Като елемент на новите технологии в образованието



Дата25.10.2018
Размер179 Kb.
СИСТЕМИТЕ ЗА КОМПЮТЪРНА АЛГЕБРА

КАТО ЕЛЕМЕНТ НА НОВИТЕ ТЕХНОЛОГИИ В ОБРАЗОВАНИЕТО*



Маргарита Спиридонова, Боряна Куюмджиева
1. Увод

Новите информационни технологии навлизат все повече във всички сфери на образованието. Естествено е този процес да включва и обучението по математика. Също така естествено е да се използуват готови софтуерни средства за тази цел, ако има такива. Хубаво е, че има наистина програмни системи, при това с богати възможности, които могат да направят по-ефективно преподаването и усвояването на математически знания както в средните училища, така и в университетите. Това са системите, известни с утвърдилия се през последните години термин системи за компютърна алгебра .

Предмет на компютърната алгебра е разработването на алгоритми и програмни средства за автоматично извършване на математически пресмятания с помощта на компютър. Системите за компютърна алгебра (СКА), наричани често системи за символни и алгебрични пресмятания, системи за математически пресмятания или системи за компютърна математика, са програмни среди, в които можем да боравим с изрази, представени символно, да преобразуваме тези изрази или да решаваме (символно или числено) определени типове задачи от различни области на математиката; можем да изобразяваме двумерни и тримерни графични обекти, да програмираме, да осъществяваме връзка с други програмни системи и т.н.

В исторически аспект СКА се разработват и използват от около четири десетилетия и за този период са разработени няколко десетки СКА - с общо предназначение (с богат набор от операции от различни области на математиката) и специализирани (ориентирани към приложение в определена област). У нас са познати и използвани, например, СКА с общо предназначение (с версии за различни типове компютри) Mathematica, Maple, Derive, Matlab, Reduce и др.

СКА намират приложение предимно в научно-изследователската работа, при решаване на научно-технически задачи и в обучението ([1], [3]). За последните няколко години, е характерно все по-широкото използване на СКА (с общо предназначение) за целите на обучението по математика. Това се вижда от публикации в списания, свързани с приложението на СКА или с използването на компютри в обучението по математика, от тематиката на редица международни конференции, от информационни материали, достъпни чрез Интернет. Все по-често СКА се използуват и в обучението по физика, химия, технически и икономически науки и др.

Следва да отбележим, че разширяващото се приложение на СКА в обучението по математика е свързано и с появата на графични калкулатори (ГК) с вградена СКА. Особен интерес представляват някои модели от последните години на фирмите Texas Instruments и Casio.

По-нататък в текста под СКА ще разбираме СКА с общо предназначение, защото именно те намират широко приложение в обучението по различни математически дисциплини в средните училища и университетите.
2. Приложение на СКА при преподаване и усвояване на математически знания.

Когато разглеждаме приложението на СКА за целите на обучението по математика, обикновено на първо място търсим предимствата. В средата на една СКА математиката изглежда по-привлекателна и по-достъпна за учениците и студентите; в нея по-добре се осмислят разглежданите понятия и твърдения, особено като се свърже аналитичния с графичния подход; в такава среда по-добре можем да се съсредоточим върху стратегията за решаване на дадена задача като разчитаме на автоматичното извършване на рутинни пресмятания и т.н. С водещата роля на преподавателя, в такава среда можем да експериментираме, да формулираме и проверяваме хипотези, да изследваме процеси и явления. Разбира се, нещата не са прекалено лесни и безпроблемни. Първият кръг от проблеми касае наличието на подходящ хардуер и софтуер, достъпът до информация, която да позволи на преподавателя да избере подходяща СКА (ако има възможност да избира), наличието на литература и помощни материали и т.н. Всичко това предполага преди всичко желание и инициативност на преподавателя, защото у нас използването на СКА не е включено в учебните програми на средните училища, а в университетите също решаваща роля имат преподавателите, макар че СКА намират място в програмите на редица специалности. Споменатите по-горе проблеми имат различни аспекти и тяхното обсъждане е свързано с много фактори. Тук предпочитаме да приведем аргументи и примери, показващи ефекта, който би се получил при преподаване на нови знания и в часовете за упражнения, ако умело използваме една СКА. Екранът на компютъра или графичния калкулатор няма да замести черната дъска и тетрадката, но в съчетание с тях може да направи часовете по математика по-интересни и продуктивни. Разбира се, методите на работа трябва да се променят. Преподавателят трябва да усвои използването на избраната СКА и да съчетае нейното прилагане с подходящи методически и педагогически похвати, т.е. да приеме това предизвикателство на новите информационни технологии.

Разглеждаме примери, които могат да подскажат как можем да използуваме някои характерни възможности на СКА и ГК в обучението по математика. Съзнателно сме избрали примери, които не изискват голяма подготовка, но предполагат познаване от страна на преподавателя на възможностите на наличната СКА или тези на наличните графични калкулатори (ГК). Учениците или студентите трябва да се запознаят с използваните средства на СКА или ГК и най-добре е това да стане паралелно с разглежданите теми от материала.

Тъй като възможностите на СКА умело могат да се използват на различни нива на обучението по математика, разглеждаме примери, свързани именно с използването на различни нива на обучението по математика на ГК TI-92 и СКА Mathematica.

Започваме с един пример, прилаган в Математическата гимназия (МГ) “Баба Тонка” в Русе. Разглежда се въвеждането на числото  в V клас с използване на ГК TI-92 [2]. Тези калкулатори имат вградена СКА, много близка до Derive (която е проектирана за целите на обучението) и освен това имат вградена система Geometry (обикновено наричана приложение) за геометрични построения и пресмятания, в допълнение към възможностите за графика на вградената СКА. Приложението Geometry се използва в геометричните построения, които следват.

И така, нека си представим, че сме в класна стая на V клас. Учениците разполагат с ГК TI-92, като 2 деца работят с един калкулатор.



Задача: Да се намери дължината на окръжност, ако знаем центъра и радиуса на окръжността.

(Учениците не знаят формулата за дължина на окръжност!).



Решение: С TI-92, в приложение Geometry, построяваме окръжност:

На различните калкулатори децата построяват окръжности с различни радиуси.

Избираме точка А върху построената окръжност:

С помощта на менюто избираме операция за намираме на дължината на радиуса на окръжността:

По аналогичен начин намираме дължината на окръжността:

Пренасяме резултатите в горния десен ъгъл на екрана:

Означаваме дължината на окръжността с a и радиуса с b; пресмятаме частното на a и удвоения радиус b:

Получаваме следния резултат:

Всички деца получават един и същ резултат - числото 3.14159265359.
Ефектът е значителен. Докато учениците построяват окръжностите, не се и замислят, че е почти сигурно, че няма окръжности с равни радиуси на отделните калкулатори. Не се замислят особено и когато получените дължини на окръжностите на различните калкулатори са различни числа. Пресметнатото частното на всички петнадесет калкулатора, обаче, е едно и също - числото 3.14159265359.

Отбелязваме, че  е вградена константа за калкулатора, с което показваме, че полученият резултат не е случаен.



Целта е постигната - учениците сами записват формулата за дължина на окръжност C=2r. Тук може да се отбележи, че има строго математическо доказателство на тази формула, но то ще бъде разгледано в по-горните класове. Може да се разкаже на учениците, че докато се намери това решение, математиците са достигнали до него по експериментален път и дори да им се представи идеята на алгоритъма, по който калкулаторът пресмята числото  (периметрите на правилните многоъгълници, вписани в дадената окръжност и описани около дадената окръжност, при увеличаване на броя на страните на многоъгълниците, се доближават до едно и също число - това е числото ).

Сега може да се “подскаже” и формулата за лице на кръг, заграден от окръжност с даден радиус.

Пресмятаме с калкулатора, лицето на кръга (с избор на съответна операция от менюто):

Намираме частното между лицето на кръга и квадрата на радиуса на окръжността:

Петокласниците правят съответния извод, т.е. отношението на лицето на кръга към квадрата на радиуса му е константата  . Следователно лицето на кръг се намира по формулата S=r2.
В МГ “Баба Тонка” от няколко години се използват ГК TI-92 и част от натрупания опит е отразен в публикации. Такива са, например, работите [4] - [7]. В [4] са разгледани възможностите и някои начални приложения на ГК TI-92, а тези калкулатори са наречени математически тамагочита, като това подсказва интереса и ентусиазма, с които ги използват децата. От [5] се вижда как учителят може да насочи децата сами да формулират тези и после да ги доказват. В [6] е разгледано изследването на функции с използване на ГК. А [7] разглежда представянето на геометричните преобразования в матричен вид, което също се прави с ГК

Примери с използване на ГК TI-92 могат да се намерят и в Интернет [2].


Следват прости примери с използване на СКА Mathematica [8], които илюстрират съчетаването на аналитичния и графичния подход на отделни етапи от разглеждания материал.

Пример 1. Да илюстрираме графично определението на допирателна към крива в дадена точка като граница на секущите през тази точка и втора точка, която мени положението си върху кривата така, че разстоянието между двете точки намалява, доближавайки се до 0. Ще видим екпериментално и какво представлява ъгловият коефициент на допирателната към дадена крива в една нейна точка.

Дефинираме функция с име secant, която получава уравнението на секуща към крива, дефинирана с функцията f(x), през две нейни точки, едната от които е фиксирана, да я означим с x0, а другата – подвижна и съответствува на промяната на аргумента x на функцията с определена стъпка h. Като използуваме тази функция, да изобразим заедно с кривата известен брой секущи (в случая те са 10), минаващи през точките (x0, f(x0)) и (x0+k*h, f(x0+k*h)), където k=1,2,…,10. Нека x0=1, h=0.2.

Забележка: Функцията secant извежда дясната част на уравнението y = g(x).

Виждаме, че колкото по-малко е разстоянието между двете точки, толкова повече секущата изглежда като допирателна към кривата в точка (x0, f(x0)). Нека сега дефинираме функция, която получава уравнението на допирателната към кривата в дадена точка x0 като граница на функцията, дефинираща секуща, когато стъпката h клони към 0. Да я приложим за получаване на уравнението на допирателната в точка x0=1. Да построим отново предишната графика, като добавим получената допирателна, изобразена с по-плътна линия.





Да се върнем към функциите secant и tangline. Ъгловият коефициент на секущата е представен с израза

К
огато се извежда уравнението на допирателната с функцията tangline, границата на този израз при h->0 става ъглов коефициент на допирателната към кривата в точка x0. Ако ни е известна дефиницията на производна на функция, веднага забелязваме, че границата на горния израз при h->0 е равна на стойността на първата производна на f(x) в точка x0=1.


Да проверим:


Разбира се, в трябва да се отбележи спецификата на синтаксиса на Mathematica в горните пресмятания.

Сега можем да дефинираме функция за получаване на уравнението на допирателната в точка x0 с ъглов коефициент, равен на стойността на производната на функцията, дефинираща кривата (ако функцията е диференцуема), в тази точка. Можем дори да сравним резултатите от обръщенията към двете функции.


Да използуваме една от дефинираните функции за изобразяване на допирателните към f в точките от даден интервал, получени със зададена стъпка.







Като следваща стъпка може да се построи същата графика без участието на кривата и да се коментира представянето на кривата като обвивка на изобразените допирателни и т.н.
Пример 2. Каква информация за дадена функция можем да получим, ако анализираме графиките на първата и втората й производна, изобразени заедно с графиката на функцията?



Наблюдавайки графиките, можем да формулираме поредица от въпроси към учениците или студентите. Например, какво можем да кажем за дадената функция в частта от разглеждания интервал, в която първата производна приема положителни стойности? Аналогичен въпрос следва за частта на интервала, където производната е отрицателна. А какво става с функцията в точката, в която производната сменя знака си?

Подобни въпроси е естествено да се формулират и по отношение на втората производна и да се направи обобщение.

Още много примери могат да се приведат. Нека само споменем, че в средата на една СКА удобно може да се изследва връзката между промените в аналитичния израз на една функция и нейното графично представяне – например, можем да направим това за функциите f(x) + k, f(x + k), k f(x), f(k x) и |f(x)|, като f(x) се дефинира с различни формули.


Голям обем от интересни примери и учебни материали можат да бъдат извлечени чрез Интернет, като използваме, например, адресите [1] и [3] и свързаните с тях.
3. Заключение.

След като един преподавател експериментира известно време използуването на СКА в своята работа, естествено възникват нови въпроси от различен характер-методически, педагогически и т.н. И на тях трябва да се търсят решения, но със сигурност те ще касаят още по-широкото използуване на СКА в учебната работа. Защото СКА и ГК могат “да правят” почти всичко, което се съдържа в учебните програми в училище. Те могат да намерят място и в голяма част от унирерситетските курсове по математика.

Контактите със специалисти у нас и в чужбина са нещо полезно и малък принос в тази насока дават пролетните конференции на Съюза на математиците в България [9], [10]. Редица списания и сборници от доклади на конференции, много адреси в Интернет, някои от които са приведени по-горе, също могат да помогнат за подходящото използване на СКА в обучението по математика. Разбира се, все пак ролята на преподавателя е решаваща.

Литература





  1. Computer Algebra Information Network: http://www-mri.math.kun.nl/cain.html

  2. Графични калкулатори TI-92 http://education.ti.com

  3. Computer Algebra in Mathematics Education : http://www.lonklab.ac.uk/came/

  4. Куюмджиева Б., Математически тамагочита, сп. “Математика и информатика”, бр. 5/2001 г.

  5. Куюмджиева Б.. От експеримента към доказателството, сп. "Известие", серия 5 "Математика, информатика и физика", т. 2, 2002 г.

  6. Куюмджиева Б.. Изследване на функции, сп. "Известие", серия 5 "Математика, информатика и физика", т. 2, 2002 г.

  7. Kujumdzhieva B., Matrix Presentation of Geometrical Transformations on a Plane, Proc. of the Intern. Congress MASSE 2003

  8. СКА Mathematica: http://www.wolfram.com/products/mathematica

  9. Спиридонова М., М. Нишева, Д. Николова, Б. Куюмджиева. Системи за компютърна алгебра в обучението по математика и информатика, Математика и математическо образование, Доклади на 32-та пролетна конференция на СМБ, Слънчев бряг, 5-8 април, 2003

  10. Спиридонова М., Б. Куюмджиева. С графични калкулатори в класната стая, Математика и математическо образование, Доклади на 33-та пролетна конференция на СМБ, Боровец,, 1-4 април, 2004

* Работата е частично финансирана от Националния фонд за научни изследвания

по Договор И-1002/2000 г.





Поделитесь с Вашими друзьями:




База данных защищена авторским правом ©obuch.info 2020
отнасят до администрацията

    Начална страница