Лекции и семинарни занятия по аналитична геометрия



страница1/14
Дата24.07.2016
Размер2.89 Mb.
ТипЛекции
  1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   14

  • Лекции и семинарни занятия по аналитична геометрия

  • Писани са от мен, Иван Димитров Георгиев (вече завършил) студент по информатика, електронната ми поща е ivandg@yahoo.com.
    Четени са през зимния семестър на учебната 2001/2002 година. Лектор тогава беше доц. Чавдар Лозанов, семинарните занятия тогава водеше Яна Алексиева (сега тя е вече асистент). Семинарните занятия са само частично написани.

  • Използвал съм само и единствено мои записки (и на мои колеги) от лекции и семинарни занятия.

  • 2 октомври




  1. Афинни операции с вектори



Ос наричаме права, върху която условно сме избрали положителна посока.

+

g



A

B

C



D

  1. Насочена отсечка наричаме отсечка, на която единият край приемаме за първи, а другият за втори; означава се AB



Алгебрична мярка на насочената отсечка AB спрямо оста g означаваме с AB = |AB|, където  = 1, ако g ↑↑ AB или  = -1, ако

g ↑↓ AB. На чертежа AB = |AB|, a CD = - |CD|


Релация на Шал: За всеки три точки върху една права е изпълнено:

AB + BC = AC


Две насочени отсечки (AB и CD) са равни, ако

|AB| = |CD| и АB ↑↑ CD.


Нулева насочена отсечка е тази, чиито краища съвпадат; по дефиниция всички нулеви насочени отсечки са равни, т.е.

AA = BB = O за всеки две точки A и B.


Геометричен вектор е множеството от всички насочени отсечки равни на дадена (включително и самата нея). Означение:

AB = CD = … = a; отделните насочени отсечки AB, CD се наричат представители на вектора а. Релацията “представител на” е знакът за равенство, т.е. a = AB


Ако е даден вектор a и точка О, съществува единствен представител на вектора започващ в точка О.
Нулев вектор е множеството от всички нулеви насочени отсечки. Означава се с о.
Нека е даден векторът a = AB, векторът с представител BA се означава с – a и се нарича противоположен на а.
Два вектора са колинеарни ако два техни представителя лежат на една и съща права или са успоредни.
Три вектора са компланарни ако три техни представителя лежат в една равнина.
Събиране на вектори: имаме два вектора a и b, вектор c = a + b се нарича сбор на векторите а и b;
Избираме произволна точка А и нанасяме от нея вектора а. Нека другият край на вектора а е точката B. От точка B нанасяме вектора b, означаваме другият му край с C. Тогава c = a + b = AC

B

Това е известното правило на триъгълника.


C

А


Ако векторите не са колинеарни, тогава може да се приложи правило на успоредника. То гласи, че сборът на два вектора a и b е векторът, който се получава като диагонал на успоредник, с върхове произволна т. А и краищата на представителите на векторите а и b започващи в нея. Тук c = a + b = AD

А

B



C

D


  1. Свойства на събирането





  1. ( a + b ) + c = a + ( b + c ) = a + b + c

  2. a + b = b + a

  3. a + o = a

  4. a + ( - a ) = o ( a – a = o )

а + ( - b ) = a – b

  • Умножение на вектор с число:

Нека са дадени вектора a и реалното числото ; тогава .а е векторът b, за който е изпълнено: |b|=||.|a|, a ↑↑ b ( > 0) и a ↑↓ b ( < 0);

ако  = 0, b = o

  1. Свойства на умножението на вектор с число





  1. 1 . a = a

  2. ( k + l ) . a = k . a + l . a

  3. ( k . l ) . a = k . ( l . a )

  4. k ( a + b ) = k . a + k . b
  5. Векторно (линейно) пространство

V = { a , b , … } – множество V, елементите на което сме нарекли вектори


Дефинираме две операции:
( a , b )  ( a + b )  V (сбор)

(   R , a )  (  . a )  V (умножение с число)


Аксиоми – горепосочените осем свойства на операциите
Ако са налице тези условия казваме, че множеството V е линейно векторно пространство
Примери: всички геометрични вектори колинеарни с дадена права -едномерно векторно пространство; всички геометрични вектори компланарни с дадена равнина – двумерно векторно пространство; всички геометрични вектори – тримерно векторно пространство; множеството от всички наредени n-торки реални числа { a1, a2,…, an } ai  R с дефинирани операции събиране:

1, а2, ..., an) + (b1, b2, ..., bn) = (a1+b1, a2+b2,…, an+bn) и умножение с число  . (а1, а2, ..., an) = (.а1, .а2, ..., .an); Rn – векторно пространство на n-мерните вектори



  1. Линейна зависимост и независимост на вектори

Нека а1, а2, ..., an  V и 1, 2,... n  R


Тогава векторът a = 1.a1 + 2.a2 + … + n.an е линейна комбинация на векторите а1, а2, ..., an с коефициенти 1, 2,... n.

Ако някое i  0 (i = 1,2,…n) тогава линейната комбинация се нарича нетривиална. Ако i = 0 за всяко i, тогава линейната комбинация се нарича тривиална.


Векторите а1, а2, ..., an са линейно зависими, ако съществува тяхна нетривиална линейна комбинация равна на нулевия вектор ( o ). Векторите а1, а2, ..., an са линейно зависими, ако поне един от тях е линейна комбинация на останалите.
Векторите а1, а2, ..., an са линейно независими, ако единствената им линейна комбинация равна на нулевия вектор е тривиалната. Векторите а1, а2, ..., an са линейно независими тогава и само тогава когато :

1.a1 + 2.a2 + … + n.an = 1.a1 + 2.a2 + … + n.an

1 = 1; 2 = 2;...; n = n

  1. Линейна зависимост и независимост на геометрични вектори

Всеки ненулев вектор е линейно независим, а нулевият вектор е линейно зависим.

Два геометрични вектора са линейно зависими, ако са колинеарни.

Три геометрични вектора са линейно зависими, ако са компланарни.

Четири геометрични вектора винаги са линейно зависими.
9 октомври

  1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   14




База данных защищена авторским правом ©obuch.info 2020
отнасят до администрацията

    Начална страница