на корените (х12 + х22 ) на уравненията:

а) 2.х2 – 3.х + 1 = 0

б) 3.х2 + 4.х – 1 = 0





3) Определете сбора от кубовете на корените на уравненията:

а) х2 – 2.х + 5 = 0

б) 2.х2 – 6.х – 1 = 0





4) Определете знаците на корените, без да намирате самите тях:

а) х2 – 3.х + 2 = 0

б) х2 – 6.х – 7 = 0

в) х2 + 4.х + 5 = 0

г) х2 + х – 6 = 0





5) Намерете стойността на реалният параметър m в уравнението 2.х2 – ( m + 1).х + m = 0, ако:

а) х1х2 = 3

б)

 


Линейни параметрични неравенства

1) m . xm + 2




2) ( m – 3). x > m – 1




3) 3.а.х – 5 + 2а > 1




4) а.х – 7 ≤ 2(ах)




5) а (а – 1).х > а + 1




6) (а2 – 9).х < а + 3




7) ( m3 – 2 m2). xm.( m – 1)




8) m . ( mx ) > 2. x . ( m + 1)




9) (а2а – 2). y < a + 1

Квадратни неравенства

1) х2 – 3.х + 4 < 0




2) х2 – 4.х + 4 ≥ 0




3)х2 – 10.х + 9 < 0




4) х2 – 9.х + 20 ≥ 0




5) х2 + 2.х + 5 > 0




6) – 2.х2 + 3.х – 4 < 0




7) – х2 + 2.х – 4 ≥ 0




8) 1 – х2< 0




9) 4 – х2 ≥ 0




10) 2.х2 – 2.( m – 1). x + 1 < 0




11) х2 + (2. m + 1). x + m > 0




12) х2 + ( m + 3). x + 7 ≤ 0




13) х2 + ( m + 2). xm ≥ 0




14) m .х2 – 2. m . x + m + 1 < 0




15) (1 – m ).х2 +( m + 1). x – 2. m ≥ 0




16) ( m – 2).х2 – ( m – 2). x – 1 ≤ 0




17) х2 – 2.( m + 2). x + m + 1 ≥ 0




18) – х2m . . x + m ≤ 0




19) (2 m + 3).х2 – (3 m – 2). x + m ≥ 0




20) ( m – 4).х2 – 2.(2 m + 3). x + 4 m ≤ 0

Верните отговори са:

Линейни параметрични уравнения

5) а = 1 няма решение а ≠ 1

6) а = – 1 няма решение а ≠ – 1


7) при а = 3 всяко х е решение; при а ≠ 3 х =а
8) при а = b няма решение; при а = – b всяко х е решение; при аb

9) при b = 0 няма решение; при b ≠ 0


10) при а = b всяко х е решение; при a = 0 и b = 0 всяко х е решение

при а = 0 но b ≠ 0 няма решение; при a ≠ 0 и а b

Квадратни параметрични уравнения

1)
2) при m = 0 решението е х = 0; при m ≠ 0 решенията са х = m; x =
3)при b = 1 решението е ; при b ≠ 1 решенията са ;
4) при решенията са
5) при а = 0 решението е х = – 1;

при решенията са


6) а = b и a = 0 , няма решения; а = b , a ≠ 0, решението е



аb и a 2 – 4 a + 4 b ≥ 0 решенията са

Формули на Виет

1) a) ; б) ;
в) ; г) ;
2) а) б)
3) а) – 6 б) 10
4) а) двата корена са положителни б) положителен и отрицателен
в) два отрицателни г) положителен и отрицателен
5) а) б)

Квадратни неравенства:

1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)

11) за всяко m

12) при

13) при

14) при m < 0

при m ≥ 0 няма решение

15) при е решение

при

при

при

при

16) при

при

при

17) няма решение

18)



19)

20)
Каталог: zmonres -> edu -> Matematika 12 ORAK -> math12
math12 -> N това множество се въвежда аксиоматически чрез три основни числа и пет аксиоми. Тези аксиоми се наричат аритметични аксиоми на Пеано на името на италианския математик Джузепе Пеано (1858 1932). Основните (първичните) понятия на Пеано са
math12 -> Историческа справка
math12 -> Хорда на сфера – отсечка коята свързва две точки от сферата
math12 -> Права а лежи в равнина
math12 -> Oпределение: Многостен една от стените на който е многоъгълник, а останалите стени са триъгълници с общ връх, нележащ в равнината на многоъгълника, се нарича пирамида
math12 -> Определение: Частта от пирамида заключена между две нейни успоредни сечения се нарича пресечена пирамида


Поделитесь с Вашими друзьями:




База данных защищена авторским правом ©obuch.info 2020
отнасят до администрацията

    Начална страница