Ii комплексни числа и полиноми



Дата19.08.2017
Размер244.82 Kb.
ТипГлава
Глава II. КОМПЛЕКСНИ ЧИСЛА И ПОЛИНОМИ

В тази глава най-напред са разгледани комплексни числа, а след това – полиноми на една променлива. Отделено е внимание на различните видове представяния на комплексни числа, на операциите с комплекнси числа и с полиноми и на съответните алгебрични структури. Материалът включва:

1. 1. Комплексни числа

1. Алгебричен вид на комплексно число

2. Алгебрични операции с комплексни числа. Свойства. Поле на комплексните числа

3. Геометрично представяне на комплексни числа

4. Тригонометричен вид на комплексни числа

5. Умножение и деление на комплексни числа в тригонометричен вид

6. Формула на Моавр. Степенуване и коренуване на комплексни числа

7. Исторически бележки

8. Задачи

2.2. Полиноми на една променлива. Операции, свойства.

1. Полиноми - дефиниция и действия. Пръстен на полиномите

2. Деление на полиноми

3. Правило на Хорнер

4. Нули на полиноми. Основни теореми

5. Разлагане на правилна рационална дроб в сбор от елементарни дроби


    1. Комплексни числа. Представяния, операции, свойства.

1. Алгебричен вид на комплексно число

Едно комплексно число може да се представи в различни, но еквивалентни помежду си форми. В този раздел ще се дадем така наречения алгебричен вид на комплексните числа, както и алгебричните операции с комплексни числа в алгебричен вид.



Определения и основни понятия

Символът се нарича имагинерна единица. Понякога се използва буквата вместо за означаване на .

Израз от вида , където R, R, се нарича комплексно число в алгебричен вид с реална част (пишем ) и с имагинерна част (пишем ).

е комплексно число в алтебричен вид с реална част и с имагинерна част .

$: Обърнете внимание, че в имагинерната част на не се включва .

Например e комплексно число в алгебричен вид с реална част 2 и с имагинерна част (-3).

Множеството на всички комплексни числа се означава с C. Така

C=.



Примери.

1. Намерете корените на квадратното уравнение .



Решение. Квадратното уравнение има корени ?C.

2. Пресметнете , , .



Решение. От , получаваме , , .

? Пресметнете , N.

Комплексно число, на което реалната част е нула, т.е. , се нарича чисто имагинерно.

Комплексното число се нарича комплексно спрегнато на , а и се наричат комплексно спрегнати (или конюговани).

Например комплексно спрегнатото на е .

2. Алгебрични операции с комплексни числа. Свойства. Поле на комплексните числа

Две комплексни числа и са равни, ако имат равни реални и равни имагинерни части: и :



.

Пример. Намерете и така, че и да са равни.

Решение: .

Нека и са дадени комплексни числа.

В множеството на комплексните числа C са дефинирани операциите:


  • Събиране,

Сборът на две комплексни числа и е комплексно число с реална част и с имагинерна част .

Свойства на събирането на комплексни числа

За произволни , , C при събиране са удовлетворени свойствата:



С1. Устойчивост

C

С2. Асоциативност




С3. Комутативност




С4. В C има нулев елемент

C:

С5. Всяко C има противоположен елемент

C, C

Табл. 1. Свойства на събирането на комплексни числа

Свойството устойчивост означава, че сборът на две комплексни числа винаги е дефиниран и също е комплексно число, т.е. става дума за бинарна операция .



Теорема 1. Множеството на комплексните числа спрямо събирането (C, +) е комутативна група.

Доказателството следва от валидността на свойства (С1-С5) и от аксиомите за група.

Комплексното число се нарича комплексно спрегнато на . Комплексните числа и се наричат комплексно спрегнати (или конюговани).

$: Ако и са комплексно спрегнати, то

; ,

т.е. сборът на едно комплексно число с комплексно спрегнатото му винаги е реално число; разликата на едно комплексно число с комплексно спрегнатото му винаги е чисто имагинерно число.

Свойство С5 позволява да се дефинира операция


  • изваждане

като събиране на с противоположното на .

Следващата операция в множеството на комплексните числа C е



  • умножение ,

.

Произведението на комплексни числа се намира обикновено чрез разкриване на скоби и опростяване, като използуваме, че .



Пример. Произведението на и е

.

$: Ако и са комплексно спрегнати, то

R,

т.е. произведението на едно комплексно число с комплексно спрегнатото му винаги е реално неотрицателно число.



Пример. .

За произволни , , C при умножение са удовлетворени свойствата:



М1. Устойчивост

C




М2. Асоциативност




М3. Комутативност




М4. В C има единичен елемент

C,

Табл. 2. Свойства на умножението на комплексни числа

Освен това в сила е свойството



М5. Всяко ненулево комплексно число има обратен (реципрочен) елемент C:

.

Следователно делението в C\{0} e дефинирано. Да разделим комплексното число на , означава да умножим с . За целта умножаваме както числителя, така и знаменателя с комплексно спрегнатото на числото в знаменателя. В резултат на умножението знаменателят винаги е реално число.



.

Пример. .

Теорема 2. Множеството C\{0} на комплексните числа без нулевия елемент (C\{0}, .) e комутативна група спрямо умножението. 

Умножението в C e дистрибутивно спрямо събирането:



и .

От теорема 1, теорема 2 и дистрибутивността получаваме:



Следствие. Множеството на комплексните числа спрямо операциите събиране и умножение (C, +, .) e поле.

(C, +, .) се нарича поле на комплексните числа.



3. Геометрично представяне на комплексни числа

Множеството на комплексните числа C спрямо събирането на комплексни числа и спрямо умножението на комплексно число с реално число е векторно пространство над полето R с вектори – комплексните числа (произведение на комплексно число с реално число ? R е комплексно число ).

Това векторно пространство е изоморфно с R2. Този факт дава основание комплексните числа да се представят графично по два начина:


  • като точки в равнината, вж. фиг.1.

  • като вектори в двумерното пространство, вж. фиг.2.

Представянето като точки в равнината идва от аналогията с представянето на реалните числа като точки върху реалната права. Нарича се геометрично или графично представяне на комплексни числа, а равнината се нарича комплексна равнина. Комплексното число се представя чрез точка , фиг.1. Комплексните числа от вида лежат на оста и по тази причина тя се нарича реална ос; комплексните числа от вида лежат на оста , наречена имагинерна ос.









фиг.1. Геометрично представяне на комплексни числа

фиг.2. Геометрическо представяне на събиране на комплексни числа

Въз основа на това представяне често комплексните числа се означават като наредени двойки реални числа: се представя като .

Представянето на комплексните числа като вектори в двумерно пространство е удобно и позволява да се илюстрират някои операции, вж. фиг.2. Така се използуват комплексните числа например в механиката и в електротехниката.



4. Тригонометричен вид на комплексни числа

Геометричното представяне на комплексни числа по естествен начин води до еднозначното им представяне в така наречения тригонометричен вид, вж. фиг. 3, който намира изключително широко приложение в математиката и в инженерните науки. Дължината на отсечката се нарича модул на и се означава с , или . Ъгълът между положителната посока на реалната ос и се нарича аргумент на и се означава с , величината се определя с точност до събираемото , Z. От съображения за еднозначност се работи с така наречената главна стойност на аргумента, означавана с , . Аргументът на комплексното число не е дефиниран. Както се вижда от фиг.3, в сила са следните връзки:





, ,

Формули за преминаване от алгебричен в тригонометричен вид

,

Формули за преминаване от тригонометричен в алгебричен вид






фиг.3. Тригонометричен вид на комплексно число

Формули за връзка между алгебричен и тригонометричен вид

От горните връзки следва, че всяко различно от нула комплексно число може да се представи в тригонометричен вид

.

Преминаването от алгебричен в тригонометричен вид става с първата група формули, именно



? , , , , .

Обратната задача - преминаване от тригонометричен в алгебричен вид , се извършва чрез втората двойка формули:



?, .

Пример. Да се представят в тригонометричен вид числата:

а) ; б) ; в) .



Решение: а) От , получаваме (вж. и фиг.4а)

, , и ,


фиг.4 а)




$: Обърнете внимание, че определянето на от може да доведе до неправилен извод .

б) За имаме , и оттук ,



, , (вж. фиг.4 б).

Така


фиг.4 б)




в) За получаваме:

, , и , откъдето .

Забележка: Като се използува известната формула на Ойлер

,

се представя в така наречения експоненциален вид на комплексно число:

.

5. Умножение и деление на комплексни числа в тригонометричен вид

Представянето на комплексно число в тригонометричен вид изглежда по-сложно от представянето в алгебричен вид, но много често е по-полезно – например умножението и делението на комплексни числа се извършват значително по-лесно, ако тези числа са в тригонометричен вид.

Правилото за умножение на комплексни числа в тригонометричен вид се получава с непосредствено разкриване на скобите и използуване на тригонометричните тъждества. Комплексните числа , са дадени. За произведението им получаваме:







.

Модулът на произведението е произведение от модулите на множителите и , а аргументът на е сбор от аргументите на на множителите и :



, ,

Пример. Ако , , то

.

Ако е тригонометричния вид на , то комплексно спрегнатото има представяне , понеже

Този помощен резултат позволява да изведем формула за деление на комплексни числа в тригонометричен вид.

Ако и , са дадени комплексни числа, то





.

Модулът на частното е , а аргументът на е - разлика от аргументите на и :



, , .

Пример. Ако , , то

.

6. Формула на Моавр. Степенуване и коренуване на комплексни числа

Много важен резултат за комплексните числа се получава от формулата на Моавр, която твърди че за всяко N е в сила:



. (1)

Доказателството се получава с метода на математическата индукция.

За имаме , което очевидно е вярно.

Да допуснем, че (1) е вярно за N, т.е. в сила е



.

Ще докажем, че формулака е верна и при , понеже



Така получаваме формулата на Моавр (1707 г.) за степен на комплексно число :



.

Формулата е вярна и при Z, както и при рационален степенен показател.

Формулата на Моавр може да се използува за да се представят и чрез и . За целта се използуват равенствата

и .

Ако за удобство положим , , получаваме



,

откъдето ,



Пример. Като използвате горните формули, представете като функция само на .

Решение. От получаваме









.

От формулата на Моавр се получава правилото за намиране корен ти от комплексно число.

Нека C. Корен n-ти от комплексното число наричаме всяко комплексно число , такова че .

В сила е следната теорема, даваща правилото за пресмятане на корен n-ти от комплексно число.



Теорема 3. Нека C и . Всички различни решения на уравнението се получават по формулата

, .

Доказателство. Непосредствената проверка показва, че

, за всяко

удовлетворява уравнението .

Да допуснем сега, че съществува комплексно число , такова че . Съгласно формулата на Моавр и правилото за равенство на комплексни числа получаваме и за всяко Z.

Следователно всяко решение на уравнението има вида



, Z.

Само на брой от тези решения са различни помежду си и те се получават при последователни стойности на , например при .



  • Наистина, ако и , , , се получава или , или , т.е. за различни се получават различни комплексни числа.

  • Ако сега , то има представяне от вида , където Z и . Тогава

,

и поради периодичността на функциите синус и косинус получаваме



и ,

т.е. за всяко Z съществува , такова че .



Пример. Намерете всички комплексни числа, които са решения на уравнението:

а) ; б) ; в) .



Решение. а) , откъдето решенията са , .

За получаваме ,

за получаваме ,

за получаваме .



$: Обърнете внимание, че:

  • решенията са еднакво отдалечени на ъгъл (фиг.5);

  • заедно с едно комплексно число и комплексно спрегнатото му е решение на уравнението.









фиг.5. Графично изобразяване на решенията на уравнението




б) ,

, .

За получаваме ,

за получаваме ,

за получаваме ,

за получаваме .

в) , .



7. Исторически бележки

Древногръцките математици са считали, че “истински” са само естествените числе, но в практически задачи два века преди новата ера в древен Египет и древен Вавилон са се използвали дроби. Следващ важен етап в развитието на понятието число е въвеждането на отрицателните числа от китайски математици два века преди новата ера. През ІІІ век след новата ера древногръцкият математик Диофант използва отрицателни числа, като знае и правилата за смятане с тях. През VІІ век след новата ера отрицателните числа се изучават подробно от индийските математици, които ги сравняват с наличие на дълг. През VІІ век след новата ера е установено, че квадратен корен от положително число има две стойности – положителна и отрицателна, а от отрицателно число не може да се извлече квадратен корен.

Необходимостта от комплексни числа се очертава ясно през 1545 г. при решаването на кубични уравнения, когато се налага да се извлича квадратен корен от отрицателни числа. За намиране корените на кубично уравнение от вида методът на Кардано дава следната формула:

.

Проблемите възникват когато трябва да се изчисляват квадратни корени от отрицателни числа. Например за уравнението e било известно, че има три корена. Един от тях е . Но чрез горната формула се получава . Така формулата води до невъзможна операция – извличане на квадратен корен от отрицателно число. През 1572 г. Бомбели показва, че



,

откъдето =,

както трябваше да се очаква. Тук , където е неотрицателно число. Квадратният корен от отрицателно число се представя като число, умножено с .

За да обясни този парадокс, италианският математик Дж. Кардано въвежда през 1545 г. числа от нова природа, които нарича "софистически отрицателни". По-късно те се наричат "мними" от Кавалиери и от Декарт, а Ойлер ги нарича “имагинерни” и въвежда означението (от първата буква на френската дума imaginaire). Системната употреба на това означение се налага от К. Гаус, който въвежда и термина "комплексни числа" през 1831 г. Въвеждането на символа опростява изчисленията и бързо се възприема от математиците. Геометричното представяне на комплексните числа чрез точките от една равнина е предложено от датчанина Г. Весел, французина Ж. Арган и немския математик К. Гаус, независимо един от друг, в края на 18 и началото на 19 век. Геометричното представяне на комплексните числа прозволява да се определят много понятия, свързани с функция на комплексна променлива. Комплексните числа са полезни също в случаи, когато работим с вектори в равнината – при изучаване на потоци, задачи от теория на еластичността.



Комплексните числа намират приложение в електротехниката, атомната физика и много други области от инженерния анализ. Eлектроинженерите се интересуват от анализ на променливотокови електрически вериги. В такива вериги захранването е синусоидално и резултантния ток и напрежение също са синусоидални. Например променливият ток във всеки клон на веригата при начална фаза и кръгова честота се изразява с имагинерната част на така наречения комплексен образ на тока . Геометрически се изобразява чрез вектор, който се върти в посока обратна на часовниковата стрелка с ъглова скорост и сключва с реалната ос при ъгъл, равен на началната фаза . Аналогична е ситуацията и с напрежението във веригата.





Поделитесь с Вашими друзьями:


База данных защищена авторским правом ©obuch.info 2019
отнасят до администрацията

    Начална страница