Лекции и семинарни занятия по диференциално и интегрално смятане – 1

1. Лекции и семинарни занятия по диференциално и интегрално смятане – 1

3. Писани са от мен, Иван Димитров Георгиев (вече завършил) студент по информатика, електронната ми поща е ivandg@yahoo.com.

4. Четени са през зимния семестър на учебната 2001/2002 година. Лектори тогава бяха професор Пламен Джаков и главен асистент Николай Буюклиев. Семинарните упражнения водеше главен асистент Росен Николов и не присъстват всичките.

5. Използвал съм моите (и на мои колеги) записки от лекции и семинарни занятия, както и следните учебници: Диференциално смятане на Ярослав Тагамлицки, Математически Анализ на Дойчин Дойчинов.

6. Добре е да имате инсталиран MathType, за да нямате проблеми при разчитането. От този линк http://www.dessci.com/en/dl/MTW6.exe може да изтеглете trial версия за един месец.

7. 1. Понятие за R – множество от реалните числа

Множеството на естествените числа { 1, 2, …n,…} означаваме с N;

Множеството на целите числа { 0, 1, 2, …n,…} означаваме с Z;

Множеството на рационалните числа { p/q; p, qZ, q  0 }

означаваме с Q;

Множеството на реалните числа означаваме с R.

Множеството на комплексните числа { a+b.i; a, b  R, i² = -1 } означаваме с C;
За тези множества имаме: N  Z  Q  R  C;
Аксиоми на Пеано за естествените числа:

1. 
   Всяко естествено число n има наследник n+1;
   
2. 
   На всеки две естествени числа се m, n се съпоставя еднозначно сумата им m+n, която е естествено число;
   
3. 
   На всеки две естествени числа се m, n се съпоставя еднозначно произведението им m.n, което е естествено число;
   
4. 
   Множеството N на естествените числа е наредено; съществува релация  - сравнение на естествени числа;
   

Рационалните числа представляват крайни и безкрайни периодични дроби; едно рационално число m/n може да се представи като крайна десетична дроб тогава и само тогава, когато n = 2^k.5^m, където k и m са естествени или нули; в такъв случай това число може да се запише по следния начин:

то не е рационално, тъй като не е периодична дроб (очевидно не е крайна); това е пример, че съществуват ирационални числа;

k  N, съществува индекс n > k : a_n  9; това го добавяме, за да не допускаме едни и същи числа да се записват по различни начини чрез безкрайни дроби – например 1, (0) = 0, (9) и - 2.25(0) = - 2.24(9);

1. 
   а+b = b+a;
   
2. 
   (a+b)+c = a+(b+c);
   
3. 
   съществува число 0: а + 0 = a;
   
4. 
   за всяко число а, съществува –а : а + (-а) = 0; елементът –а се нарича противоположен
   

1. 
   a.b = b.a;
   
2. 
   (a.b).c = a.(b.c);
   
3. 
   съществува число 1: a.1=a;
   
4. 
   за всяко число а  0, съществува а^-1: а.а^-1 = 1;
   

1. 
   (a+b).c = a.c + b.c;
   

1. 
   Ако a  b, b  c  a  c;
   
2. 
   Ако c  0 и a  b  a.c  b.c;
   

За всяко число a съществува естествено число n: n.1 > a;

a = a₀, a₁a₂…a_n…

b = b₀, b₁b₂…b_n…

a₀, b₀  Z; a_i  { 0, 1, 2…, 9 }

Казваме, че a > b, ако съществува индекс k  { 0, 1, 2,… }, такъв че

a₀ = b₀; a₁ = b₁; …; a_k > b_k

Дефиниция: Най-малката горна граница на X се нарича супремум на X или точна горна граница. Бележи се sup X.

Дефиниция: Най-голямата долна граница на X се нарича инфимум на X или точна долна граница. Бележи се inf X.

1. 
   Ако x  X, то x  x
   
2. 
   Ако x < x, то съществува x  X: x > x
   

с [ x ] означаваме цялaта част на x;

Нека А₀ = { [ x ], x  X₀} ; тъй като X₀ e ограничено  съществува горна граница M на X₀, за нея е изпълнено 0  [ x ]  M  А₀ е ограничено, но то се състои само от цели числа  А₀ е крайно множество, означаваме най-големият елемент от А₀ с x₀;
Нека X₁ = { x  X₀, [ x ] = x₀ } ; нека А₁ е множеството от цифрите, които стоят на първо място след десетичната запетая в числата от X₁; А₁ е крайно, означаваме с x₁ най-големият елемент на А₁;
По този начин получаваме числото x = x₀, x₁x₂…x_n…; твърдим, че

x e супремумът на X.

Без ограничение на общността можем да разглеждаме единствено елементите на X₀;

Допускаме, че съществува x > 0, x  X: x > x;

Нека x = x₀, x₁x₂…x_n…, тогава съществува индекс k  { 0, 1, …, n, …} , такъв че (1) x₀ = x₀; x₁ = x₁ …; x_k-1 = x_k-1;

(2) x_k > x_k;

от (1)  x  X_k, oсвен това x_k е максималното число, което стои на

k-то място след десетичната запетая в числата  X_k, което е в противоречие с (2)  допускането не е вярно  за всяко x  X, x  x;
Второ: ще докажем, че ако x < x съществува x  X, такова че x > x;
Нека x = x₀, x₁x₂…x_n…, тогава съществува индекс k  { 0, 1,…, n,…}, такъв че x₀ = x₀; x₁ = x₁ …; x_k-1 = x_k-1;

(1) x_k < x_k;

x₀ = x₀; x₁ = x₁ …; x_k-1 = x_k-1;

(2) x_k = x_k;
от (1), (2)  x > x
С това доказателството е завършено;

Аналогично се доказва:

Всяко числово множество, което е ограничено отдолу има точна долна граница (инфимум);

• 
  
  Каталог: 1kurs
  1kurs -> Лекции и семинарни занятия по аналитична геометрия
  1kurs -> Лекции по увод в програмирането
  1kurs -> Лекции и семинарни занятия по линейна алгебра
  1kurs -> Лекции по обектно-ориентирано програмиране
  1kurs -> Седмичен разпис
  
  
  
  Изтегляне 4.23 Mb.
  
  Сподели с приятели: