Лекция №1: Кинематика на непрекъснати среди

Материалните точки в разглежданата среда ще номерираме по следния начин. Във всеки момент време, t, всяка материална точка е разположена в дадена геометрична точка от пространството с координати (х₁,х₂,х₃). Тогава, на всяка материална точка еднозначно съпоставяме координатите, , на геометричната точка, в която тази материална точка се е намирала в началния момент, t = 0. Законът за движение на материалната точка с „номер” () може да се запише във вида:

При фиксирани стойности на , радиус-векторът в ур. (1.1) следва движението на материалната точка със съответния номер в пространството. Понеже, компонентите на r са координатите (х₁,х₂,х₃) на геометричната точка, където материалната точка е била разположена в момента t, то ур. 1.1 може да се запише по компоненти както следва:

Нека r да е нарастването на радиус-вектора, което характеризира преместването на една материална точка за малък интервал време t:

Tук, g_i (i = 1, 2, 3) са единичните базисни вектори на декартовата координатна система (Фиг. 1.1); използвали сме представянето на радиус-вектора и скоростта по компоненти:

Нарастването на радиус-вектора може да се развие в ред при малки стойности на t:

Като пренебрегнем малкия квадратичен член по t, и още по-малките членове от по-висок порядък, ур. 1.6 се свежда до:

Където използвахме ур. 1.4; u = vt e векторът на преместването, който представлява линейната част на нарастването на радиус-вектора, r. Понеже t e един малък (елементарен) интервал време, то и u един малък (елементарен) вектор.

Деформациите на твърдите тела са малки в сравнение с размерите на тези тела. По тази причина, както ще видим по-нататък в курса, количественото описание на тези деформации може да се построи като линеаризирана теория в термини на вектора на преместването, u(r,t).

От друга страна, деформациите при наличие на хидродинамично течение в течностите и газовете по правило са големи, и съответното теоретично описание се построява в термини на вектора на скоростта, v(r,t).

където V е малък обем от средата, а М е масата, която се съдържа в него. В общия случай, масовата плътност зависи от мястото и момента време:  = (r,t). За да характеризираме скоростта на изменение на масовата плътност в околност на дадена материална точка, диференцираме функцията по времето:

Тук, е радиус-векторът, който следва движението на материалната точка с номер . Предвид ур. 1.4, можем да представим ур. 1.9 във вида:

Където за краткост сме въвели означенията:

Първата производна в ур. 1.11 описва скоростта на изменение на масовата плътност в околност на дадена материална точка, и се нарича материална производна по времето. Втората производна в ур. 1.11 описва скоростта на изменение на масовата плътност в околност на дадена геометрична точка от пространството, и се нарича локална производна по времето. Уравнение 1.10 дава връзката между тези две производни.

Уравнение 1.10 е в сила за всяка функция от типа , не непременно за масовата плътност (r,t):

(1.12)

Тук f може да е скалар, или компонента на вектор или тензор. В частност, ур. 1.12 е в сила за всяка от компонентите на вектора на скоростта, v₁, v₂ и v₃, което означава, че във векторна форма можем да запишем:

Tук по дефиниция а е ускорението на дадена материална точка от средата.

1.3. Материални и локални координати; „картини” на Лагранж и Ойлер. Фактът, че можем да дефинираме непрекъснато скаларно поле на масовата плътност,  = (r,t), ни позволява да разглеждаме материалната среда като непрекъсната среда (continuous medium) като се абстрахираме от нейния молекулен строеж. Разбира се, моделът на дадена материална среда (газ, течност, твърдо тяло) като непрекъсната среда може да се прилага към обеми от средата, които са много по-големи от обема на отделните молекули. Идеята за непрекъсната среда води до предефиниране на понятието материална точка, а именно, „материална точка е всяка точка от непрекъснатата среда, в която е дефинирана масова плътност  = (r,t)”. В такъв случай, материалните координати, , можем да разглеждаме като непрекъснати променливи. Законът за движение се представя като еднозначно и обратимо съответствие между материалните точки от непрекъсната среда и геометричните точки от пространството, което показва коя материална точка () в коя геометрична точка () е разположена в даден момент време, t. В частност, освен ур. 1.2, можем да разглеждаме и обратната зависимост,

(1.14)

Предвид ур. 1.2 и 1.14, всяко свойство на напрекъсната материална среда може да се представи като функция на материалните координати, , и като функция на локалните координати, .

Представянето се нарича картина на Лагранж, а представянето се нарича картина на Ойлер. Картината на Лагранж е аналогична на описанието на система от дискретни материални точки. Картината на Ойлер е специфична за непрекъснатите среди и стои в основата на математическия формализъм за тяхното количествено описание.

1.4. Производна на интегрална величина по времето. Да разгледаме материален обем, V(t), който съдържа дадено множество от материални точки от средата (Фиг. 1.1). Нека да е стойността на някаква физическа величина за единица обем от средата, а F(t) да е интегралната стойността на тази величина за целия материален обем V(t):

Целта ни е да пресметнем производната на F по времето:

Понеже материалният обем V(t) се движи и деформира, границите на интегриране в ур. 1.16 зависят по времето. Проблемът може да се преодолее, като в ур. 1.16 направим смяна на интеграционните променливи, като използваме ур. 1.2:

където J е якобианът на координатната трансформация, който се задава от следната детермиманта:

В ур. 1.17, границите на интегриране не зависят от времето, и следователно можем да диференцираме само величините под знака на интеграла:

Mоже да се докаже (вж. по-долу), че

Заместването на ур. 1.20 в ур. 1.19 дава:

където сме използвали факта, че .

Детерминантата в ур. 1.18 може да се запише във вида:

Тук, _ijk e символът на Леви-Чивита, и се подразбира сумиране по повтарящите се индекси (правило на Айнщайн). Диференцирането на ур. 1.22 дава:

Със смяна на имената на сумационните индекси може да се докаже, че трите събираеми в скобите в ур. 1.23 са равни, и тогава:

където A_kn е адюнгираното количество на елемента J_kn от детерминантата:

По нататък, в сила е съотношението:

Tук, _nl е символът на Кронекер (т.е. компонентите на единичната матрица). И наистина, имаме:

където използвахме факта, че . Накрая, като отчетем, че , oт ур. 1.27 получаваме ур. 1.26.

За да докажем теоремата на Ойлер, най-напред ще използване ур. 1.24, заедно с дефиницията, ур. 1.18:

(1.28)

където накрая използвахме и ур. 1.26. В резултат получихме ур. 1.20.

Нека dr = (dx, dy, dz) да е разстоянието между две близки материални точки. Тогава, можем да запишем:

Където (dv_x, dv_y, dv_z) са компонентите на изменението на вектора на скоростта, v, a (x, y, z) са измененията на координатите на материалната точка за време t в хода на протичащ процес. Ако интеграционният обем е малък, можем да запишем:

По-нататък, като отчетем, че dV = dx dy dz, получаваме:

където използвахме ур. 1.29. Заместването на ур. 1.31 в ур. 1.30 дава:

което е форма на ур. 1.21.

Toгава, предвид ур. 1.32 получаваме:

За несвиваем флуид, поради произволния избор на обема V(t), получаваме:

При повечето процеси, течностите (за разлика от газовете) могат да се разглеждат като несвиваем флуид, и за тях се използва уравнението v = 0.

Нека в ур. 1.15 да положим f  , където  е масовата плътност. Тогава, получаваме:

(1.36)

където М е масата съдържаща се в материалния обем V. Поради закона за запазване на масата (ЗЗМ), имаме:

Поради произволния избор на обема V(t), подинтегралният израз в ур. 1.37 трябва да бъде равен на нула:

Последното уравнение, което по традиция се нарича уравнение за непрекъснатост (continuity equation) представлява локална форма на закона за запазване на масата. Ако в ур. 1.38 заместим производната по времето от ур. 1.10, получаваме друга еквивалентна форма на това уравнение:

Тук използвахме тъждеството ( v) = v + v. Величината j =  v се поток на масата (или плътност на потока на масата).

За да илюстрираме по добре смисъла на уравнението за непрекъснатост, нека да интегрираме ур. 1.39 по един произволно-избран фиксиран локален обем V_f:

(1.40)

Поради това, че V_f е фиксиран локален обем, в лявата страна на ур. 1.40 можем да разменим местата на обемния интеграл и производната по времето. В допълнение към това, в дясната страна на ур. 1.40 можем да приложим теоремата на Гаус–Остроградски:

където S_f e затворената повърхност окръжаваща обема V_f, а n e единичният векторът на текущата външна нормала към повурхността S_f. Лявата страна на ур. 1.41 задава изменението на масата съдържаща се в обема V_f за единица време. Дясната страна на ур. 1.41 изразява потока на маса през повърхността S_f на обема V_f; знакът минус означава, че този поток е насочен обратно на външната нормала, n, т.е. потокът е насочен отвън навътре. И така, ур. 1.41 гласи, че изменението на масата съдържаща се в обема V_f за единица време е равно на потока маса влизащ през повърхността S_f. Това е локална формулировка на закона за запазване на масата.

Tук v^(k) e векторното поле на скоростта нa k-тия компонент. Пълната масова плътност на материалната среда, , и нейната средна масова скорост, v, се дефинират както следва:

Чрез сумиране на всичките ур. 1.42, получаваме:

Предвид ур. 1.43 и 1.44, уравнение 1.45 добива вида:

Т.е. уравнението за непрекъснатост, ур. 1.39, е в сила и за многокомпонентна система в термини на пълната масова плътност, , и на средната масова скорост, v.

Като прибавим към двете страни на ур. 1.42, можем да приведем последното уравнение в следната еквивалентна форма:

(1.46)

Величината

ще наричаме дифузионен поток. Потокът I^(k) е пропорционален на относителната скорост на движение на k-тия компонент спрямо средната масова скорост, . Експериментално е установен следният емпиричен закон

наречен в чест на немския учен Adolf Fick (1829–1901), който пръв го е формулирал. Тук коефициентът D^(k) се нарича коефициент на дифузия (diffusion coefficient). С други думи, законът на Фик гласи, че дифузионният поток е пропорционален на градиента на концентрацията на съответния компонент и е насочен по посока на намаляването на концентрацията (последното следва от знака минус в ур. 1.48). Физически, зконът на Фик е израз на термичното (брауновото) движение на молекулите.

Предвид ур. 1.47 и 1.48, уравнение 1.46 добива вида:

(уравнение на конвективната дифузия) (1.49)

Тук допуснахме, че дифузионният коефициент D^(k) е константа (не зависи от мястото и времето), което е изпълнено в голям брой случаи; ²   е операторът на Лаплас. В ур. 1.49, членът се нарича конвективен и изразява промяната на концентрацията за единица време вследствие на хидродинамичен (конвективен) поток. Членът се нарича дифузионен и отчита масопреноса вследствие на дифузия на молекулите на на kтия компонент.

Лекция № 2: Тензори на деформацията и на скоростта на деформация

където се подразбира сумиране по повтарящите се индекси (правило на Айнщайн). Тук, х_k представлява дължината на проекцията на отсечката s върху оста x_k в момента t, докато e стойността на х_k в началния момент, t = 0. При деформация в непрекъснатата среда, дължината на материалната отсечка, s, се мени, като (k = 1,2,3) остава постоянно, понеже по дефиниция въпросната отсечка свързва две едни и същи материални точки. Тогава, диференцирането на ур. (2.1) дава:

Въведената тук величина,

се нарича тензор на скоростта на деформацията (rate-of-strain tensor). Като умножим ур. 2.3 по елементарния интервал време t и използваме връзката между преместването и скоростта, u_k = v_kt (вж. ур. 1.7), получаваме:

(strain tensor). В ковариантна форма, тези два тензора се записват както следва:

Tук, горният индекс ‘T’ означава транспониране (conjugation). Предвид ур. 2.3, следата на тензора е

За несвиваем флуид имаме v = 0 (виж ур. 1.35), и следователно . Аналогично, предвид ур. 2.4, следата на тензора е

За несвиваем флуид имаме u = 0, и следователно .

2.2. Деформация на разширение (разтягане). В този случай, движението на непрекъснатата среда се описва от уравнението (виж Фиг. 2.2):

(2.9)

където относителното разтягане по всяка една от трите оси се предполага, че е постоянно:

(За този тип деформация, на английски се използват термините “expansion”, “extension”, “dilatation” (British English) или “dilation” (American English).) Предвид ур. 2.9, за компонентите на вектора на преместването имаме:

Заместването на u_i от ур. 2.11 в ур. 2.4 дава:

С други думи, при направения избор на координатната система (Фиг. 2.2) матрицата на тензора на деформацията е диагонална, и компонентите по главния диагонал са относителните разтягания по трите оси:

Обемът на паралелепипеда на Фиг. 2.2 е V = x₁ x₂ x₃. Тогава имаме:

Следователно, относителното изменение на обема е равно на следата на тензора на деформацията, както и на дивергенцията на векторното поле на преместването: . Интерес предствляват следните два частни случая:

За случая илюстриран на Фиг. 2.3, законът за движение може да се представи във вида:

Предвид ур. 2.4, с диференциране на ур. 2.17 получаваме:

Oт ур. 2.18 веднага се вижда, че , т.е. обемът не се променя при разглежданата деформация.

където

Oчевидно тензорът е изотропен. Тензорът се нарича девиатор на тензора , в смисъл, че той изразява отклонението на от изотропен тензор (deviation = отклонение). Понеже , oт ур. 2.20 получаваме

С други думи, девиаторът описва деформация на прехлъзване, докато описва деформация на изотропно разширение. Понеже (виж ур. 2.4), като разделим ур. 2.19 на t, получаваме аналогично съотношение за тензора на скоростта на деформация:

където

Тук е девиаторът на тензора . Уравнения 2.19 и 2.22 показва, че тензорите на деформацията и на скоростта на деформация винаги може да се представят като сума от изотропна и девиаторна част. Този факт ще изполваме по-долу при анализа на връзките между деформациите и породените от тях напрежения в непрекъснатата среда.