Лекции по Въведение в статистиката

Чернова на лекции по Въведение в статистиката

Павлина Йорданова pavlina_kj@abv.bg

Теорията на вероятностите моделира масовите явления, събития и величини, които се използват в Статистиката и Иконометрията. В тази тема ще се запознаем с основни понятия и твърдения, които служат за основа, върху която са изградени статистическите методи и алгоритми.

Най-общо казано, опитът е комплекс от действия, извършени при строго определени условия. За да бъде определен един опит трябва да са известни възможните изходи от него. Тези изходи, описани така че в резултат от опита да се случва точно един от тях се наричат елементарни изходи(елементарни събития). Ще ги означаваме с . Множеството от всички елементарни изходи -  се нарича пространство на елементарните изходи. Неговото определяне представлява първата крачка при създаването на вероятностен модел на експеримент.

Елементарното събитие дава пълна информация за възможна реализация на провеждания опит. Може един и същ експеримент да бъде стохастично моделиран по различни начини.

Да разгледаме няколко примера на описване на структурата на пространството на елементарните събития.

П р и м е р 1.1: При еднократно подхвърляне на монета пространството от елементарни изходи  може да се моделира с два изхода, Г – “Пада се герб” и Л – “Пада се лице”.

 = {Г, Л}.

П р и м е р 1.2: При двукратно подхвърляне на монета пространството от елементарни изходи  може да се моделира с четири изхода. Нека означим с Г_i изхода “Пада се герб при i – тото подхвърляне” и с Л_i изхода “Пада се лице при i – тото подхвърляне”, i = 1, 2. Тогава

 = {Г₁Г₂, Г₁Л₂, Л₁Г₂, Л₁Л₂}.

Забележка: Друг начин за моделиране на същия експеримент може да бъде  = {Г₁, Л₁}.

П р и м е р 1.3: При трикратно подхвърляне на монета пространството от елементарни изходи  може да се моделира с осем изхода. Нека означим с Г_i изхода “Пада се герб при i – тото подхвърляне” и с Л_i изхода “Пада се лице при i – тото подхвърляне”, i = 1, 2, 3. Тогава

 = {Г₁Г₂Г₃, Л₁Г₂Г₃, Г₁Л₂Г₃, Г₁Г₂Л₃, Г₁Л₂Л₃, Л₁Г₂Л₃, Л₁Л₂Г₃, Л₁Л₂Л₃}.

Забележки: 1. Можем да моделираме този експеримент чрез  = {Г₁, Л₁}.

2. Трети начин за моделиране на същия експеримент може да бъде  = {Г₁Г₂, Г₁Л₂, Л₁Г₂, Л₁Л₂}.

3. Четвърти начин за моделиране на същия експеримент може да бъде  = {ГГГ, ГЛЛ, ГГЛ, ЛЛЛ}, т.е. без наредба.

П р и м е р 1.4: При подхвърляне на зар до първата единица нека означим с 1_i изхода “Първата единица се е паднала при i – тото подхвърляне”, i = 1, 2, …. Тогава можем да моделираме  с

 = {1₁, 1₂, 1₃,…}.

В този случай  съдържа изброимо много елементарни изходи.

П р и м е р 1.5: При съвсем точно определяне на продължителността на живот на електрическа крушка, можем да моделираме експеримента с пространство от елементарни изходи, описващи продължителността на живота на крушката (като реално число). Тогава  съдържа неизброимо много елементарни изходи.

Да преминем към въвеждането на следващото важно понятие – събитие.

Невъзможно събитие е например “Сумата от точките върху два зара, подхвърлени по случаен начин е 1”.

Събитие, което със сигурност ще се реализира при даден експеримент ще наричаме сигурно събитие и ще го означаваме с , т.к. то се представя чрез всички елементарни събития.

Например “Сумата от точките върху два зара, подхвърлени по случаен начин не е по-малка от 2”.

Ще казваме, че събитието А е благоприятстващо за събитието В, ако от А следва В. Виж фиг. 2. В много случаи е удобно на всяко случайно събитие А да съпоставим множество от благоприятстващите го елементарни събития. Това множество се бележи също с А. Фактът, че А е благоприятнстващо за В тогава означава, че А  В.

Например

1. Ако означим с А събитието “Върху подхвърлен по случаен начин зар са се паднали 4 точки”, а с В събитието “Върху подхвърлен по случаен начин зар са се паднали четен брой точки”

то А е благоприятстващо за В.

2. Събитието “ и  са четни” е благоприятстващо за събитието “ +  е четно”.

Ще казваме, че събитието е противоположно на събитието А, ако се представя чрез всички елементарни събития, които не са благоприятстващи за А. Това означава, че в резултат от опита, събитието се сбъдва винаги, когато не се сбъдва А. Виж фиг. 3, където множеството от благоприятстващите елементарни събития на е оцветено в сиво.

Ще казваме, че събитията А и В са равносилни (съвпадат), ако те се представя чрез едни и същи множества от благоприятстващи елементарни събития. Накратко А  B.

Ще казваме, че се е сбъднало поне едно от събитията А или В, ако в резултат от опита се е случило елементарно събитие, което е благоприятстващо за А или В. Това ще означаваме накратко с А  В. Т.е.   А  В тогава и само тогава, когато  А или   В. Виж фиг. 4, където множеството от благоприятстващите елементарни събития на А  В е оцветено в сиво.

С.р.: Докажете, че А   .

Ще казваме, че събитията А и В са се случили едновременно, ако в резултат от опита се е случило елементарно събитие, което е благоприятстващо за А и В. Това ще означаваме накратко с АВ, което е все едно А  В, което е все едно А,В. Т.е.   А  В тогава и само тогава, когато   А и   В. Виж фиг.5, където множеството от благоприятстващите елементарни събития на А  В е оцветено в сиво.

С.р.: Докажете, че А  .

Събитията А и В се наричат несъвместими, ако нямат общи благоприятстващи елементарни събития. Т.е. ако А  В  . Виж фиг. 6.

Операциите  или  могат да бъдат обобщени за краен брой или за изброимо много събития.

При п  , ако А₁, А₂, …, А_п са събития, то с множеството от елементарни събития се представя събитието “Сбъднало се е поне едно от събитията А₁, А₂, …, А_п”, а с множеството от елементарни събития се представя събитието “Събитията А₁, А₂, … и А_п са се сбъднали едновременно”.

В сила са следните закони на де Морган: , .

С.р.: Докажете законите на де Морган.

Събитията А₁, А₂, …, А_п, п   образуват пълна група (Виж фиг. 7) ако:

1. 
   всеки две от тях са несъвместими и
   
2. 
    .
   

От определението за елементарен изход се вижда, че пространството от елементарни изходи е пълна група събития.

Докажете, че за всеки събития А₁, А₂, …, А_п е в сила представянето

 .

Докажете, че за всяко събитие В и за всяка пълна група събития А₁, А₂, …, А_п, п   е в сила представянето В  . Виж фиг. 8.

Събития	Множество на бл. ел. събития
А	А
Сигурното събитие	Пространството от ел. събития
Невъзможно събитие	Празно множество

Релации между събития	Релации между множествата от благоприятстващи събития
А  В	А  В
Ще се сбъднат А и В	АВ
Ще се сбъдне А или В	АВ
А и В са несъвместими	АВ=
А нама да се сбъдне

( 0 )

( 0 )

( 0 )

Т.е. според статистическа дефиниция за вероятност, при достатъчно голям брой опити Р(А) е относителният дял на изходите, при които е настъпило събитието А.

В сила е следната формула за събиране на вероятностите: Ако всеки две от събитията А₁, А₂, …, А_n са несъвместими, то

Р(А₁  А₂  …  А_n ) = Р(А₁) + Р(А₂) + …+ Р(А_n)

В частност: Ако събитията А₁, А₂, …, А_n образуват пълна група, то

Това свойство е вярно и ако n = .

Да отбележим, че

Въпроси към темата:

Подхвърля се зар с размери 9мм на 10мм на 11мм. Защо при този опит не е приложима класическа дефиниция за вероятност?

Ако зарът е с правилна форма. Намерете вероятността на събитието “След като е подхвърлен по случаен начин зарът показва четен брой точки”. А каква е вероятността на събитието той да покаже точно 6 точки?

Подхвърлете 1000 пъти правилен зар и се убедете, че действително броят на падналите се 6-ци е около 167. Защо това е така?

От тази дефиниция, лесно се получава следната формула за умножение на вероятностите.

Ако P(B)>0, то

Вярно е също, че ако P(А)>0

От последните две равенства получаваме формулата на Бейс, че когато P(А)>0 и P(B)>0



Формула за умножение на вероятностите се обобщава за повече от две събития:

Ако P(А_i)>0, за всяко i = 1,…,n

По-горе е написана една от всичките n! = 1…n формули за умножение на вероятностите. Останалите се получават като разместим по всички възможни начини местата на събитията А₁,…А_n.

Ще казваме, че събитията А и В са независими ако P( A / B ) = P( A ).

Не е трудно да се докаже, че ако P( A,B ) > 0, събитията А и В са независими тогава и само

тогава, когато

P( A,B ) = P( A )P( B ).

При повече от две събития имаме два вида независимост.

Четирите равенства, определящи независимостта в съвкупност на събитията А, В и С са следните

Общият брой на подобни равенства за независимост в съвкупност на n на брой събития е

Когато за няколко събития се говори, че са независими се подразбира, че са независими в съвкупност.

От независимост в съвкупност следва независимост 2 по 2. Обратното твърдение не е вярно.

Вероятностите на събитията от всяка пълна група събития се наричат априорни вероятности. Сумата им винаги е равна на 1.

Ако Н₁,…Н_n образуват пълна група и P(А)>0, то P(H₁/A),…,P(H_n/A) се наричат апостериорни

вероятности. Тяхната сума също е 1.

За всяка пълна група събития Н₁,…Н_n с положителни вероятности и за всяко събитие А е в

сила следната формула за пълната вероятност

P(A) = P(A/H₁)P(H₁)+ …+ P(A/ H_n)P(H_n).

Тя е вярна и когато пълната група съдържа  събития.

Когато проведеният опит е двуетапен, то е разумно пълната група събития да бъде съставена

от събития, описващи възможните изходи от първия етап на експеримента.

Най-общо казано, случайни величини са тези, чиято стойност се определя в резултат от някакъв експеримент. Те са функции на елементарното събитие.

На практика това означава, че тези величини имат едно и също поведение, но изобщо не е задължително след провеждането на експеримента те да имат еднакви стойности.

Когато за няколко случайни величини се говори, че са независими, се подразбира, че са независими в съвкупност.

Случайна величина, чиито възможни значения могат да се запишат като крайна или безкрайна числова редица се нарича дискретна случайна величина.

Таблицата

Тъй като “ = x₁”, “ = x₂”,…,“ = x_k”,… образуват пълна група събития, то

Функцията на разпределение на гореописаната дискретна случайна величина  e стъпаловидна с интервали на постоянство (-, x₁], ( x₁, x₂], … , ( x_k-1, х_k], …. В точката х_i, F_(x) скача нагоре, с величина на скока p_i. Ако възможните й значения x₁ ,…, x_k са краен брой, то функцията й на разпределение за х  (-, x₁] е 0, а за х  ( x_k, ] e 1.

Ако  е дискретна случайна величина, с възможни значения x₁ ,…, x_k,…,  е дискретна случайна величина, с възможни значения y₁ ,…, y_m,…,  е дискретна случайна величина, с възможни значения z₁ ,…, z_s, … лесно може да се докаже, че ,  и  са независими в съвкупност тогава и само тогава, когато за всяка тройка цели, положителни числа е в сила n, i, s е изпълнено

Нататък в този параграф x₁ < x₂ < … < x_k < … ще са запазени символи за възможните значения на дискретната случайна величина .

Последователно съединените с отсечки, точки с координати ( x₁, p₁ ), ( x₂, p₂ ), …,( x_k, p_k ),… образуват полигон (многоъгълник) на разпределение на .

Редът на разпределение и полигонът определят еднозначно функцията на разпределение на дискретната случайна величина. От тук следва, че за да бъдат няколко случайни величини еднакво разпределени е необходимо и достатъчно, те да имат един и същ ред на разпределение или да имат един и същ полигон.

Сумата х₁ р₁ + х₂ р₂ + …+ х_kр_k = се нарича средно значение (математическо очакване) на дискретната случайна величина  и се бележи с Е.

Сумата х₁² р₁ + х₂² р₂ + …+ х_к²р_к = се нарича втори момент на дискретната случайна величина  и се бележи с Е².

Най-вероятните, най-възможните значения на дискретната случайна величина  се наричат моди на  и се означават с mod . По-късно ще разгледаме една оценка на mod . Тя се нарича още емпирична мода М₀ т.к. се определя от емпиричните данни. Да отбележим, че емпиричната мода М₀ и теоретичната mod  са две различни величини.

Ако съществува неотрицателна функция , която да е такава, че

тя се нарича плътност на разпределение на , а случайната величина  се казва, че е абсолютно-непрекъснато разпределена.

1. Ако съществува производната на функцията на разпределение на случайната величина , тя съвпада с плътността на разпределение на .

2. Лицето на фигурата, определена от абсцисната ос и графиката на Р_(x) е равно на 1. Т.е.

.

3. Лицето на фигурата, определена от абсцисната ос и графиката на Р_(x) при х  [a, b) е равно на P(a   < b) = = F_(b) - F_(a). На следващата фигура тази част е защрихована.

Д
искретните случайни величини нямат плътност на разпределение, но имат ред на разпределение и функция на разпределение.

Когато  има плътност на разпределение Р_(x), средно значение (математическо очакване)

И в дискретния и в непрекъснатия случай са верни следните дефиниции и свойства.

1. Математическото очакване на константа е равно на същата константа.

2. Математическото очакване на константа, умножена по случайна величина е равно на същата константа, умножена по математическото очакване на случайната величина т.е.

3. Математическо очакване на сума от случайни величини е равно на сумата от математическите очаквания на случайните величини, т.е.

3. 
   Математическото очакване на произведение от независими случайни величини ₁,…,_n е
   

Лесно се доказва, че дисперсията е неотрицателно число и D = E² -(E)².

Да обърнем внимание на факта, че теоретичната D и емпиричната дисперсии са две различни величини. Както ще покажем по-късно, емпиричната дисперсия

е най-добрата оценка на теоретичната дисперсия, т.е. за D.

Дисперсията има следните свойства:

1. 
   Дисперсията на константа е нула, т.е. Dc = 0.
   
2. 
   Дисперсията на константа плюс случайна величина е равна на дисперсията на случайната
   

3. 
   Дисперсията на константа по случайна величина е равна на квадрата на константата по дисперсията на случайната величина, т.е. D(c)= c²D.
   
4. 
   Ако ₁, ₂, …, _n са независими случайни величини, то D(₁+…+_n)=D₁+…+D_n.
   

Вярно е, че

1. 
   D(₁ + ₂) = D₁ + D₂ + 2cov(₁,₁).
   
2. 
   cov(₁ , ₂) = Е(₁₂) - Е₁Е₂ .
   

Вярно е, че

1. 
   
   
2. 
   Ако случайните величини ₁ и ₂ са независими, то те са некорелирани, т.е.
   

3. 
   Случайните величини ₁ и ₂ са некорелирани тогава и само тогава, когато Е₁₂ =Е₁Е₂.
   

1. Математическото очакване може да приема произволни реални значения. Може ли да се каже същото за средноквадратичното отклонение?

2. Ковариацията може да приема произволни реални значения. Може ли да се каже същото за корелоционния коефициент?

3. Може ли математическото очакване на случайната величина  да е извън интервала от възможни значения на ? Може ли да се каже същото за mod ?