Изучаване на векторите: значения, място и цел

,, ЕПИСКОП КОНСТАНТИН ПРЕСЛАВСКИ ”

ФАКУЛТЕТ ПО МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА
КУРСОВА РАБОТА
НА

Тема: Изучаване на векторите: значения, място и цел.

Подходи на изучаване.Формиране на понятието вектор

Изготвил:

Сюлея Шевал Зюлкерим

Спец. МИ,ІІІ курс, фак. №1207

2011г.

Гр. Шумен

1. 
   Място и роля на понятието вектор и на векторния апарат в училищния курс по геометрия.
   

Да илюстрираме казаното с решенията на няколко задачи, в които се използва следната задача, която се решава лесно:

„Ако А, В, С, и Д са четири произволни точки (в равнината или пространството),то

AB.CD+BC.AD+CA.BD= 0. “ (1)

1. 
   Докажете, че височините във всеки триъгълник се пресичат в една точка.
   

височините през върховете А и В на △АВС. Тогава АD ВС и ВD AC от равенството (1) получаваме

АВ . СD= 0

Следователно АВСD, т.е D лежи на височината през върха С.

2) Докажете, че ако в една триъгълна пирамида две двойки противоположни ръбове са взаимно-перпендикулярни, то и третата двойка противоположни ръбове са перпендикулярни.

Фуг.1

Следователно ABCD.

3)Докажете, че ако една права е перпендикулярна на две пресекателни прави от една равнина, то тя е перпендикулярна на равнината.

Доказателство: Нека правата ɑ e перпендикулярна на пресекателните прави b и c в равнината α. За да докажем, че ɑ α достатъчно е да докажем, че ɑ е перпендикулярна на произволна права х от α . Да означим с ɑ, b, c и х произволни вектори съответно върху правите ɑ, b, c и х.

От ɑ b и a c следва, че a.b = 0 и a.c = 0, а от това, че b, c и х лежат в α следва, че х=m. b +n. c . Тогава

ɑ .х= ɑ (mb + nc ) = m(a.b)+n(a.c)= 0.

Следователно ɑ х, т.е ɑ х, което означава че ɑ α.

Векторният апарат и понятието вектор са важни в геометрията не само като мощно средство за решаване на задачи. Понятието вектор е непосредствено свързано с четирите основни идеи на съвременната геометрия:

І. Измерването (метриката, смятането);

ІІ. Геометрични преобразувания;

ІІІ. Аксиометичния метод;

ІV. Векторните пространства;

Така например понятието вектор се свързва с идеите на метриката в геометрията посредством скаларното произведение

AB. CD=|AB| . |CD|. cos(AB,CD).
Когато AB = CD, тогава AB.CD= |AB|² или

|AB| =√AB² (2)

Освен това за < (AB,CD), определен от векторите AB и CD е вярна формулата
cos (AB,CD)= AB. CD . (3)

AB².CD²

Наличието на формулите (2) и (3) дава възможност нашироко да се използва векторният апарат при доказателства на метрични теореми и при решаване на метрични задачи, с което се осъществява връзката на понятието вектор с метриката в геометрията.

Изявената връзка на понятието вектор с метриката в геометрията от своя страна служи като мост, който свързва понятието вектор с геометрични преобразувания.

Понятието вектор има непосредствена връзка и с третата основна идея на съвременната геометрия – аксиоматичния метод.

Геометрията може да се изгради и на векторна аксиоматична основа, например върху аксиоматичния на Херман Вайл.

По въпроса за мястото и ролята на понятието вектор и векторния апарат в училищния курс по геометрия са изказани различни мнения и предложения, които могат да се обединяват в следните три подхода:

Първият подход е най-лек за реализиране.По него твърде отдавна работят добрите учители по математика.По него работят и много учители днес. На него обаче трябва да се гледа като на изминат етап за българското училище.

Третият подход е ултра краен. Води до коренни изменения на досегашния училищен курс по геометрия.Първият последовател на Х. Вайл за реализиране на векторната аксиоматика в училищния курс по геометрия е известният френски математик Г.Шоке.Други страстни привърженици на тази идея са видният френски математик Жан Дьодоне и белгийският математик Жорж Папи. Според тях понятието вектор и векторно пространство трябва да заемат централно място във всеки съвременен училищен курс по геометрия, тъй като изявяването на различните векторни пространства в математиката е едно от нейните най-характерни съвремени черти. За разлика от Евкрид, който, според съществуващата легенда, е твърдял, че “царски път” за изучаване на геометрията няма, Г.Шоке твърди, че “царски път” при изучаване на геометрията има и този път минава през теорията на линейните векторни пространства.

Колкото и страстно да се рекламира концепцията за векторното аксиоматизиране на училищния курс по геометрия от нейните привърженици, тя е трудно приложима, поради недостъпността и за учениците в масовото средно училище.Такова построяване на училищния курс по геометрия представлява интерес за бъдещите математици. Затова в някои специализирани училища,каквито са математическите гимназии, националната природо-математическа гимназия както и др. може да се изгражда училишния курс по геометрия и на векторна аксиоматична основа.

До сегашният опит показва, че вторият подход е най-подходящ за реализиране в училишния курс по геометрия на настоящия етап. В духа на този подход ще дадем идея за построяване на училишния курс по стериометрия.

При построяване на училишния курс по стериометрия,на духа на втория подход, се запазва Евклидово-Хилбертовата аксиоматика. Темата ,,Успоредност на прави в пространството “ трябва да се изучи, без да се използва понятието вектор, тъй като теория е нужна за дефинирането на понятието равенство на вектори. В противен случай се попада в така наречения порочен кръг.

След това трябва да се изучи кратка теория на вектор- ния апарат в пространството, но в такъв обем и форма, достатъчни за целите на стериометрията. За това е достатъчно да се разгледат следните въпроси:

1. 
   Свързван вектор. Равни вектори. Свободен вектор.
   
2. 
   Събиране и изваждане на вектори.
   
3. 
   Умножаване на вектор с число.
   
4. 
   Колиниарни и компланарни вектори.
   
5. 
   Скаларно произведение на два вектора.
   

когато векторите не са компланарни. Този закон може да се докаже по различни начини. От начина на неговото доказване обаче съществено зависи по-нататъшното построяване на стериометрията. Едно от най-разпространените доказателства на (4) е това,при което се използат свойствата на понятията на тези свойства пък, както е известно, се използва понятието перпендикулярност на права и равнина. Следователно този начин за доказване на дистрибутивния закон може да бъде изложен едва в края на темата ,,Взаимни положения на права и равнина”. Това обаче означава, да не се използва векторният апарат при изучаването на тази тема.

За да може да се използва векторният апарат по-рано в общата част на стериометрията, разпределителният закон (4) трябва да се докаже по друг начин, без да се използват свойствата на понятието ортогонална проекция в пространството. Такова доказателство е дадено от руския геометър проф. З. А. Скопец.

Тук ще изложим друго доказателство на (4), при което съществено се използва валидността му за компланарни вектори.

Нека са дадени некомпланарните вектори a, b и c. За тези три некомпла- нарните вектори ще докажем, че е вярно равенство

(a + c). b = a.b+c.b.

Да построим представителите OA, OB и OC, съответно на α, b и c с общо начало O (фиг.2). Векторите BC и BA лежат в равнината, определена от точките A, B и C и следователно за тях е вярно равенството

2BC² +2BA²=CA²+BD², (5)

където BCDA е успоредник.

Да изразим векторите BC, BA, BD и CA чрез дадените вектори α, b и c. В такъв случай получаваме BC = c-b, BA = a-b, CA = a-c , и BD = BC+CD, т.е BD = c- b + a-b = a+ c-2b. Като заместим тези изрази за BC, BA , BD и CA в (5), получаваме:

2 (c- b)² - 2(a-b)² = (a-c)² + (a+c -2b)².

След като се извършват означените операции, се получава

(a +c) b = a b + c b.

Този начин за доказване на (4) дава възможност да се използва векторният апарат при доказване на теоремите и решаване на задачите в общата част на стереометрията, без да се попада в порочен кръг.

Ще илюстрираме разглеждането на темата “Перпендикулярност на права и равнина” с помоща на векторния апарат, без да се спираме на всички теореми, а само ще дадем идея за такова разработване на тази тема.

За използване на векторния апарат в стереометрията трябва да се въведат съответния векторни характеристики за права и за равнина. За векторна характеристика на права е целесъобразно да се въведе колинарният и вектор, а за равнина векторът, който е перпендикулярна на всеки вектор от равнината.

Определенията на понятиета и формулировките на теоремите могат да се запазят.

Следователно съществува права ℓ, която е перпендику- лярна на две пресичащи се прави m и n и е от равнина α.

За да докажем, че ℓ е перпендикулярна на произволна права α от α ,достатъчно да докажем, че p . s = 0.

От компланарността на векторите r, q и s следва, че съществуват числата λ и μ, които не са едновременно равни на нула и такива,че s = λ. q + μ. r .

Тогава p.s = p(λ. q + μ. r) = λ.p. q + μ.p.r =0 от p . s = 0 следва, че p s или p а , т.е ℓ α .

За да докажем, че ℓ α достатъчно е да докажем, че p. s= 0.

От s = λ. q + μ. r μ.p. получаваме , че

p.s = p (λ. q + μ. r) = λ.p. q + r =0.

От p.s= 0 следва, че р s, т.е. ℓα.

Теорема 4: (Обратна на теорема за трите перпендикуляра). Ако една права ℓ от равнината α е перпендикулярна на дадена наклонена права α към α ,то ℓ е перпендикулярна на ортогоналната проекция α₁ на ɑ върху α.

Доказателство:Сега трябва да докажем, че p.q=0. От △А₁ОА (фиг.) следва, че А₁О=АО-АА₁. Тогава q= λ.A₁O

и получаваме, че

p.q = p. λ.A₁O = p. λ ( AO-AA₁) = 0.

От p.q= 0 следва, че p q , т.е. ℓα₁.

При използването на векторния апарат е целесъобразно да се придържаме към следния принцип: неговото използване е оправдано само в случай, когато довежда до по-прости иизящни доказателства на теоремите и решенията на задачите, отколкото при използването на други средства.

Като изхождаме от казаното до тук, може да заключим, че учениците от масовото средно училище е необходимо да се запознаят със следните въпроси, свъзвани с понятието вектор:

1. 
   да умеят да събират и да изваждат вектори;
   
2. 
   да умеят да умножават вектор с число;
   
3. 
   да умеят да намират скаларното произведение на два вектора;
   
4. 
   да могат да намират ъгъла, определен от два вектора.