Едно обобщение на класическият арбелос и Архимедовите окръжности Димитър Белев



страница1/3
Дата23.10.2018
Размер393.93 Kb.
#93430
  1   2   3



Едно обобщение на класическият арбелос и Архимедовите окръжности
Димитър Белев

Тема. На основата на хорда са построени арбелос и окръжности с равни радиуси. Архимедовите окръжности – близнаци се получават като частен случай на тези окръжности, когато хордата стане диаметър. Пресметнат е радиусът на тези окръжности и е намерена връзката между този радиус, радиуса Архимедовите окръжности – близнаци и радиусите на някои окръжности аналогични на Архимедовите окръжности. Построени са и са изследвани някои конструкции аналогични на конструкции от класическия арбелос. Намерени са нови Архимедови окръжности. Въобще интересни неща ...



  1. Предварителни бележки или „Защо полуокръжности?”.

Разглеждаме арбелос заключен от три полуокръжности , и като . Трите полуокръжности се допират взаимно в точките A, B и P, а CP е общата вътрешна допирателна на и (фигура 1).


Фигура
Архимед е показал, че окръжностите и допиращи се съответно до , и PC и до , и PC са еднакви и имат радиус . Окръжностите и са наречени Архимедови окръжности – близнаци. Доста по-късно1 са намерени и продължават да бъдат намирани още много окръжности2 свързани с арбелоса (наречени Архимедови окръжности) и имащи същият радиус.

Въпросите, които си поставяме в тази статия и чиито отговори търсим са:


- Можем ли да построим арбелос, за който AB е хорда така, че да запазим „максимум” от свойствата на класическия арбелос?
- Можем ли в този арбелос да построим окръжности така, че да запазим „максимум” от свойствата на класическите Архимедови близнаци? Какъв е техният радиус?
- При този арбелос Архимедовите окръжности имат ли аналози и ако имат каква е връзката между техните радиуси и радиусите на Архимедовите близнаци и\или обобщените Архимедови близнаци?



  1. Построение на арбелос върху хорда.

Лема 1.

Нека AB е хорда в окръжност и точка P принадлежи на хордата AB. Ако окръжностите и минават през точка P и допират вътрешно окръжността съответно в точките A и B, то четириъгълникът е успоредник и .




Фигура
Доказателство:

Нека и (Фигура 2). В точка A построяваме общата допирателна t към окръжностите и ? ? ? ??OB. Аналогично и ??OA ? е успоредник ? .


В построеният (Фигура 2) от нас арбелос върху хордата AB са запазени следните важни свойства на класическия арбелос:
- Контурът на арбелоса се състои от три дъги с равни дъгови мерки .
- Окръжностите и допират вътрешно окръжността съответно в точките A и B.
- Общата точка P на окръжностите и лежи на AB.
- Независимо от положението на точка P върху хордата AB е изпълнено равенството .

Точка P е пресечна точка на окръжностите и , а не допирна точка, както е в класическия арбелос. Това е и свойството, което сме „жертвали” построявайки арбелос върху хорда.

Този арбелос нататък ще наричаме - ?-арбелос.


  1. Обобщени Архимедовите окръжности – близнаци.

Понеже окръжностите и нямат обща вътрешна допирателна в точка P, както е в класическия арбелос, ние построяваме допирателните в тази точка към двете окръжности. Сега разглеждаме окръжностите, които допират тези допирателни и окръжностите , и , както е показано на Фигура 3.
Теорема 1.

Нека AB е хорда в окръжност , и точка P принадлежи на хордата AB (Фигура 3). Окръжностите и минават през точка P и допират вътрешно окръжността съответно в точките A и B. През точка P са построени допирателните CD и EF съответно към окръжностите и . Окръжностите и , които допират , и EF и окръжностите и , които допират , и CD имат равни радиуси с дължина .




Фигура
Доказателство:

Първо ще намерим радиусите на окръжностите и . Нека центровете O и са в различни полуравнини (Фигура 4) относно правата EF. Случаят, когато центровете са от една и съща полуравнина относно допирателната ще разгледаме при пресмятането на радиусите на окръжностите и . От Лема 1 имаме, че е успоредник и следователно . Построяваме . От триъгълници и изразяваме по два начина приравняваме и получаваме


(1) .


Фигура
От триъгълник имаме
,
а от Лема 1 - . Заместваме в (1) и след пресмятане получаваме
(2) .

Случаят, когато K е между и A изчисленията са аналогични и резултатът е същият. Понеже е симетрична на относно правата OA, то и нейният радиус е равен на r.

Да намерим радиусите на окръжностите и . Нека центровете O и са в една и съща полуравнина (Фигура 5) относно правата CD. От Лема 1 ? . Построяваме . От триъгълници и изразяваме по два начина и получаваме
(3) .

От триъгълник имаме


,
като заместим в (3) отново получаваме същият резултат
.



Фигура
Случаят, когато K е между O и е аналогичен. Теоремата е доказана.

От формула (2) виждаме, че и следователно ако . Тогава , AB е диаметър и центровете , O и лежат на AB. Тъй като ъгълът (Фигура 3) между допирателните EF и CD е , то при двете допирателни съвпадат и P става допирна точка на окръжностите и .


Така доказахме, че класическият арбелос и Архимедовите окръжности – близнаци с радиус са частен случай на построените в Лема 1 ?-арбелос и в Теорема 1 окръжности и (съответно окръжности и ) с радиус за ъгъл .

Тези окръжности нататък ще наричаме – ?-Архимедови близнаци.




  1. Обобщени Архимедови окръжности.

Когато хордата AB не е диаметър, тя разделя окръжността на два различни сегмента и съответно получаваме два различни арбелоса. Както видяхме (Фигура 3) от Теорема 1 радиусите на ?-Архимедовите близнаци и в двата арбелоса са равни. Тук ние ще изследваме свойствата, които имат окръжности3 аналогични на някои от Архимедовите окръжности в класическия арбелос.

Ще започнем с окръжността на Bankoff. В класическият арбелос това е окръжността минаваща през допирната точка на малките полуокръжности и допирните точки на вписаната в арбелоса окръжност с малките полуокръжности.

Намирането на аналогични конструкции за ?-арбелос може да е свързано с известни трудности, тъй като дадена конструкция в класическия арбелос може да бъде достигната чрез повече от една конструкции за
?-арбелоса. Например окръжността на Bankoff може да бъде разглеждана и като вписаната окръжност в триъгълника с върхове - центровете на малките полуокръжности и центъра на вписаната в арбелоса окръжност. Аналозите на такава окръжност нямат „хубави” свойства.


Фигура
Теорема 2.

При условията на Лема 1 е даден арбелос върху хордата AB, ограничен от окръжностите , и (Фигура 6). Нека окръжносттите допират хордата AB и окръжността съответно в точките P и . Нека още окръжносттите се изобразяват в окръностите чрез хомотетия с център точка P и коефициент и окръностите пресичат окръжностите и съответно в точките и . Тогава окръжностите са вписаните в арбелосите окръжности.


Доказателство:

Ако окръжността допира хордата AB и окръжността съответно в точките P и , то е ъглополовяща4 на . Следователно ако точка е среда на противоположната дъга AB, то точка (Фигура 6) намираме като пресечна точка на и окръжността . Центърът на окръжността е пресечната точка на и перпендикуляра през точка P към AB, а средата на отсечката е центърът на окръжността . Ще покажем, че окръжността е вписаната в горния арбелос окръжност5.




Фигура
Нека EF и AM са допирателни (Фигура 7) към окръжността . От Лема 1 имаме, че и следователно триъгълниците APE и AEB са подобни, от където
(4) .

Но ? и


(5) окръжностите и са ортогонални.

Разглеждаме инверсия (Фигура 8) относно окръжността A(E). Поради (4) тази инверсия разменя местата на точките P и B. Тогава окръжностите и ще се изобразят в правите6 и минаващи съответно през точките P и B и успоредни на допирателната t. Окръжността е инвариантна относно разглежданата инверсия (поради (5)).




Фигура
При разглежданата инверсия:
- Точките , и се изобразяват съответно в точките , и .
- Окръжността се изобразява в окръжността допираща се до правите AB и съответно в точките B и .
- Окръжността се изобразява в окръжността , която минава през точките B, и и допира правата AB в точка B (понеже допира AB в точка P).

Тогава окръжностите и са хомотетични съответно на окръжностите и с център на хомотетия точка A и един и същ коефициент на хомотетия . Следователно окръжността е образ на при хомотетия с център точка B и коефициент . Ако е център на , то понеже е среда на BL, но и следователно лежи на и


(6) е перпендикулярна на правите и .

Нека е среда на . Понеже , то и .

Тъй като и , то точките P, и лежат на една права7 и .

Тъй като , след пресмятане получаваме, че . Следователно триъгълниците и са подобни, от където


(7) и точките , и лежат на една права.

От (6) и (7) виждаме, че окръжността допира правите и и окръжността , следователно окръжността допира окръжностите , и .

Доказателството за окръжността е аналогично. Теоремата е доказана.
Следствие 1.

Ако и са съответно радиуси на окръностите и , то:


- средно аритметичното на радиусите и е радиусът на Архимедовите окръжности – близнаци;
- средно хармоничното на радиусите и е радиусът r на ?-Архимедовите близнаци;
Доказателство:

Пре инверсия (Фигура 8) относно окръжността A(E) точките и P се изобразяват съответно в точките и B, от където следва, че , а това означава, че центърът на описаната около триъгълника окръжност8 е средата T на дъгата AP. Аналогично средата Q на дъгата PB е центърът на описаната около триъгълник окръжност9. Тогава правата TQ е симетрала на , лежи10 на TQ, е диаметър на окръжността и може да бъде пресметнат11 като средно хармонично от основите на трапеца с върхове T, Q и средите на отсечките BP и AP. От където


(8) ,
и аналогично
(9) .

Сега като образуваме средно аритметичното на радиусите и и заместим от (8) и (9) получаваме


(10) .

Аналогично средно хармоничното на радиусите и е


(11) .

От формули (8) и (9) виждаме още, че при , окръжността на Bankoff е частен случай на окръжностите и .


Каталог: upload -> files -> dbelev -> Documents
files -> Мотиви към законопроекта
files -> Мотиви към законопроекта
files -> Списък на участниците – 22 ученици от икономически професионални гимназии и 3-ма учители
files -> З а п о в е д № от г. На основание чл. 162, ал. 4 от Кодекса за застраховането, образците на отчет
files -> Наредба №23 от 18 декември 2009 Г. За условията и реда за предоставяне на безвъзмездна финансова помощ по мярка "прилагане на стратегиите за местно развитие" и по мярка "управление на местни инициативни групи
files -> Съдържание увод глава първа. Особености на отразяването на кризата в медийния дискурс
files -> Единни в многообразието замяза на „Еднообразни в разединението”
files -> Заседанието на кабинета, в което участваше и министър Москов продължава
Documents -> Едно обобщение на Наполеоновите триъгълници Димитър Белев, Василка Игнатова-Белева Резюме


Сподели с приятели:
  1   2   3




©obuch.info 2024
отнасят до администрацията

    Начална страница