Едно обобщение на класическият арбелос и Архимедовите окръжности Димитър Белев
Изтегляне 393.93 Kb.
|
- Навигация на страницата:
- Едно обобщение на класическият арбелос и Архимедовите окръжности Димитър Белев Тема.
- Предварителни бележки или „Защо полуокръжности”.
- Построение на арбелос върху хорда. Лема 1.
- Лема 1
- Теорема 2.
 Едно обобщение на класическият арбелос и Архимедовите окръжности
Димитър Белев Тема. На основата на хорда са построени арбелос и окръжности с равни радиуси. Архимедовите окръжности – близнаци се получават като частен случай на тези окръжности, когато хордата стане диаметър. Пресметнат е радиусът на тези окръжности и е намерена връзката между този радиус, радиуса Архимедовите окръжности – близнаци и радиусите на някои окръжности аналогични на Архимедовите окръжности. Построени са и са изследвани някои конструкции аналогични на конструкции от класическия арбелос. Намерени са нови Архимедови окръжности. Въобще интересни неща ...
Разглеждаме арбелос заключен от три полуокръжности  ,  и  като  . Трите полуокръжности се допират взаимно в точките A, B и P, а CP е общата вътрешна допирателна на и (фигура 1).
Фигура Архимед е показал, че окръжностите  и  допиращи се съответно до , и PC и до , и PC са еднакви и имат радиус  . Окръжностите и са наречени Архимедови окръжности – близнаци. Доста по-късно1 са намерени и продължават да бъдат намирани още много окръжности2 свързани с арбелоса (наречени Архимедови окръжности) и имащи същият радиус.
Въпросите, които си поставяме в тази статия и чиито отговори търсим са: - Можем ли да построим арбелос, за който AB е хорда така, че да запазим „максимум” от свойствата на класическия арбелос? - Можем ли в този арбелос да построим окръжности така, че да запазим „максимум” от свойствата на класическите Архимедови близнаци? Какъв е техният радиус? - При този арбелос Архимедовите окръжности имат ли аналози и ако имат каква е връзката между техните радиуси и радиусите на Архимедовите близнаци и\или обобщените Архимедови близнаци?
Лема 1. Нека AB е хорда в окръжност 
Фигура Доказателство: Нека В построеният (Фигура 2) от нас арбелос върху хордата AB са запазени следните важни свойства на класическия арбелос: - Контурът на арбелоса се състои от три дъги с равни дъгови мерки  .
- Окръжностите и допират вътрешно окръжността съответно в точките A и B.
- Общата точка P на окръжностите и лежи на AB.
- Независимо от положението на точка P върху хордата AB е изпълнено равенството  .
Точка P е пресечна точка на окръжностите Този арбелос нататък ще наричаме - ?-арбелос.
Понеже окръжностите и нямат обща вътрешна допирателна в точка P, както е в класическия арбелос, ние построяваме допирателните в тази точка към двете окръжности. Сега разглеждаме окръжностите, които допират тези допирателни и окръжностите , и , както е показано на Фигура 3.
Теорема 1. Нека AB е хорда в окръжност 
Фигура Доказателство: Първо ще намерим радиусите на окръжностите (1)  .
Фигура От триъгълник  имаме
 ,
а от Лема 1 - . Заместваме в (1) и след пресмятане получаваме
(2)  .
Случаят, когато K е между Да намерим радиусите на окръжностите От триъгълник  ,
като заместим в (3) отново получаваме същият резултат .
Фигура Случаят, когато K е между O и  е аналогичен. Теоремата е доказана.
От формула (2) виждаме, че Така доказахме, че класическият арбелос  и Архимедовите окръжности – близнаци с радиус са частен случай на построените в Лема 1 ?-арбелос  и в Теорема 1 окръжности  и  (съответно окръжности  и  ) с радиус за ъгъл  .
Тези окръжности нататък ще наричаме – ?-Архимедови близнаци.
Когато хордата AB не е диаметър, тя разделя окръжността на два различни сегмента и съответно получаваме два различни арбелоса. Както видяхме (Фигура 3) от Теорема 1 радиусите на ?-Архимедовите близнаци и в двата арбелоса са равни. Тук ние ще изследваме свойствата, които имат окръжности3 аналогични на някои от Архимедовите окръжности в класическия арбелос. Ще започнем с окръжността на Bankoff. В класическият арбелос това е окръжността минаваща през допирната точка на малките полуокръжности и допирните точки на вписаната в арбелоса окръжност с малките полуокръжности. Намирането на аналогични конструкции за ?-арбелос може да е свързано с известни трудности, тъй като дадена конструкция в класическия арбелос може да бъде достигната чрез повече от една конструкции за
При условията на Лема 1 е даден арбелос върху хордата AB, ограничен от окръжностите Доказателство: Ако окръжността 
Фигура Нека EF и AM са допирателни (Фигура 7) към окръжността . От Лема 1 имаме, че  и следователно триъгълниците APE и AEB са подобни, от където
(4)  .
Но (5) окръжностите  и са ортогонални.
Разглеждаме инверсия (Фигура 8) относно окръжността A(E). Поради (4) тази инверсия разменя местата на точките P и B. Тогава окръжностите 
Фигура При разглежданата инверсия: - Точките  ,  и  се изобразяват съответно в точките  ,  и  .
- Окръжността  се изобразява в окръжността  допираща се до правите AB и  съответно в точките B и  .
- Окръжността  се изобразява в окръжността  , която минава през точките B, и  и допира правата AB в точка B (понеже допира AB в точка P).
Тогава окръжностите (6)  е перпендикулярна на правите и  .
Нека Тъй като Тъй като (7)  и точките  , и  лежат на една права.
От (6) и (7) виждаме, че окръжността Доказателството за окръжността Ако - средно аритметичното на радиусите  и  е радиусът  на Архимедовите окръжности – близнаци;
- средно хармоничното на радиусите и е радиусът r на ?-Архимедовите близнаци;
Доказателство: Пре инверсия (Фигура 8) относно окръжността A(E) точките (8)  ,
и аналогично (9)  .
Сега като образуваме средно аритметичното на радиусите (10)  .
Аналогично средно хармоничното на радиусите (11)  .
От формули (8) и (9) виждаме още, че при Каталог: upload -> files -> dbelev -> Documents files -> Мотиви към законопроекта files -> Мотиви към законопроекта files -> Списък на участниците – 22 ученици от икономически професионални гимназии и 3-ма учители files -> З а п о в е д № от г. На основание чл. 162, ал. 4 от Кодекса за застраховането, образците на отчет files -> Наредба №23 от 18 декември 2009 Г. За условията и реда за предоставяне на безвъзмездна финансова помощ по мярка "прилагане на стратегиите за местно развитие" и по мярка "управление на местни инициативни групи files -> Съдържание увод глава първа. Особености на отразяването на кризата в медийния дискурс files -> Единни в многообразието замяза на „Еднообразни в разединението” files -> Заседанието на кабинета, в което участваше и министър Москов продължава Documents -> Едно обобщение на Наполеоновите триъгълници Димитър Белев, Василка Игнатова-Белева Резюме Изтегляне 393.93 Kb. Сподели с приятели:
|
е успоредник и 
и 
(Фигура 2). В точка A построяваме общата допирателна t към окръжностите 
? 
? 
??OB. Аналогично 
и 
??OA ? 
е успоредник ? 
.
са в различни полуравнини (Фигура 4) относно правата EF. Случаят, когато центровете са от една и съща полуравнина относно допирателната ще разгледаме при пресмятането на радиусите на окръжностите 
. Построяваме 
. От триъгълници 
и 
изразяваме 
по два начина приравняваме и получаваме
. Построяваме 
. От триъгълници 
и 
изразяваме 
по два начина и получаваме
.
имаме 
и следователно 
ако 
, AB е диаметър и центровете 
, то при 
допират хордата AB и окръжността 
. Нека още окръжносттите 
чрез хомотетия с център точка P и коефициент 
и окръностите 
и 
. Тогава окръжностите 
са вписаните в арбелосите 
окръжности.
е ъглополовяща4 на 
. Следователно ако точка 
е среда на противоположната дъга AB, то точка 
и окръжността 
на 
и перпендикуляра през точка P към AB, а средата 
на 
е центърът на окръжността 
е вписаната в горния арбелос окръжност5.
? 
и 
. Следователно окръжността 
е център на 
понеже 
и следователно 
, то 
и 
.
и 
, то точките P, 
.
, след пресмятане получаваме, че 
. Следователно триъгълниците 
и 
са подобни, от където 
допира правите 
, 
е аналогично. Теоремата е доказана.
, то:
и P се изобразяват съответно в точките 
и B, от където следва, че 
, а това означава, че центърът на описаната около триъгълника 
окръжност8 е средата T на дъгата AP. Аналогично средата Q на дъгата PB е центърът на описаната около триъгълник 
окръжност9. Тогава 
, 
е диаметър на окръжността 
и може да бъде пресметнат11 като средно хармонично от основите на трапеца с върхове T, Q и средите на отсечките BP и AP. От където