Факултет Природни науки и образование Катедра „Алгебра и Геометрия
Изтегляне 469.51 Kb.
|
- Навигация на страницата:
- - вътрешни ъгли;
- Вдлъбнат четириъгълник : точка -външна за четириъгълника ABCD
- . Обратно , то в четириъгълника може
- Вписан четириъгълник – в окръжност
  
Русенски университет „Ангел Кънчев” Факултет Природни науки и образование Катедра „Алгебра и Геометрия” по Извънкласна работа На …………………….. Спец .ПОМИ Курс: lV Фак.номер:046109 Дата: 02.11.2010г. Проверил:…………... Гр.Русе Св.Билчев
Определение за окръжност-множество от точки, които се намират на равно растояние r от дадена точка O, която се нарича център. Окръжността е и частен случай на елипса с два съвпадащи фокуса и може да бъде дефинирана също като сечение на прав кръгов конус и равнина, перпендикулярна на оста му. Кръг е множество от точки, вътрешни за окръжността, т. е. тези точки, които са на растояние по-малко или равно на r от центъра O. Окръжността се характеризира със следните понятия:
Обиколката на окръжност =  . диаметър = 2. . радиус
Площ на окръжност = . (радиус) 2
Радиус на окръжност се означава с r а диаметър с d и обиколката с P. P = S = Площа на сектор К с централен ъгъл θ и радиус r Ако ъгъла θ е в градуси тогава Ако ъгъла θ е в радиани тогава 
Вписан ъгъл Вписан ъгъл е ъгъл, чийто връх е точка от окръжността, а раменете му са хорди от окръжността. Големината на вписания ъгъл е равна на половината от големината на дъгата, която той отсича. Централен ъгъл Централен ъгъл е ъгъл, чийто връх е центъра на окръжността, а раменете му са радиуси на окръжността. Големината на централният ъгъл се равнява на големината на дъгата, която той отсича. Външен ъгъл Вънщен ъгъл е ъгъл, чийто връх е точка извън окръжността, а раменете му са две секущи. Големината на външния ъгъл е равна на половината от разликата на дъгите, които секущите отсичат. Периферен ъгъл Периферен ъгъл е този, който има за връх точка от окръжността, а раменете му са хорда от окръжността и допирателна към окръжността. Големината му се равнявя на половината на дъгата , която хордата о допирателната отсичат. Ъгъл между две хорди Когато две хорди се пресичат вътре в окръжността, големината на всеки от ъглите е половината от сбора на дъгите, които те осичат. В сила е и следната теорема. Теорема- Равни хорди в една окръжност „стягат” равни ъгли и обратното е в сила. Взаимно положение на две окръжности 1. Концентрични окр. са тези, които имат един и същ център но различен радиус 2. Ексцентрични окр. са тези окръжности, на които центъра е различен Около четириъгълник може да се опише окръжност тогава и само тогава,когато сборът от мерките на срещулежащите му ъгли е равен на Доказателство: 1)Нека четириъгълникът Аналогично за сбора от мерките на ъглите с върхове 
2) Нека сега за четириъгълника изпълнено Да допуснем, че Четириъгълникът Допускането  
(черт.2б) (черт.2а) равенството И така допускането, че От доказаната теорема следва, че около успоредник може да се опише окръжност тогава и само тогава, когато той е правоъгълник.Също така около трапец може да се опише окръжност тогава и само тогава, когато той е равнобедрен.
В четириъгълник може да се впише окръжност тогава и само тогава,когато сборовете от дължините на срещулежащите му страни са равни. Доказателство: 1)Нека четириъгълника 2) Нека сега за четириъгълника a) Нека  
(черт.3) (черт.4)  и  са равнобедрени с обща основа на диагонала  , а  е ос на симетрия за делтоида. Нека ъглополовящата на пресича в точка  . В такъв случай е равно отдалечена от страните на делтоида и следователно е център на вписаната в него окръжност.
б) Нека Нека Да означим с От теореми 1 и 2 следва, че около квадрата може да се опише окръжност и в него да се впише окръжност. Центровете на двете окръжности съвпадат с пресечната точка на диагоналите на квадрата. Теорема 3. (Теорема на Птоломей) Сборът от произведенията на срещуположните страни на изпъкналия четириъгълник е по-голям или равен на произведението на диагоналите, като равенството е изпълнено тогава и само тогава, когато четириъгълникът е вписан. Доказателство: Нека  е даденият четириъгълник (черт.5). Върху лъча с начало върха  съдържащ върха  разглеждаме  , такава, че произведението от дължините на отсечките  и  да е равно на дължината на единичната отсечка, т.е.  . Аналогично върху лъчите с начало съдържащи съответно  и  , разглеждаме точки  и  такива, че  и  . Тъй като  и  имат по две страни пропорционални и ъглите между тях равни, те са подобни.Тогава
и тъй като  , то
Аналогично   и 
Като вземем под внимание, че коя да е страна на триъгълника е по- малко от сбора на останалите две страни, заключваме от  (1)
Като равенството е изпълнено тогава и само тогава, когато  , (2)
С което е доказано първата част от теоремата. I.Нека в(2) а оттам и в (1) е изпълнено равенството.Тогава Следователно около четириъгълника II. Нека С това теоремата е доказана. Теорема 4. Ако Доказателство: Нека 
Откъдето  (4)
За да докажем твърдението, достатъчно е да изразим  .
Оттук
Тогава от (4) последователно получаваме  откъдето като вземем под внимание, че
 , 
 , 
Окончателно намираме  .
Теорема 5. Ако един четириъгълник е едновременно вписан и описан, то лицето му е равно на квадратен корен от произведението на страните. Доказателство: От доказателството на теорема 4 е известно, че 
От друга страна, съгласно теорема 2  , 
 , 
И получаваме 
|
а и радиуса им може да бъде различен
.
, т.е 
, 
, 
и 
(черт. 1).Ъглите на четириъгълника 
, 
.Тогава 
.Да означим с 
, и нека 
.
е вписан в окръжността
.Тъй като по условие
.
е външен за 
и затова 
, което противоречи на 
. Ако 
>
, понеже сборът от мерките на ъглите в четириъгълника е равен на 
.
допирните точки на 
.Тъй като допирателните отсечки, прекарани през външна точка към окръжност, са еднакви, то 
. Като съберем почленно тези равенства, получаваме 
. Оттук следва, че 
т.е. сборовете от срещулежащите страни са равни. 
и 
, т.е. 
. От равенството 
.
, 
, 
. От даденото условие получаваме, че 
.
т.е. пресечената точка на симетралите на страните му. Тези симетрали разполовяват ъглите с върховете 
и 
и 
са равнобедрени. Следва, че 
, че 
и 
и 
и 
с намерените за тях изрази и получаваме 
, 
и 
, 
намираме 
и 
, като ъглите в десните страни на тези равенства са съседни. Следва, че
(3)
и от (3) намираме 
. И тъй като точките 
, то ъглите 
и 
са дължини на страните и полупериметърът на вписан четириъгълник, то лицето му е 
.
е големината на ъгъла между първите две страни на 
, чрез страните на четириъгълника. Но 
.Тогава