Лекция 1
§1. Комплексни числа и полиноми
1. Определение и аритметични операции. Комплексно число се нарича наредената двойка от реални числа и . Две комплексни числа и са равни когато и . Между комплексните числа са определени аритметичните действия събиране и умножение,
,
.
Комплексното число от вида може да бъде отъждествено с реалното число , понеже има съгласуваност между аритметичните операции, и . Комплексното число се нарича имагинерна единица и се бележи с , . По формулата за умножение имаме
.
Освен това , следователно всяко комплексно число може да се запише във вида
,
или , където е означение за комплексното число. Записът се нарича алгебрична форма на запис на комплексното число . Ако е дадено комплексното число , то реалното число се нарича реална част на , а реалното число се нарича имагинерна част на , при което използваме следните означения и . Комплексното число се нарича комплексно спрегнато на и се бележи със , . Очевидно и освен това тогава и само тогава, когато е реално число ().
Величината се нарича модул на комплексното число . Лесно се вижда, че , т.е. . Да отбележим равенството .
Ако и , то в алгебричен запис събирането и умножението имат вида и .
Аритметичните операции имат свойства, напълно аналогични на тези при реалните числа,
и (комутативност),
и (асоциативност),
(дистрибутивност).
Аритметичните действия между комплексни числа извършваме следвайки познатите правила за работа с реалните числа и факта, че . Например за умножението имаме
.
Нулата в множеството на комплексните числа е комплексното число , а единицата е комплексното число и те играят същата роля както нулата и единицата в множеството на реалните числа.
Множеството на комплексните числа ще означаваме с (множеството на реалните числа се означава с ).
В множеството е определена и аритметичната операция деление, при което може да се дели на всяко комплексно число, различно от нула. Определяме като единственото комплексно число , за което . След умножаване последното равенство с получаваме , откъдето намираме
.
Множеството на комплексните числа е числово поле, понеже в него са определени двете аритметични операции събиране(изваждане) и умножение(деление) с указаните свойства на комутативност, асоциативност и дистрибутивност, при което може да се дели на всяко различно от нула число. Множеството на реалните числа и на рационалните числа също са числови полета. Съществуват и числови полета с краен брой елементи.
Множеството на комплексните числа може да се отъждестви с точките в една равнина (комплексна равнина) снабдена с декартова координатна система с оси и с начало точката (Рис. 1.1), при което на комплексно спрегнатото съответства точка, която е симетрична на относно абцисната ос, която се нарича още реална ос на комплексната равнина.
|
|
Рис. 1.1.
|
Рис. 1.2.
|
Ординатната ос се нарича имагинерна ос. Комплексното число се отъждествява още и с неговия радиус вектор, с начало в точката и край в точката , при което дължината на този вектор е точно . Аритметичните действия събиране и изваждане на двете числа и се съгласуват със събирането и изваждането на съответните вектори по правилото на успоредника (Рис. 1.2) .
Разстоянието между точките и е равно на дължината на вектора , т.е. на , при което е изпълнено неравенството на триъгълника
.
Прилагайки последното неравенство последователно, получаваме по-общото неравенство
.
Ако комплексното число е реално , то неговият комплексен модул съвпада с реалния (поради което и не възниква необходимост да ги различаваме чрез отделни означения).
Положението на точката в комплексната равнина се определя по единствен начин и от нейните полярни координати и (Рис. 1.3)
Рис. 1.3.
където , а е ъгълът между реалната ос и вектора , отчитан в положителна посока (обратна на въртенето на часовниковата стрелка). Този ъгъл се нарича още аргумент на комплексното число и се бележи с , . Когато , аргументът не е определен. От рис. 1.3 се вижда, че и , следователно можем да запишем
(1.1) ,
което се нарича тригонометрична форма на запис на комплексното число . От формулата (1.1) следва, че аргументът на не се определя еднозначно, а с точност до събираеми от вида , . По този начин се въвежда многозначната функция , която приема безбройно много стойности
, ,
където обикновено се определя да приема стойности от интервала . Ако обстоятелствата изискват, стойностите на могат да се определят в произволен полуотворен интервал с дължина , например . Когато пишем , обикновено се има предвид, че е някоя от стойностите на , например , но равенството (1.1) всъщност е изпълнено за всяка стойност на аргумента. Две комплексни числа и са равни, когато са равни техните модули, и , за някое . Последното означава равенство на техните аргументи, , при което последното равенство трябва да се схваща като равенство на две множества (две множества са равни, когато всеки елемент на едното принадлежи на другото и обратно).
Комплексното число се означава с ,
(1.2) ,
следователно , което се нарича екпоненциална (показателна) форма на запис на . Заменяйки с в (1.2) получаваме , следователно
, ,
които се наричат формули на Ойлер. Лесно се проверява, че функцията притежава обичайните свойства на експонентата
, , , ,
откъдето следва, че ако и , то
, ,
а също така следва и формулата на Моавър
.
Твърдение 1.1. Аритметичните операции, комплексното спрягане и модулът притежават следните основни свойства.
1) .
2) , .
3) , .
Доказателството на твърдение 1.1 се свежда до непосредствена проверка.
Да разгледаме уравнението
,
където е някакво комплексно число. За да намерим неговите решения, полагаме . Нека , където . Тогава
следователно и , , откъдето получаваме следните решения
, ,
които са безбройно много, но между тях само на брой са различни по между си, тъй като техните стойности се повтарят с период . Веднага се вижда, че , понеже
,
а функциите и са периодични с период . Една поредица от различни стойности се получава за . Така доказахме следното
Твърдение 1.2. Всичките решения на уравнението , , се дават по формулата
(1.3) , ,
където е някаква стойност на аргумента на .
За генериране различните решения на по формулата (1.3), може да се използва всяка поредица от на брой цели числа . В комплексната равнина корените са разположени по окръжност с център в началото и радиус , , и равно нарастване на аргумента с , образувайки правилен -ъгълник (Рис. 1.4).
Рис. 1.4.
2. Полиноми. Полином на една променлива се определя като функция, образувана посредством краен брой последователни операции събиране и умножение. Един полином има вида
(1.4) ,
където числата , , ..., , се наричат коефициенти на полинома. Най-високата степен на променливата, която участва в записа на полинома , се нарича степен на полинома и се бележи с . В записа (1.4) имаме и , точно когато . Полиномите от степен нула и само те са константи. Числото се нарича корен (нула) на полинома , когато . Полиномите могат да се събират и умножават, при което отново се получават полиноми.
Два полинома са равни тогава и само тогава, когато са от една и съща степен и коефициентите пред съответните степени на променливата са равни.
Между полиномите може да се определи операция на деление с остатък.
Теорема 1.1. Нека и са полиноми, при което . Тогава съществуват единствени полиноми и , за които
(1.5) ,
при което . Полиномът се нарича частно, а полиномът се нарича остатък от делението на полинома на полинома .
Доказателство. Да положим и . Съществуването ще докажем чрез индукция по степента . Ако , то можем да положим и , при което полагане очевидно е валидно равенството (1.5), както и изискването степента на остатъка да бъде строго по-малка от степента на делителя . По този начин индукционната база е налице. Да допуснем че твърдението е вярно за всички степени на делимото до някакъв ред и нека е полином от степен . Имаме
, ,
, .
Полиномът
е от степен по-малка или равна на . Съгласно индукционното предположение, полиномът може да се запише във вида
,
където . Сега за полинома получаваме представянето
,
,
където
, ,
което искахме да докажем. Нека сега имаме две представяния
и ,
където и . Тогава след изваждане и групиране получаваме
.
Ако и са различни полиноми, то в дясната страна на последното равенство ще стои полином от степен поне , докато от лявата страна сигурно стои полином от степен строго по малка от , което е противоречие. Следователно , откъдето веднага получаваме . По този начин доказахме единствеността на представянето (1.5).
Доказателството на теорема 1.1 съдържа в себе си и правилото за деление на полиноми чрез последователно изключване на най-високите степени в делимото.
Единственото конструктивно изискване към формулата (1.5) е степента на остатъка да бъде строго по-малка от степента на делителя .
Нека е полином, , и е някакво число. Да положим . Тогава съгласно теорема 1.2 съществува полином и константа , за които
(1.6) ,
където по необходимост и очевидно . От тук в частност следва верността на
Твърдение 1.3. Числото е корен на полинома , , тогава и само тогава, когато се дели на полинома без остатък, т.е. когато съществува полином , за който е налице равенството .
Да разгледаме отново представянето (1.6). Имаме
и .
След заместване в (1.6) и приравняване коефициентите пред съответните степени получаваме последователно
,
, , ..., , , ,
които могат да се запишат
,
,
...
,
,
.
Горните формули се използват практически за последователно намиране на коефициентите на частното и на остатъка , при което изчисленията могат да се подредят в таблица (правило на Хорнер)
Например да разделим полинома на полинома . За да изпълним правилото на Хорнер, съставяме таблица пресмятаме последователно търсените коефициенти на частното и остатъка.
|
1
|
-2
|
-3
|
2
|
5
|
2
|
1
|
0
|
-3
|
-4
|
-3
|
Следователно , а , което означава равенството
.
Едно от големите предимства на полето на комплексните числа се състои във възможността да намираме корените на алгебрични уравнения, които корени в общия случай могат да не са реални числа, например решенията на уравнението са двойката комплексно спрегнати числа . Следната теорема носи името основна теорема на алгебрата.
Теорема 1.2. Нека е полином с реални или комплексни коефициенти и . Тогава съществува поне едно комплексно число , което е корен на полинома, т.е. .
От теорема 1.2 и твърдение 1.3 следва, че всеки полином , за който , може да се запише във вида
,
където е някой негов комплексен корен, а е полином, за който . Продължавайки разсъждението по същия начин за и т.н. до изчерпване степента на , ще получим верността на следната
Теорема 1.3. Нека е полином с реални или комплексни коефициенти и . Тогава може да се запише във вида
(1.7) ,
където , , ..., са корените на полинома , а числото е старшият коефициент на .
Равенството (1.7) показва, че всеки полином от степен с реални или комплексни коефициенти има точно на брой комплексни (или реални) корени.
В качеството на пример да вземем уравнението . Решенията на това уравнение се наричат -ти корени на единицата, които съгласно (1.3) се дават по формулата
, .
Сега теорема 1.3 указва, че за полинома е в сила следното разлагане на линейни множители
.
3. Числови полета. Числовите полета са множества, в които са определени двете операции събиране и умножение, при което са налице познатите свойства на тези операции от числовото поле на рационалните числа , полето на реалните числа и полето на комплексните числа . Събирането и умножението са комутативни и асоциативни, а умножението се разпределя върху събираемите. Съществуват два специални елемента – нула и единица, които са неутрални съответно на събирането и умножението. Всяко число притежава обратно число относно събирането, което в сбор с него дава нула. Най-важното свойство на едно числово поле обаче се състои във възможността да делим на число, което е различно от нула, което означава, че всяко ненулево число притежава обратно относно умножението.
Разгледаните дотук числови полета съдържат безбройно много числа. Освен тях съществуват и крайни полета, които съдържат краен брой числа. Една такова поле например е – полето на остатъците по модул , където е някакво просто число. Естественото число се нарича просто, когато няма други делители освен себе си и числото . Прости са например числата , , , , и т.н. Простите числа са безбройно много.
При целите числа е валидно правилото за деление с остатък. Ако е някакво цяло число и е някакво естествено число, то съществува единствено цяло число и единствено цяло неотрицателно число , , за които е валидно равенството . В този случай числото се нарича частно, а числото се нарича остатък от делението на цялото число на естественото число . Записът означава, че разликата се дели на , т.е. и имат равни остатъци при делението на .
Полето се състои от остатъците, които се получават при делението на , т.е. от целите неотрицателни числа , , , ..., , които са по-малки от самото просто число . Полето съдържа точно на брой елемента. Операциите събиране и умножение са същите както при целите числа, само че за резултат се взема остатъкът на сбора или произведението по .
Например в имаме , понеже остатъкът на сбора при деление на е равен на . Аналогично , понеже остатъкът на произведението при деление на е равен на .
Комутативността и асоциативността на така определеното събиране и умножение в се проверяват непосредствено. Не е трудно да се съобрази, че двете операции са свързани с обичайния дистрибутивен закон. Нулата в е остатъкът , а единицата е остатъкът . Обратният елемент относно събирането на остатъкът , е остатъкът , понеже . Малко по-трудно е да се провери, че всеки ненулев елемент на има обратен относно умножението. Това свойство означава, че уравнението , , , има единствено решение в полето . Ако запишем това единствено решение по аналогия във вида , то фактически по този начин задаваме операцията деление, като обратна на операцията умножение.
Нека , . Да разгледаме остатъците , , , ..., по на произведенията на числото с числата , , , ..., , които представляват елементите на . Да допуснем, че между тези остатъци има два равни, , . Тогава разликата ще се дели на , следователно простото число дели произведението , което е невъзможно, понеже нито един от множителите и на се дели на . Тези остатъци са на брой и както вече установихме са различни по между си, следователно те представляват евентуално в някакъв друг ред елементите на . По този начин всеки остатък от , ще се срещне точно на едно място някъде в редицата , , , ..., , откъдето веднага заключаваме, че уравнението има решение, което освен това е единствено.
Например да разгледаме полето на остатъците . Правилата за събиране и умножение в са приведени в следните таблици.
Таблица за събиране в
|
0
|
1
|
2
|
3
|
4
|
0
|
0
|
1
|
2
|
3
|
4
|
1
|
1
|
2
|
3
|
4
|
0
|
2
|
2
|
3
|
4
|
0
|
1
|
3
|
3
|
4
|
0
|
1
|
2
|
4
|
4
|
0
|
1
|
2
|
3
|
|
Таблица за умножение в
|
0
|
1
|
2
|
3
|
4
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
1
|
0
|
1
|
2
|
3
|
4
|
2
|
0
|
2
|
4
|
1
|
3
|
3
|
0
|
3
|
1
|
4
|
2
|
4
|
0
|
4
|
3
|
2
|
1
|
|
Освен линейни уравнения, в могат да се решават и линейни системи отново по обичайния начин. Например да решим в системата
.
След умножаване на второто уравнение с 4 получаваме
.
Изваждаме първото уравнение от второто,
.
Сега замествайки намереното значение в първото уравнение, за получаваме , т.е. . Системата има единствено решение и .
Сподели с приятели: |