Писани са от мен, Иван Димитров Георгиев (вече завършил) студент по информатика, електронната ми поща е ivandg@yahoo.com.
Четени са през зимния семестър на учебната 2001/2002 година. Лектор тогава беше Керопе Чакърян (тогава доцент, сега професор). Семинарните занятия тогава водеше Евгения Великова (тогава главен асистент, сега доцент). Използвани са моите записки (и на мои колеги) от лекции и упражнения и учебникът и сборникът по линейна алгебра с автори Керопе Чакърян и Пламен Сидеров. 5 октомври (семинарни) Комплексни числа
Разглеждаме множеството C = { (a, b) | a, b R }
Това множество се нарича множество на комплексните числа и то е поле.
Дефинираме следните операции:
-
(a, b) + (c, d) = (a + b, c + d)
-
(a, b) . (c, d) = (ac – bd, ad + bc)
Ако z1, z2 и z3 C
-
z1 + z2 = z2 + z1
-
z1 + (z2 + z3) = (z1 + z2) + z3
-
Съществува елемент 0 = (0, 0), такъв че z1 + 0 = 0 + z1 = z1
-
Ако (а, b) C, съществува (-a, -b) C, така че (a, b) + (-a, -b) = 0
-
z1 . z2 = z2 . z1
-
z1 . (z2 . z3) = (z1 . z2) . z3
-
z1 . (z2 + z3) = z1 . z2 + z1 . z3
-
Съществува елемент 1 = (1, 0), такъв че z1 . 1 = 1 . z1 = z1
-
Ако z1 0, съществува z1-1, така че z1 . z1-1 = 1
Oзначaваме i = (0, 1), то i2 = (0, 1) . (0, 1) = (-1, 0), т.е i2 = -1; i се нарича имагинерна единица;
Tъй като (a, b) = (a, 0) + (0, b) = a . 1 + b . i можем да дефинираме множеството на комплексните числа C като { a + b.i | a, b R; i2 = -1}
Ако z = a + b.i,
‘a’ се нарича реална част на z (бележи се Rez);
‘b’ се нарича имагинерна част на z (бележи се Imz);
А ко z = a + b.i, то числото z = a – b.i се нарича комплексно спрегнато на z. Важат следните зависимости:
-
z = z
-
z 1 + z2 = z1 + z2
-
z 1 . z2 = z1 . z2
-
z + z = 2 . Rez
-
z . z = Rez2 + Imz2 0, R
-
z . z = 0 z = (0, 0)
Комплексните числа се изобразяват в комплексната равнина - по абцисата (реална ос) се нанасят реалните части, а по ординатата (имагинерна ос) се нанасят имагинерните части.
Н
Re
Im
z4
z3
z2
z1
             а чертежа z3 = z1 + z2; z4 = z2 – z1
Модулът на едно комплексно число е разстоянието от него до началото на комплексната равнина
|   z| = |a + b.i| = a2 + b2 = z . z = r
Свойства на модула:
-
|z1| + |z2| |z1 + z2|
-
|z1 . z2| = |z1| . |z2|
Нека с означим ъгълът, който радиус-векторът на едно комплексно число z = a + b.i сключва с положителната посока на реалната ос. Тогава:
a = r. cos; b = r. sin a + b.i = r (cos + i.sin)
r e модулът на z, се нарича аргумент на z
Нека z1 = r1 (cos1 + i.sin1); z2 = r2 (cos2 + i.sin2). Tогава:
z1 + z2 = r1.cos1 + r2.cos2 + i . (r1.sin1 + r2.sin2)
z1 - z2 = r1.cos1 - r2.cos2 + i . (r1.sin1 - r2.sin2)
z1 . z2 = r1.r2 ( cos(1 + 2) + i . sin (1 + 2) )
z1 / z2 = r1/r2 ( cos(1 - 2) + i . sin (1 - 2) )
Формула на Моавър:
zn = (r (cos + i . sin ))n = rn (cos(n.) + i . sin (n.) )
Сподели с приятели: |
