Крайни полета



Дата24.07.2016
Размер67.61 Kb.
#4591

Крайни полета

Полето F е крайно, ако <.



Твърдение 1: Нека Е е поле и F е подполе на Е. Тогава Е е линейното пространство над F.
Доказателство:

Операцията “ + “ на линейни пространства е същата като в полето Е. Първите четири аксиоми на лин. простр. са автоматично удовлетворени. Ако F и аЕ, тогава произведението а е произведение в смисъл на Е. Ясно е, че другите четири аксиоми също ще са изпълнени и поради това твърдението е доказано.


С означаваме размерността на Е като лин. пр. над F.

Твърдение 2: Нека L е лин. пр. над F и F е крайно поле. Ако = t , тогава

=
Доказателство: Нека ,…., е базис на L и xL

Ако


x = + … + тогава x(, . . . ,) по дефиниция.
От линейната алгебра знаем, че задава 1-1 изображение между L и наредените t-орки елементи от F. Понеже броят на наредените t-орки от F е равен на , имаме =.

Твърдение 3: Нека F е крайно поле, което има характеристика p. Ако dimF = n тогава броят на елементите на F е равен на p.
Съгласно теоремата от миналата лекция , F е разширение на . Поради това означението е коректно. F е линейно пространство на понеже || = p желаното равенство следва от Тв.2.
Теорема 1: Нека F е крайно поле и char(F) = p. Ако = n тогава

а) всеки елемент на F е корен на полинома ;

б) вярно е равенството = и се разлага на линейни множители над F .

Доказателство: Очевидно x = 0 е корен на . Нека аF и а0. Тогава а е елемент на мултипликативната група на полето. Тъй като =p (Тв.3) редът на мултипликативната група на полето F e p-1 и поради това a е корен на . Нека h(x) = . Тъй като всеки елемент на полето F е корен на полинома , всеки от множителите на h(x) ще дели . От друга страна всеки два множителя на h(x) са взаимно прости ( Защо? виж лекцията за взаимно прости множители). Поради това h(x) дели . Понеже тези два полинома имат равни степени това означава, че единият от тях се получава от другия с умножаване на константа. Понеже и двата полинома са унитарни те трябва да съвпадат.

Теорема 2: Нека F е поле и char(F) = p. Означаваме множеството на корените на полинома в F с F’ ( k-фиксирано естествено число). Тогава F’ е подполе на F и броят на елементите на не надминава .
Доказателство:

Очевидно 0, e F. Поради това F съдържа ненулев елемент. Нека a, b F’, т.е. = a и = b.

Поради това
=+ = a +b a +bF’ ( е корен на полинома)
= 0 = + a+= 0 = -a -aF’

До тук изяснихме, че F е подгрупа на адитивната група, която съдържа ненулев елемент.

Очевидно е, че
==ab abF’
Нека a0. = .a=eе обратен на a =F’

Тъй като не може да има повече от корена .



Теорема 3: За всяко естествено число k и всяко просто число p , съществува поле с елемента.
Долазателство:

Разглеждаме полето и [x]. Съгласно следствието от теоремат на Кронекер, съществува разширение E на (E), над което се разлага на линейни множители. Да означим с F множеството от корените на в E. Съгласно Теорема2, F е поле. Ще докажем, че полето F има желаните свойства т.е. = . Да забележим, че формалната производна е равна на:



= -1 , коефициентът пред всъщност е (e) и понеже характеристиката е равна на нула, то (e) = 0 в . Поради това формалната производна на е равна на единица и следователно е различна от нула. Следователно този полином няма кратни коерни. И така полиномът се разлага на линейни множители в полето E и няма кратни корени. От тези два факта че броят на корените на в E е равен на т.е. =.

Теорема 4: Нека F е крайно поле, char F = p и =. Ако F’ е подполе на F тогава =, където m дели n.

Обратно: За всяко естествено число m, което дели n, F има подполе с елемента и то е единствено.

Доказателство:

1) Fе подполе на F и =



FF Ако dimF = s =(Тв.2). Заместваме = и получаваме = ()=n = ms m дели n .

2) Нека n = ms



-1=-1=()()

- 1 = - 1 = (- 1)(……….) (*)

Знаем, че се разлага на линейни множители над F - 1 също се разлага на линейни множители над F. От (*) и единстеността на разлагането на линейни множители - 1 също се разлага на лин. множители над F - x също се разлага на лин. мн. над F. Но k = -1 - x се разлага на лин. мн. над F. Нека F е множеството на корените на - x в F . Съгасно Теорема 2 F е подполе. Тъй като - x се разлага на линейни множители в F и няма кратни корени, имаме, че =, с което съществувнето на подполето е доказано. Не е възмойно да има друго подполе с елемента тъй като неговите елементи също ще бъдат корени на-x и ще стигнем до извода, че този полином има повече корена в разглеждното поле от своята степен, което е противоречие.









Сподели с приятели:




©obuch.info 2023
отнасят до администрацията

    Начална страница