Хорда на сфера – отсечка коята свързва две точки от сферата



Дата05.06.2017
Размер48.98 Kb.
Определение: Сферата е множество от точки в пространството, които се намират на дадено разстояние R от дадена точка О – център на сферата.

Хорда на сфера – отсечка коята свързва две точки от сферата.

Диаметър на сферата – хорда която минава през центъра на сферата.

Сечението на равнина със сфера винаги е окръжност, а ако тази окръжност минава през центъра на сферата, то тя се нарича голяма окръжност.

Сферата може да се получи и като ротационно тяло при въртенето на полуокръжност около диаметъра си.

Взаимно положение на сфера и права:

                 Нямат общи точки            секуща             допирателна

 Взаимно положение на сфера и равнина:

           Секуща                    допирателна               Нямат общи точки        



Взаимно положение на две сфери:

 

               Нямат общи точки                  допиращи се       пресичащи се



Лицето на повърхнината на сфера е S = 4.π. R 2

Лицето на сферичен отрез е S сферичен отрез= 2.π. R.h.

 

Кълбото е множество от точките на сферата и всички нейни вътрешни точки.



Обемът на кълбо е V = .π. R 3

Обемът на отрез от кълбо е V отрез от кълбо = .π. h 2(3. R – h).

1 зад. Сфера с радиус 4 см е пресечена с равнина, която е на разстояние 1 см от центъра на сферата.

а) Да се намери дължината на окръжността;

б) Да се намери лицето на сферичният отрез.



Анимиран вариант на чертежа

Решение:


Прилагаме питагорова теорема за ΔАОО1 и получаваме, че
АО1=.
С = 2
Височината на сферичния отрез е 3 см
S сферичен отрез = 2.π.4.3 = 24π




2 зад. Равнина, перпендикулярна на голямата окръжност, дели диаметъра на сферата в отношение
1 : 3. Радиусът на окръжността, отсечена от тази равнина е 3 см. Да се намери:

а) лицето на повърхнината на сферата;

б) лицето на сферичния отрез.



Анимиран вариант на чертежа

4x2 = x2 + 9


3x2 = 9
x2 = 3
x =
R = 4.
S =
S сферичен отрез = 2π.4




3 зад. Да се намери лицето на повърхнината на сфера, ако дължината на голямата окръжност на сферата е 12π.


Решение:
От условието, че С = 12π се получава за радиуса R = 6.
S = 4πR2
S =
4.π.62
S = 144.π




4 зад. Две успоредни равнини са на 7 см една от друга и при пресичането на кълбо отсичат окръжности с радиуси 3 см и 4 см. Да се намери лицето на повърхнината на сферата и обемът на кълбото.


    I сл.                                  IIсл.

Решение: Могат да се разгледат два случая:


I сл. Ако равнините са от различни страни на центъра на кълбото.
Нека АО = х. Разглеждаме двата правоъгълни триъгълника АВО и
CDO. Прилагайки питагорова теорема се получава:
R2 = 32 + x2 и R2 = (7 – x )2 + 42
От което намираме, че х = 4 и R = 5 см
Замествайки във формулите се получава: S = 100.π, а за обема
II сл. Ако равнините са от една и съща страна на центъра на кълбото се получава, че не е възможно. Докажете го сами!




5 зад. Дължината на голямата окръжност на кълбо е 18π. Да се намери обемът на кълбото.


Решение:
С = 18π
С = 2π R , от което следва, че R = 9
=>




6 зад. Колко тежи кълбо с диаметър 4 см, направено от месингова сплав с относително тегло 4,5 г/см3 ?


Решение: обемът на кълбото е
см3
Теглото ще определим като произведение на обема и относителното тегло
М = грама




7 зад. В куб със страна 12 см са поставени еднакви железни топчета с радиус 2 см. Топчетата не излизат извън кутията. Ако материалът, от които са изработени, е с относително тегло 3 г/см3, то колко тежат топчетата, които се събират в кутията ?

Решение: Могат да се съберат най-много три реда. Има две възмоности теоретична и практическа.


При теоретичната могат да се съберат 27, а при практическата 22. Виж чертежите.
Обемът на едно топче е
Тежестта на едно топче е M = 32.π
Тогава отговорът при теоретичната възможност е 27.32.π = 864π
А за практическата е 22.32.π = 604π

1) Да се намери обемът на кълбо, ако се знае, че дължината на окръжността на големия му кръг е 30π cm.






2) Най-голямото кубе на храм-паметника “Александър Невски” е полукълбо с диаметър 18 м. Колко струва позлатяването му, ако за 1 м2 се изразходват 3500 лв , при
π = 3,14 ?






3) Повърхнината на кълбо с радиус R е равна на от повърхнината на кълбо с радиус r. Да се намери отношението между обемите на двете кълба.






4) Да се докаже че ако контурът на всяко сечение на едно тяло с равнина е окръжност, то тялото е сфера.

 

 





5) Кълбо е пресечено от равнина. Да се намери разстоянието от центъра на кълбото до равнината, ако кълбото е с радиус R, а диаметърът на сечението е d.




6) В кълбо с радиус R = 10 са прекарани две сечения на разстояние 6 и 9 от центъра О на кълбото. Ъгълът между двете сечения е 120o. Те се пресичат върху права, която отсича от кълбото хорда k, обща за двете сечения.

а) Ако ОА и ОВ са съответно перпендикулярите спуснати към двете сечения, докажете, че общата хорда k е перпендикулярна на равнината (ОАВ).

б) Ако k пресича равнината (ОАВ) в точка С, докажете, че АСВ = 120o.

в) Намерете разстоянието от общата хорда k до центъра О на кълбото.

г) Намерете дължината на общата хорда k.







7) Две равнини, пресичащи кълбо с радиус R, сключват ъгъл α. Ако диаметрите им се отнасят както 1:2, да се намерят разстоянията от центъра на кълбото до тези равнини.






8) (ТУ-2005) Три сфери се допират до равнината на триъгълник АВС в неговите върхове. Всяка сфера се допира до останалите две. Ако АВ = 5, ВС = 2 и АС= , да се намерят:

а) радиусите на трите сфери;

б) обемът на многостена с върхове АВС и центровете на сферите.







9) Дадена е сфера с радиус R= и четири еднакви сфери, които са разположени в нея така,че всяка се допира до сферата с радиус R и до другите три сфери. Намерете радиусите на еднаквите сфери.




Верните отговори са:

 

1)1,5 π дм3


2)1780380лв
3)
5)
6)в)около ОАСВ може да се опише окръжност, от косинусова теорема АВ= ; ОС=2 , г) k =8
7) ;

8) a ) r 1 =1,25; r 2 =5; r 3 =1;


9)
Каталог: zmonres -> edu -> Matematika 12 ORAK -> math12
math12 -> N това множество се въвежда аксиоматически чрез три основни числа и пет аксиоми. Тези аксиоми се наричат аритметични аксиоми на Пеано на името на италианския математик Джузепе Пеано (1858 1932). Основните (първичните) понятия на Пеано са
math12 -> Историческа справка
math12 -> Права а лежи в равнина
math12 -> Oпределение: Многостен една от стените на който е многоъгълник, а останалите стени са триъгълници с общ връх, нележащ в равнината на многоъгълника, се нарича пирамида
math12 -> Е решение 2 подслучай
math12 -> Определение: Частта от пирамида заключена между две нейни успоредни сечения се нарича пресечена пирамида


Поделитесь с Вашими друзьями:




База данных защищена авторским правом ©obuch.info 2020
отнасят до администрацията

    Начална страница