Хvіiі национална олимпиада по астрономия

• 
  А. Колко сантиметра щеше да е изображението на Земята върху снимката, ако нашата планета беше на същото разстояние от станцията, на което е Луната? Приблизително колко пъти Земята е по-далеч от станцията в сравнение с Луната?
  
• 
  Б. Нарисувайте приблизително как е изглеждала фазата на Луната за земния наблюдател в момента на снимката.
  
• 
  В. Означете върху изображението на Луната Море Москва и кратера Циолковски.
  
• 
  Г. Коя космическа станция е направила първите снимки на обратната страна на Луната? Кога е било това?
  

Диаметрите на Земята и Луната върху снимката са съответно 7.5 мм и 52.5 мм. Действителните им диаметри са 12742 км и 3475 км. Следователно диаметърът на Земята е 12742 / 3475  3.67 пъти по-голям от този на Луната. Ако Земята беше също толкова близо до космическата станция, колкото и Луната, то нейното изображение върху снимката щеше да е с диаметър 52.5  3.67  192.7 мм. Това означава, че в действителност Земята е 192.7 / 7.5  25.69 пъти по-далеч от станцията, отколкото Луната.

Видимото ъглово разстояние между Земята и Луната на снимката не е много голямо и следователно в момента на снимката земните наблюдатели биха виждали Луната във фаза, приблизително обратна на фазата, която е видима от гледна точка на космическата станция. Т.е, ако приемем, че северният полюс на Земята е нагоре върху снимката, то от Земята Луната би изглеждала като сърп, изпъкнал на запад:

Към космическата станция е обърната главно обратната страна на Луната, която никога не се вижда от Земята. Сравняваме с карти или снимки на обратната страна на Луната и означаваме Море Москва и кратера Циолковски.

• 
  А. Поради наклона на оста на Сатурн, би трябвало да има смяна на сезоните на тази планета. В кои сезони на годината за Сатурн се случва пръстените му да не се виждат от Земята?
  

• 
  Б. Пресметнете какво разстояние изминава Сатурн по орбитата си за една земна година. Сравнете това разстояние с размерите на земната орбита.
  
• 
  В. Нека в даден момент за земен наблюдател пръстените на Сатурн са разположени съвсем точно ребром. Може ли в рамките на една земна година това да се повтори още веднъж? Пояснете вашите разсъждения със схема. Приемете, че при движението на Сатурн около Слънцето равнината на неговите пръстени остава строго успоредна сама на себе си.
  

Голямата полуос на земната орбита е около 149.6 милиона километра или приблизително една астрономическа единица. Голямата полуос на орбитата на Сатурн е приблизително 1.433 милиарда километра или 9.582 астрономически единици. Средната скорост на движението на Сатурн по неговата орбита е 9.638 km/s.

В една година има 365.25 x 24 x 3600 = 31557600 секунди. Следователно за една година Сатурн изминава по орбитата си 31557600  9.638  304.15 милиона километра. Получава се любопитен резултат – за една година Сатурн изминава разстояние, което е много близко до диаметъра на земната орбита, или по-точно, съвсем леко го надвишава.

На Фиг.1 са показани орбитите на Сатурн и на Земята, наблюдавани откъм северния еклиптичен полюс. Орбитата на Земята е с леко преувеличени размери. Нека първоначално Земята и Сатурн се намират в положение 1 на своите орбити. С пунктирна линия е показана пресечната права между равнината на пръстените на Сатурн и равнината на земната орбита. В този момент пръстените на Сатурн ще бъдат точно ребром към Земята. След половин година Сатурн ще е изминал по своята орбита приблизително 152 милиона километра, т.е. малко повече от радиуса на земната орбита. Той изминава това разстояние по дъга, но предвид много малката разлика в дължинта на дъгата и съответстващата й хорда ние може да приемем, че те са приблизително равни по дължина. Положенията на Сатурн и Земята, след като е изминала половин година, са означени с 2. Виждаме, че Земята е изпреварила в движението си Сатурн. В следващите моменти от време пресечната линия на равнината на пръстените и еклиптиката ще се движи наляво (на фигурата), а Земята вече ще се движи надясно по своята орбита. След известно време, съществено по-малко от половин година, Земята ще достигне до пресечната линия и от нея отново ще може да се наблюдават пръстените на Сатурн ребром.

Следователно в рамките на една година е възможно пръстените на Сатурн да се видят от Земята точно ребром два пъти.


Критерии за оценяване (общо 10 т.):

За отговор и обяснение в кои сезони за Сатурн не виждаме пръстените му – 3 т.

За пресмятане на разстоянието, изимнавано от Сатурн за 1 година и сравняването му със земната орбита – 3 т.

За обяснение и отговор дали може да се наблюдават два пъти пръстените на Сатурн точно ребром към нас за една година – 4 т.
3 задача. Полярен ден. Любител на приключенията прекарва целия шестмесечен полярен ден на северния полюс. Там той решава да си направи слънчев часовник. За гномон на слънчевия часовник, който да хвърля сянка, му служи скиорска щека, забита в леда. От щеката над леда остава дължина 1 метър.

• 
  А. Под какъв ъгъл към повърхността е най-удобно да бъде забита щеката и защо?
  
• 
  Б. Нарисувайте скалата на слънчевия часовник – разграфете я в часове и обяснете вашето решение. (не отчитайте уравението на времето).
  
• 
  В. Полярният турист е начертал още една скала, която му служи за календар. Опишете качествено как би могла да изглежда тази скала. В кои периоди слънчевият „календар” ще работи най-точно и кога – най-неточно?
  
• 
  Г. Намерете необходимите данни за положението на Слънцето и разграфете календарната скала. Първото деление да съответства на четвъртия ден след изгрева на Слънцето, а последното – на четвъртия ден преди залеза му. Останалите деления да са през 20 дни. Рефракцията да не се отчита.
  

Скалата на един слънчев часовник е “схема” на положенията на края на сянката на гномона за всеки един час от календарния ден. В умерените ширини скалата се строи само за часовете, в които Слънцето е над хоризонта. Това е 12 часов интервал от време, имайки предвид, че през лятото светлата част на денонощието е над 14 часа, но, когато Слънцето е много ниско над хоризонта, краят на сянката на гномона е много далеч от слънчевия часовник или дървета и постройки възпрепятстват достигането на слънчевата светлина до часовника. Следователно часовникът се разграфява за не повече от половин денонощие. На Северния полюс Слънцето е над хоризонта 24 часа. Затова скалата на часовника ще обхваща цялото календарно денонощие, т.е. ще е разграфена за 24 часа. Понеже не отчитаме неравномерностите в движението на Слънцето, то скалата ще представлява пълен кръг от 360 градуса, разграфен равномерно на 24 интервала, т.е. по 15 градуса за всеки час. Освен това, за разлика от един слънчев часовник в умерените ширини, където отсечките, маркиращи часовете, са разположени на различно разстояние от гномона, поради това че Слънцето мени своята височина над хоризонта, на Северния полюс маркираните часове ще са на еднакво разстояние от гномона, понеже, в рамките на едно календарно денонощие, Слънцето не променя съществено своята височина над хоризонта. Разбира се отсечките, маркиращи часовете, трябва да са много дълги като лъчи, отдалечаващи се от гномона, за да може часовникът да се използва и когато Слънцето е ниско над хоризонта, в началото и в края на полярния ден. Ако искаме времето да е свързано с официалното време на някой часови пояс, отсечката, която отговаря на 12 часа, трябва да е насочена противоположно на централния меридиан на пояса. Тогава, когато Слънцето е в местно пладне за централния меридиан на пояса и следователно поясното време е 12 часа (разбира се тук не отчитаме уравнението на времето), сянката на Слънцето ще лежи на отсечката, която е продължение на централния меридиан на съответния часови пояс, от обратната страна на северния полюс. Тогава разграфеният часовник ще изглежда примерно така:

От астрономически справочници (астрономически календар, астрономически алманах или програма, даваща координатите на Слънцето за всеки ден) намираме за определена година деклинацията на Слънцето за исканите дати, т.е. 4 дни след пролетното равноденствие, след още 20 дни и т.н. Последният момент е 4 дни преди есенното равноденствие. Виждаме, че датите са приблизително симетрични относно лятното слънцестоене и може да очакваме Слънцето да има, за една двойка симетрични дати, близки по стойност деклинации. Малките разлики звисят от това в коя година от четиригодишния цикъл след високосната година се намираме и данните за кой часови пояс използваме, както и това, че в действителност Земята се движи по елиптична орбита и следователно реалното движение на слънцето по еклиптиката е неравномерно. Резултатите са дадени в таблицата по-долу.

Нека на нашата схема най-вътрешният кръг има радиус 1 m. Тогава начертаваме, в съответния мащаб, кръговете с радиуси равни на дължината на сянката на гномона през 20 дена. Последният кръг не е даден в мащаб, за да може да бъде изобразен на листа. Той ще има радиус 47.74 метра. Слънчевият часовник ще изглежда както е показано на схемата след таблицата.

изпращани лазерни импулси към Луната и се е измервало времето за пристигане на отразените сигнали. Така е било определяно много точно разстоянието Земя – Луна. На снимката с кръгче е отбелязано мястото на кацане при мисията „Аполо-11”. Направете необходимите измервания въху нея и определете приблизително под какъв ъгъл трябва да са били наклонени лазерните отражатели към лунната повърхност там, така че при изпращане от Земята на лазерен импулс, отразената светлина да се получи обратно на нашата планета. Считайте, че разстоянието Земя-Луна е много по-голямо от размерите на Земята и Луната. Либрациите на Луната да не се взимат предвид.

Да отбележим мястото на кацане като точка А. Определяме приблизително къде е центърът С на видимия лунен диск на снимката. Прекарваме диаметъра аа’, минаващ през С и точка А. Измерваме върху снимката диаметъра аа’ и отсечката СА = х. Получаваме:

На фигураа с r = aa’ / 2 е означен радиусът на Луната. Точките А и С се проектират върху лунния диаметър аа’ съответно в точките А’ и С’. Виждаме, че ъгълът , който представлява търсеният наклон на лазерния отражател към лунната повърхност, е равен на ъгъла С’АА’, като ъгли с взаимно перпендикулярни рамене. За триъгълника С’АА’ можем да напишем:

sin  = x / r

Оттук получаваме   30.

• 
  А. Намерете информация за диаметъра на Галактиката и разстоянията от нас до Големия и Малкия магеланов облак. Нанесете на Фиг. 2 приблизително как са разположени двете галактики спътници относно нашата Галактика.
  
• 
  Б. Оценете приблизително разстоянието между Големия магеланов облак и Малкия магеланов облак.
  

Снимката на Фиг.1 представя пълна разгъната панорама на Млечния път. Следователно на дължината на снимката съотвестват 360 градуса. Оттук може да определим мащаба на изображението в градуси на милиметър. Дължината на цялото изображение е 160 милиметра. Следователно мащабът на изображението е 2.25 градуса на милиметър. Виждаме, че центърът на Галактиката е в центъра на изображението на Млечния път, дадено на Фиг.1. Определяйки разстоянието от този център до изображенията на Големия и Малкия магеланов облак в милиметри, може да пресметнем какъв ъгъл сключват направленията от нас към тях с направлението от нас към центъра на Галактиката. Правим измерванията и получаваме за ГМО 36.5 мм и за ММО 26.5 мм. Превръщаме в ъглови единици, като използваме мащаба на изображението и за ГМО получаваме 82, а за ММО – 60.

За да нанесем на Фиг.2 положенията на двата спътника на нашата Галактика, трябва да определим линейния мащаб на изображението. Използваме това, че знаем диаметъра на Галактиката – 100000 св.год. Измерваме диаметъра на изображението. Измерванията правим по няколоко различни ориентации на диаметъра и усредняваме. Получаваме, че диаметърът на изображението на Галактиката е около 36 милиметра. Следователно линейният мащаб на изображението е приблизително 2780 светлинни години на милиметър. Тогава разстоянието до ГМО на фигурата е 57.6 мм, а до ММО е 72 мм. Начертаваме лъчите към всеки от Магелановите облаци, използвайки получените ъгли от направлението към центъра на Галактиката и нанасяме положенията на ГМО и ММО, използвайки получените разстояния в милиметри. Получаваме следната схема:

Разстоянието между Магелановите облаци може да получим по два начина. Единият е да го измерим от фигурата, на която сме нанесли положенията да двете галактики, при условие че сме работили точно и с правилните линейни и ъглови мащаби. Измерваме разстоянието в милиметри и получаваме r = 28.5 мм. Използваме линейния мащаб на изображението и за разстоянието между ГМО и ММО получаваме 79000 св. години.

Вторият начин е да пресметнем разстоянието, използвайки получения ъгъл от 22 между направленията към галактиките, намерените разстояния до тях и прилагайки косинусовата теорема:
св.год.
Разстоянието между Големият магеланов облак и Малкият магеланов облак е 79000 светлинни години или 24.2 килопарсека.
Критерии за оценяване (общо 10 т.):

За намиране на информация за разстоянията от нас до двете галактики – 1 т.

За правилни теоретични съображения по начертаването на схемата – 2 т.

За измервания и пресмятания на мащаби – 2 т.

За нанасяне на положенията на двете галактики на схемата – 2 т.

За правилен метод за определяне на разстоянието между двете галактики – 2 т.

За верен числен резултат – 1 т.

6 задача. Пътешествия до Луната. В периода от 1969 до 1972 г. са осъществени шест успешни мисии с корабите „Аполо”, при които на Луната са стъпили 12 космонавти.

• 
  А. Намерете изображение на Луната, на което са нанесени местата на кацане на шестте лунни модула. Използвайте някой от лунните календари в Интернет, за да определите в каква фаза е била Луната при всяко кацане. Нарисувайте схематично как е изглеждала Луната при всеки от случаите. Каква закономерност забелязвате?
  
• 
  Б. Защо са били избирани такива моменти за кацане на Луната? Упътване: При навлизането си в орбита около Луната космическият кораб се движи в посока обратна на нейното околоосното въртене. От него се отделя спускаемият апарат – лунният модул, който постепенно се снижава и каца на повърхността. Предварително районът на кацане се задава само ориентировъчно. Космонавтите управляват ръчно лунния модул, за да изберат подходящото равно място за безопасно кацане. При тази маневра те трябва да имат оптимално слънчево осветление на лунния релеф.
  

Кацане на Луната е осъществено при шест от пилотираните мисии от серията „Аполо”. Това са „Аполо”-11, 12, 14, 15, 16 и 17. На нашия спътник са стъпили общо 12 космонавти. Лесно можем да намерим изображение на Луната с местата на кацане.

Мисия	Дата на кацане	Лунна фаза	Вид на Луната
Аполо-11	20 юли 1969 г.	1 ден преди първа четвърт
Аполо -12	19 ноември 1969 г.	3 дни след първа четвърт
Аполо-14	5 февруари 1971 г.	3 дни след първа четвърт
Аполо-15	30 юли 1971 г.	1 ден след първа четвърт
Аполо -16	21 април 1972 г.	1 ден след първа четвърт
Аполо-17	11 декември 1972 г.	1 ден преди първа четвърт

Както виждаме, всички кацания на Луната са осъществени при фаза около първа четвърт. Съпоставяме изгледа на Луната при всяко кацане с мястото на кацането. Веднага можем да забележим, че моментите на кацане на Луната са били избирани така, че лунният терминатор (линията, разделяща осветената от неосветената част от лунната повърхност) да се намира много близо до мястото на кацане. От гледна точка на наблюдател, намиращ се в съответното място на лунната повърхност, моментът на кацане е винаги в началото на лунния ден, когато Слънцето се намира ниско над източния лунен хоризонт. В упътването се казва, че при навлизането си в орбита около Луната, космическите кораби са се движили в посока обратна на околоосното въртене на Луната. За лунния наблюдател въртенето на Луната става от запад на изток. Следователно при всяка мисия космическият кораб се е движил в посока от изток на запад спрямо лунната повърхност. В същата посока се е движил и отделящият се от него спускаем апарат – лунният модул. Това означава, че при спускането на лунния модул за членовете на екипажа Слънцета е оставало отзад спрямо курса на движение и ниско на хоризонта. Така при търсене на подходящо равно място за кацане те са получавали две предимства. Първо, слънчевите лъчи не са ги заслепявали, и второ, при такава височина на Слънцето над хоризонта лунните релефни форми хвърлят сенки, които ги правят много добре различими. Всеки, който е наблюдавал Луната в телескоп, знае, че при пълнолуние тя е „най-безинтересна”. Не се виждат сенките на планиските възвишения и кратерните валове и лунните релефни образувания стават неразличими. Със същия проблем биха се срещнали космонавтите, ако кацането се извършва около средата на лунния ден например, когато Слънцето е високо над лунния хоризонт.

Фиг. 1. Разгънато панорамно изображение на Млечния път с Магелановите облаци