Конспект за кандидат докторантски изпит по математически анализ

ЗА КАНДИДАТ - ДОКТОРАНТСКИ ИЗПИТ

ПО МАТЕМАТИЧЕСКИ АНАЛИЗ

1. 
   Теорема за неявната функция.
   
2. 
   Подмногообразия в Rⁿ. Условни екстремуми и множители на Лагранж.
   
3. 
   Криволинейни интеграли. Затворени и точни диференциали.
   
4. 
   Аналитични функции. Теорема на Коши и теорема за резидуумите.
   
5. 
   Теорема на Брауер за неподвижната точка. Основна теорема на алгебрата.
   
6. 
   Лебегова мярка и лебегов интеграл в крайномерни пространства
   
7. 
   Теореми за граничен преход в лебеговия интеграл.
   
8. 
   Теореми на Фубини и Тонели.
   
9. 
   Теорема на Лебег за диференцируемост на монотонна функция.
   
10. 
    Теорема на Лайбниц – Нютон – Лебег за реални функции на една променлива.
    
11. 
    Представяне на линейните функционали в C(0,1) и L_p.
    
12. 
    Хилбертово пространство. Теорема за проекциите. Представяне на ограничените линейни функционали.
    
13. 
    Ортонормирани системи. Неравенство на Бесел и равенство на Парсевал. Теорема на Рис – Фишер.
    
14. 
    Компактни оператори. Алтернативи на Фредхолм.
    
15. 
    Компактни самоспрегнати оператори. Теорема на Хилберт – Шмидт.
    
16. 
    Комутативни банхови алгебри. Максимални идеали. Теорема на Гелфанд – Мазур.
    
17. 
    Ограничени самоспрегнати оператори в Хилбертово пространство. Спектър и норма на смоспрегнат оператор. Положителни оператори и квадратен корен от положителен оператор.
    
18. 
    Спектрална теорема за ограничен самоспрегнат оператор в Хилбертово пространство.
    
19. 
    Метрични пространства. Пълнота. Теорема на Бер.
    
20. 
    Компактност в метрични пространства.
    
21. 
    Пространство C(M). Теореми на Арцела – Асколи и на Вайерщрас – Стоун.
    
22. 
    Теорема на Хан – Банах и теореми за отделяне.
    
23. 
    Теорема на Банах – Щайнхауз и теорема за сгъстяване на особеностите.
    
24. 
    Теореми за отвореното изображение и за затворената графика.
    

ЛИТЕРАТУРА

У. Рудин, Функциональний анализ.

У. Рудин, Реален и комплексен анализ.

Л. Алфорс, Увод в теорията на аналитичните функции.