Изследваме функцията зададена от: Областта на функцията е

Областта на функцията е: .

Функцията е дефинирана за:
Следващото неравенство е еквивалентно на предишното.
Получените решения са отбелязани на графиката.

Отговорът е: .

Първа производна: .

=

Използваме форулата на производното частно.

==

==

==

==

Втора производна: .

Втората производна е производната на първата производна.

=

Използваме форулата на производното частно.

Използваме свойството на степените.

==

==

Използваме плавило на намиращотопроизводно на сложната функция.

==

Разкриваме скобите.

Разкриваме скобите.

==

Изнасяме общ множител.

==

Използваме свойството на степените.

Обръщаме знаците.

=

-Точки на пресичане: не.

Случай : .

Случай : .

Случай : .

Отговорът е: Няма решение.

-Точки на пресичане: .

Допускаме че

Намираме стойностите на променливата при които знаменателят на рационалния израз става равен на нула.

Наклонени асимптоти: .

Преобразуваме дадения израз за да намерим наклонени асимптоти.

=

==

==

Изнасяме минуса извън произведението.

Лимита на безкрайната разликата между началната функция и крайната е равна на нула.

Критични точки: .

За да открием критични точки приравняваме първото производно на нула и решаваме полученото уравнение.

Допускаме че

Заменяйки променливите получаваме помощно уравнение.
Изнасяме общ множител.
Решението на спомагателното уравнение е: .

В този случай уравнението може да бъде сведено до вида:

;

Разбиваме решението на отделни случаи.

Случай .
Отговорът в случая е: .

Отговорът е: .

Възможни точки на прегъване: .

За да открием възможни точки на прегъване приравняваме второто производно на нула и решаваме полученото уравнение.
Обръщаме знаците.
Една дроб е равна на нула само и единствено ако числителят е равен на нула.
Следващото уравнение е еквивалентно на предишното.
Решаваме уравнението чрез разлагане на множители.

Изнасяме общ множител.

Случай .
Отговорът в случая е: .

Случай .
Преместваме константата от дясната страна на уравнението с обратен знак.
Отговорът в случая е: .

Отговорът е: .

Възможни точки на прекъсване: .

Симетрия относно ординатната ос: не.

Функцията f(x) е четна ако f(-x)=f(x).

=

==

==

Изнасяме минуса извън произведението.

Привеждаме дробите под общ знаменател.

==

Сега добавяме дроби с равни знаменатели.

Разкриваме скобите.

==

Променяме реда на извършване на действията.

==

Разкриваме скобите.

Подреждаме членовете.

==

=

Симетрия относно началната координата: не.

=

==

==

Изнасяме минуса извън произведението.

Привеждаме дробите под общ знаменател.

==

Сега добавяме дроби с равни знаменатели.

Разкриваме скобите.

==

Променяме реда на извършване на действията.

==

Разкриваме скобите.

Подреждаме членовете.

==

Разлагаме числителя на множители.

Тестови интервали:

Анализът на графиката на функцията е показан в таблицата.

Относителен краен член: .

В точката на относителен минимум, производната функция променя знака си (+) на (-).

Относителният минимум е .

В точката на относителен максимум, производната функция променя знака си от (-) на (+).

Относителният максимум е .

Изобразяваме данните от таблицата върху координатната система.

След това построяваме графиката, използвайки резултатите от анализа на функцията.

Множество от стойности на функцията: .