Историческа справка
Джон Непер – лорд на Мичиган, род.1550 г. – починал 4.04.1617 в Единбург. Шотландският благородник и земевладелец занимавайки се със задачата за облекчаване на числените пресмятания , създал логаритмичната линийка и въвел десетичната запетая.. Той въвежда натуралния логаритъм ( ln x – логаритъм с основа числото е ≈ 2,71). Числото е се нарича Неперово число.
Съвместно с Непер е работил и създателят на десетичния логаритъм ( lg x ) Хенри Бригс (1561 – 1630), който въвежда използването на таблица за десетични логаритми на числата от 1 до 1000.
Решаването на уравнението
а x= b,
създава необходимостта от въвеждането на ново математическо понятие логаритъм.
Определение: За а > 0, а ≠ 1 и b > 0 единственото решение на уравнението а x= b се нарича логаритъм от b при основа а и се записва
х = logab.
Множеството от допустими стойности на y = logaх е х > 0, при а ≠ 1 и а > 0
Ако заместим х=loga b в (1) получаваме основното свойство
Примери:
1) y = log x( x + 2)
Допустимите стойности са:
<=> <=>
2) Чрез основното свойство
, при а > 0, а ≠ 1
Трябва да се знае, че от:
-
а 1 = а => log aа = 1 при а > 0
-
а 0 = 1 => log a1 = 0, при а > 0 , а ≠ 1
-
Ако 0 < а < 1, то 0 < m< n <=> log am > log an.
-
Ако а > 1, 0 < m< n <=> log am < log an
от 1. => log 55 = 1
от 2. => log x1 = 0, при x > 0 , x≠ 1
Определете стойностите на а, за които е изпълнено неравенството:
1) log a5 < log a6
Отговор: При а > 1
2)
Отговор: При а < 6
Логаритъм, на който основата е 10 се нарича десетичен и се записва без буквата "о" : (lgx=log 10 x )
Свойства:
Нека А > 0, В > 0, С > 0 и В ≠ 1, тогава за логаритмите са в сила следните свойства:
-
log BA + log BC = log B(AC)
-
log BA – log BC = log B(A:C)
-
-
, където С ≠ 1
Намерете х, ако: (1 – 4):
1) Решение: =>
2) log2 x= log 264 – log 23 + log2 5 Решение log2 х = =>
3) Решение: =>
4) Решение: => =>
5) Определете множеството от допустими стойности на изразите:
а) log 2(х 2 – 6х) б) log (х + 1)(х – 2)
в) log x(2х + 3) г)
Решение на 5 зад.:
а) х 2 – 6х > 0
х(х – 6) > 0
б) <=> <=> х > 2
в) <=> <=>
г) <=>
6) Намерете неизвестното:
а) log 2х = 3
б) log 3х = 0,5
в) log x7 = 2
г) log x8 = 3
д) = x
е) log 343 7 = x
Решение:
а) х = 2 3 ,
х = 8
б) х = 3 0,5
в) х 2 = 7
х = , но х>0 => х =
г) х 3 = 8
х = 2
д) х = - 2,5
е)
7) Сравнете числата:
а) log 57 и log 511
б) log 0,63 и log 0,613
в) log B44 и log B55
Решение:
а) log 57 < log 511, защото 5 > 1 и 7 < 11
б) log 0,63 > log 0,613, защото 0,6 < 1 и 3 < 13
в) log B44 > log B55, ако 0 < В < 1 т.к. 44 < 55
log B44 < log B55, ако В > 1, т.к. 44 < 55
8) Пресметнете стойността на израза:
Решение:
Пресметнете числените стойности на х ( 1 – 6 ):
1)
2)
3) log2 x= log2 6 – log2 3 0 + log2 5
4)
5) log2 x= log2 64 – log2 3 + log2 5
6)
Намерете х, ако: (7 – 13)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
Пресметнете стойността на израза: (14 – 15)
14)
15)
Намерете множеството от допустими стойности:
16) log5 (x2 – 3x + 2)
17) logx (x – x2)
18)
19)
Намерете неизвестното х (10 – 14):
20) log4 (x + 3) = 2
21) log2 (x 2 – x) = 1
22) logx+1 4 = 2
23) logx-1 2 = 1
24) x = lg1000
Сравнете числата:
25) lg20 и lg35
26) log0,3 33 и log0,3 52
27) loga 3 и loga 2
Отговори:
1) ; 2)12 ; 3)1; 4) ; 5) ; 6) ; 13) 2; 14) 100; 15) ;16) ;
17) ;18) ;19) ;
20) 13; 21) – 1; 2; 22) – 3 ; 1; 23) 3; 24) 3; 25) lg 20 < lg 35;
26) log0,3 33 > log0,3 52;
27) loga3 a2 при 0 < а < 1;
loga 32 > loga 31 при а > 1 ;
Верните отговори са:
1)
2)12
3)1
4)
5)
6)
13) 2
14) 100
15)
16)
17)
18)
19)
20) 13
21) – 1; 2
22) – 3 ; 1
23) 3
24) 3
25) lg20 < lg35
26) log 0,333 > log 0,352
27) loga3 < loga2 при 0 < а < 1
loga3 > loga2 при а > 1
Сподели с приятели: |