Хармонични трептения

Тук ще се разглеждат механични трептения и ще се даде кратко описание за това как могат да възникнат периодични движения в механиката.

Когато векторната сума от всички сили, които действат на една материална точка е нула и същевременно материалната точка е в покой, се счита, че последната се намира в състояние на механично равновесие.

Състоянието на механично равновесие може да е устойчиво, неустойчиво или безразлично. Ако малко отклонение от положението на равновесие води до възникване на сили, които още повече отклоняват материалната точка от равновесното положение, равновесието е неустойчиво. Когато при малко отклонение от равновесното положение възникват сили, които връщат материалната точка в равновесното положение, то се нарича устойчиво. Ако при произволно отклонение от положението на равновесие сумата от силите остава нула, равновесието се нарича безразлично.

Трептенията се разделят най-общо на два вида –свободни и принудени трептения. При свободните незатихващи трептения се пренебрегват силите на триене и съпротивление на средата, които могат да доведат до намаляване на енергията на трептящата система. Такива трептения са най-прост и идеализиран случай на такова движение.

Описание на свободни трептения може да стане, като се започне от познатото вече движение на материална точка по окръжност. Ако материална точка M се движи равномерно по окръжност с радиус A, то нейната проекция Р върху някой от диаметрите на окръжността извършва трептене – фиг. 1. Ако се използва декартова координатна система с начало O в центъра на окръжността и се разглежда проекцията Р на материалната точка M върху оста x, ординатата на тази проекция в даден момент е:

, (1)

Фиг. 1

където е полярния ъгъл между радиус вектора на материалната точка и оста y. Този ъгъл се променя с времето по закона:

където е ъгълът в началния момент време , а – ъгловата скорост. Следователно координата на проекцията Р върху оста x се изменя с времето по закона:

Движение, което се извършва по синусов (или косинусов) закон, изразяващ се с формула (3) се нарича хармонично трептене.

На фиг.2а е представена графиката на хармоничното трептене. По хоризонталната ос е поставено времето . 

Величините, които участват във формула (3) се наричат:

• 
  x – отклонение от равновесното положение или елонгация;
  

• 
  Величината A е амплитудата и представлява максималната абсолютна стойност на отклонението от положението на равновесие; амплитудата е постоянна положителна величина. Отправната система обикновено се избира така, че в равновесното положение x = 0.
  
• 
  Величината , която стои под знака на синуса в (3) се нарича фаза на трептенето в момента t. Константата ₀ е равна на стойността на фазата в момента време и се нарича начална фаза на трептенето.
  

• 
  Величината представлява собствена кръгова честота. За хармоничните трептения тя е характеристика само на трептящата система. Мерната й единица е [rad/s].
  
• 
  Тъй като косинусът е периодична функция с период , системата извършва периодични трептения, повтарящи се през такъв интервал от време , за който фазата на трептенето нараства с . Този интервал от време се нарича период.
  

откъдето се получава:

Фиг. 2а.

Фиг. 2б.

• 
  Броят на трептенията за единица време се нарича (линейна) честота на трептенето .
  

За единица честота е приета честотата на трептене, чийто период е равен на 1 s. Тази мерна единица се нарича херц [Hz]. Честота, равна на 10³ Hz се нарича килохерц [kHz], а честота равна на 10⁶ Hz – мегахерц [MHz].

Равенството показва, че величината e равна на броя на трептенията, които се извършват за секунди.
Скоростта и ускорението при хармоничното трептене се получават от закона за движението (3) чрез последователно диференциране:
(4)

(5)

откъдето се вижда действително, че ускорението и отместването са в противофаза (когато отместването достига максималната си стойност, ускорението също има максимум, но в обратна на отместването посока).

При последното преобразование се въвежда означението , което играе роля на коефициент на пропорционалност между силата и отклонението.

Така се вижда, че силата, която действа върху материална точка, извършваща хармонично трептене, е пропорционална на отклонението от равновесното положение и има посока противоположна (знак минус) на това отклонение:

. (8)

Сила, действаща по този начин, се нарича квазиеластична сила.

За да възникне едно трептение, в системата винаги трябва да действа някаква възвръщаща сила, насочена към равновесното положение на системата (в случая това е сила на еластичност), а за да бъде трептението хармонично, големината на тази сила трябва зависи линейно от отклонението (F = kx).

Ако се отчете, че ускорението е втора производна на радиус-вектора (в конкретния случай на едномерно движение – координатата x) по времето, може да се получи и т.нар. диференциално уравнение на хармоничното трептение:

където A и ₀ са произволни константи (общото решение на обикновено диференциално уравнение от втори ред съдържа две произволни константи), които зависят от началните условия на трептението. Константата A (амплитуда) зависи от това, колко ще бъде отклонено топчето от равновесното му положение в началния момент, а константата ₀ (началната фаза) зависи от момента от време, който се избира за начален при движението.

Следователно, амплитудата и началната фаза са константи, които не зависят от самата трептяща система, а само от външни фактори, докато кръговата честота ₀ при хармоничните трептения зависи само от характеристиките на самата система.

От формула (7) е ясно, че кръговата честота може да се представи във вида:

Следователно останалите характеристики на трептенето – период и честота са свързани с динамичните параметри чрез равенствата:

Ще бъдат разгледани няколко конкретни примера на механични хармонични трептения.

Фиг. 3

Разглежда се вертикално пружинно махало. В равновесното положение на пружинното махало силата на тежестта се уравновесява от силата , възникваща при деформация на пружината. Ако външна сила изведе топчето от равновесното положение () и го отмести на някакво разстояние (), махалото започва да извършва хармонични трептения под действие на равнодействащата сила на и , която се стреми да го върне отново в равновесното положение. Тази сила е . Тя е квазиеластична и поражда хармонично трептене. Честотата и периодът на трептенето се изразяват чрез формули (9) и (10).

В разгледания пример хармоничните трептения възникват в резултат на еднократно отклонение на трептящото тяло от началното състояние на равновесие и в отсъствие на външни сили. Такива трептения се наричат свободни. Свободните хармонични трептения се съпътстват от периодични превръщания на кинетичната енергия на трептящите тела в потенциална енергия и обратно.

Как се извършват тези превръщания при пружинното махало? Допуска се, че топчето и пружината са една затворена система, в която действа еластична сила с големина . От дефиниционното равенство на еластична сила следва, че тя е консервативна сила (нейната работа по затворен контур е равна на нула).

Уравнението на движение на тялото е

,

където . Това е уравнението на хармоничен осцилатор. Следователно възникват хармонични трептения с кръгова честота

Кръговата честота и периодът се определят от масата m на тялото и от коефициента на еластичност k на пружината.

Потенциалната енергия на пружинно махало е: .

Замества се изразът (3) за х и се получава:

. (11)

Кинетичната енергия на махалото в произволен момент от време ще се получи, като се замести израза за скоростта (4) във формулата

. (12)

Пълната енергия на махалото е сума от неговата кинетична и потенциална енергия

. (13)

Получената формула показва, че пълната енергия е пропорционална на квадрата на амплитудата на трептенията.

Превръщането на енергията се извършва в съответствие със закона за запазване на механичната енергия в консервативна система. При движението на махалото надолу или нагоре, отчетено спрямо равновесното положение, неговата потенциална енергия се увеличава, а кинетичната намалява. В точката с максимално отместване потенциалната му енергия има максимална стойност и е равна на пълната енергия, а кинетичната енергия е равна на нула. Когато махалото преминава през равновесното положение, неговата потенциална енергия става равна на нула, а кинетичната придобива максимална стойност, равна на пълната енергия. Измененията на потенциалната и кинетичната енергия с течение на времето са показани на фиг. 4.

Фиг. 4

Честотата на трептене на математичното махало зависи само от дължината на нишката и от земното ускорение и не зависи от масата му.

За периода на трептене на математичното махало се получава формулата:

Физично махало.
Ако трептящото тяло не може да бъде представено като материална точка, махалото се нарича физично. При отклонение на махалото от равновесното му положение на ъгъл  възниква въртящ момент, който се стреми да върне махалото в равновесното му положение (фиг.6).

Фиг. 6
Този момент е равен на

При малки отклонения от равновесното положение физичното махало извършва хармонични трептения, чиято честота зависи от масата, инерчния момент спрямо оста на въртене и разстоянието от оста на въртене до центъра на тежестта на махалото.

Периодът на трептене на махалото е: , а честотата -

От сравнението на тази формула с периода на математичното махало, може да се направи заключението, че математично махало с дължина

Точката А от правата, съединяваща точката на окачване с центъра на тежестта на махалото, лежаща на разстояние от токата на окачване равно на приведената дължина, се нарича център на люлеене на физичното махало. Може да се покаже, че ако се окачи махалото в центъра на люлеене А, приведената дължина, а следователно и периода на люлеене, остават същите. Следователно, точката на окачване и центъра на люлеене са взаимно заменяеми: при окачване на махалото в точката на люлеене, предишната точка на окачване става център на люлеене. На този принцип се основава определянето на земното ускорение с помощта на реверсионно махало. Реверсионно се нарича такова махало, в двата края на което са поставени две еднакви триъгълни призми. По дължината на махалото могат да се закачват и преместват теглилки. Посредством преместване на теглилките се търси такова тяхно положение, при което при окачване на махалото, периодът на люлеене остава един и същ. Тогава разстоянието между точките на окачване ще бъде равно на приведената дължина , а измервайки периода на трептене, може да се определи земното ускорение:

При разглеждане трептенията на пружинното махало бе показано, че превръщанията на енергията се извършват в съответствие със закона за запазване на механичната енергия. Това е възможно само при предположение, че системата е затворена и консервативна. Свободните трептения в този случай се наричат незатихващи трептения. Такива трептения са възможни само в системи, където се пренебрегват силите на триене и съпротивление, т.е. незатихващите трептения са идеализирани. Те се характеризират с амплитуда, която се запазва постоянна с времето, и могат да продължават неограничено дълго време. Свободните трептения, които се извършват в реалните системи, се наричат затихващи трептения. Поради действащите сили на триене амплитудата на тези трептения с течение на времето намалява и те постепенно затихват (фиг. 7).

В този случай уравнението движението е :

,

Където се нарича честота на затихващите трептения.

Величината се нарича коефициент на затихване и характеризира бързината за затихване на трептенията в разглежданата система.

Фиг. 7

Когато на трептящото тяло освен квазиеластична сила действа и сила на триене, неговото движение е трептене, но не хармонично. Величините, характеризиращи затихващите трептения, се изменят непрекъснато – те не се повтарят през равни интервали, както при незатихващите трептения. Затихващите трептения не са периодични движения. Честотата на трептене в този случай зависи не само от и , а и от коефициента на затихване . От формулата следва, че честотата на затихващите трептения е по-малка от собствената честота на незатихващите. Това е напълно логично, тъй като наличието на сили на съпротивление с системата намалява скоростта на движение на трептящото тяло. Вследствие на това периода се увеличава и предизвиква намаляване на кръговата честота.

Характерна особеност на затихващите трептения е постепенното намаляване на амплитудата с времето:

.

Отношението на две съседни амплитуди е постоянна величина

Натуралният логаритъм на горното отношение се нарича логаритмичен декремент на затихването и се означава с :

Когато в една трептяща система действат сили на триене, трептенията, които се извършват в нея, след известно време се преустановяват. По тази причина те се наричат затихващи. Едно затихващо трептение може да се превърне в незатихващо, ако предаваме на системата енергия отвън, която да компенсира загубите вследствие триенето и съпротивлението на средата. Такова трептение се нарича принудено трептение. Тази енергия се предава чрез извършване на работа от някаква външна сила. Тъй като работата може да бъде положителна или отрицателна в зависимост от посоката на силата и преместването, ако се направи опит да се предаде енергия в неподходящ момент (силата действа в посока, обратна на преместването на трептящото тяло в дадения момент), може да се постигне обратен ефект – вместо да се предаде, да се отнеме енергия от системата. Следователно не може да се предизвикат принудени трептения с постоянна сила – тя действа винаги в една посока и през част от времето ще отнема енергия от системата. Принудено трептение се осъществява, когато на една трептяща система действа периодична сила, напр. Fcost или Fsint. Под действие на тази периодична сила системата ще започне да трепти със същата честота, с която се променя силата (след първоначален период на "синхронизация"), тъй като така ще приема енергията в подходящия момент. Принудените трептения се наричат още и несвободни трептения.

Може да се разгледа система, в която действа външна сила, изменяща се с времето по периодичен закон:

.

Силата се нарича принуждаваща сила.

Означения: - честота на собствените трептения на тялото (когато в системата не действат сили на съпротивление), – коефициент на затихване (при наличие на съпротивителни сили в системата). Честотата е кръговата честота на периодичната сила , която извършва някаква работа върху тялото. Това предизвиква трептения на тялото, които се извършват със същата честота , с която се изменя и външната сила. Тази честота се нарича честота на принудените трептения на тялото.

Разликата между фазите на силата и отместването на трептящото тяло е равна на .

За амплитудата А и фазата на принудените трептения се получават изразите:

. (*)

Амплитудата на принудените трептения зависи от амплитудата и честотата на външната сила, от коефициента на затихване, собствената честота на трептенето и от масата на трептящото тяло ().

Фиг. 8

При постоянни , и амплитудата А зависи от съотношението между кръговата честота на външната сила и собствената честота на свободните незатихващи трептения.Зависимостта на амплитудата от при различни коефициенти на затихване е показана на фиг. 8.

а) Кръговата честота е :

Върху тялото действа постоянна сила , която го отмества от равновесното му положение на разстояние . Постоянните сили не предизвикват трептения. Ако в новото си равновесно положение тялото получи еднократен тласък, то ще започне да извършва хармонични трептения със собствена честота .

б) При пренебрежимо малък коефициент на затихване () амплитудата на принудените трептения расте с увеличаването на . Когато , . При по-нататъшно увеличаване на амплитудата започва да намалява и при се стреми към нула. Явлението, при което амплитудата нараства силно при честота на принудените трептения , се нарича резонанс.

в) При коефициент на затихване амплитудата на принудените трептения зависи и от . За да се определи условието за резонанс в този случай, трябва да се намери минимума на знаменателя във формулите (*). За целта е необходимо изразът под корена да се диференцира по и да се приравни на нула. По този начин се получава стойността на честотата , при която настъпва резонанс:

Тази честота се нарича резонансна честота, а стойността на амплитудата при резонансната честота – резонансна амплитуда:

От израза за _рез следва, че резонансната честота е винаги по-малка от собствената честота ₀ на трептението и намалява с увеличаване на коефициента на затихване  (фиг. 8). Ако коефициентът на затихване е много голям ( , ₆ на фиг.8), изразът за _рез става имагинерен т.е. резонанс няма да се наблюдава при никаква реална честота (няма максимум на резонансната крива). Същото е валидно и за амплитудата - при резонанс е толкова по-голяма, колкото е по-малко  (фиг. 8) и при става имагинерна, т.е изобщо няма трептение. От горните изрази се вижда също, че в идеалния случай ( = 0) резонансната честота _рез е равна на собствената честота на системата, а резонансната амплитуда A_рез клони към безкрайност.

Резонансните явления се проявяват при всички принудени трептения, които намират широко приложение в различни области на техниката. В акустиката резонансът се използва за анализ и усилване на звукови трептения. В радиотехниката той намира приложение във всички радиопредаватели и радиоприемници. С явлението резонанс се обясняват и много процеси от ядрената физика.