Лекция 1 комплексни числа и полиноми Определение и аритметични операции



Дата31.12.2017
Размер163.96 Kb.
#38401
ТипЛекция
Лекция 1

§1. Комплексни числа и полиноми

1. Определение и аритметични операции. Комплексно число се нарича наредената двойка от реални числа и . Две комплексни числа и са равни когато и . Между комплексните числа са определени аритметичните действия събиране и умножение,

,

.

Комплексното число от вида може да бъде отъждествено с реалното число , понеже има съгласуваност между аритметичните операции, и . Комплексното число се нарича имагинерна единица и се бележи с , . По формулата за умножение имаме



.

Освен това , следователно всяко комплексно число може да се запише във вида



,

или , където е означение за комплексното число. Записът се нарича алгебрична форма на запис на комплексното число . Ако е дадено комплексното число , то реалното число се нарича реална част на , а реалното число се нарича имагинерна част на , при което използваме следните означения и . Комплексното число се нарича комплексно спрегнато на и се бележи със , . Очевидно и освен това тогава и само тогава, когато е реално число ().

Величината се нарича модул на комплексното число . Лесно се вижда, че , т.е. . Да отбележим равенството .

Ако и , то в алгебричен запис събирането и умножението имат вида и .

Аритметичните операции имат свойства, напълно аналогични на тези при реалните числа,

и (комутативност),

и (асоциативност),

(дистрибутивност).

Аритметичните действия между комплексни числа извършваме следвайки познатите правила за работа с реалните числа и факта, че . Например за умножението имаме



.

Нулата в множеството на комплексните числа е комплексното число , а единицата е комплексното число и те играят същата роля както нулата и единицата в множеството на реалните числа.

Множеството на комплексните числа ще означаваме с (множеството на реалните числа се означава с ).

В множеството е определена и аритметичната операция деление, при което може да се дели на всяко комплексно число, различно от нула. Определяме като единственото комплексно число , за което . След умножаване последното равенство с получаваме , откъдето намираме



.

Множеството на комплексните числа е числово поле, понеже в него са определени двете аритметични операции събиране(изваждане) и умножение(деление) с указаните свойства на комутативност, асоциативност и дистрибутивност, при което може да се дели на всяко различно от нула число. Множеството на реалните числа и на рационалните числа също са числови полета. Съществуват и числови полета с краен брой елементи.

Множеството на комплексните числа може да се отъждестви с точките в една равнина (комплексна равнина) снабдена с декартова координатна система с оси и с начало точката (Рис. 1.1), при което на комплексно спрегнатото съответства точка, която е симетрична на относно абцисната ос, която се нарича още реална ос на комплексната равнина.





Рис. 1.1.

Рис. 1.2.

Ординатната ос се нарича имагинерна ос. Комплексното число се отъждествява още и с неговия радиус вектор, с начало в точката и край в точката , при което дължината на този вектор е точно . Аритметичните действия събиране и изваждане на двете числа и се съгласуват със събирането и изваждането на съответните вектори по правилото на успоредника (Рис. 1.2) .

Разстоянието между точките и е равно на дължината на вектора , т.е. на , при което е изпълнено неравенството на триъгълника



.

Прилагайки последното неравенство последователно, получаваме по-общото неравенство



.

Ако комплексното число е реално , то неговият комплексен модул съвпада с реалния (поради което и не възниква необходимост да ги различаваме чрез отделни означения).

Положението на точката в комплексната равнина се определя по единствен начин и от нейните полярни координати и (Рис. 1.3)

Рис. 1.3.

където , а е ъгълът между реалната ос и вектора , отчитан в положителна посока (обратна на въртенето на часовниковата стрелка). Този ъгъл се нарича още аргумент на комплексното число и се бележи с , . Когато , аргументът не е определен. От рис. 1.3 се вижда, че и , следователно можем да запишем

(1.1) ,

което се нарича тригонометрична форма на запис на комплексното число . От формулата (1.1) следва, че аргументът на не се определя еднозначно, а с точност до събираеми от вида , . По този начин се въвежда многозначната функция , която приема безбройно много стойности

, ,

където обикновено се определя да приема стойности от интервала . Ако обстоятелствата изискват, стойностите на могат да се определят в произволен полуотворен интервал с дължина , например . Когато пишем , обикновено се има предвид, че е някоя от стойностите на , например , но равенството (1.1) всъщност е изпълнено за всяка стойност на аргумента. Две комплексни числа и са равни, когато са равни техните модули, и , за някое . Последното означава равенство на техните аргументи, , при което последното равенство трябва да се схваща като равенство на две множества (две множества са равни, когато всеки елемент на едното принадлежи на другото и обратно).

Комплексното число се означава с ,

(1.2) ,

следователно , което се нарича екпоненциална (показателна) форма на запис на . Заменяйки с в (1.2) получаваме , следователно

, ,

които се наричат формули на Ойлер. Лесно се проверява, че функцията притежава обичайните свойства на експонентата



, , , ,

откъдето следва, че ако и , то



, ,

а също така следва и формулата на Моавър



.

Твърдение 1.1. Аритметичните операции, комплексното спрягане и модулът притежават следните основни свойства.

1) .

2) , .

3) , . 

Доказателството на твърдение 1.1 се свежда до непосредствена проверка.

Да разгледаме уравнението

,

където е някакво комплексно число. За да намерим неговите решения, полагаме . Нека , където . Тогава



следователно и , , откъдето получаваме следните решения



, ,

които са безбройно много, но между тях само на брой са различни по между си, тъй като техните стойности се повтарят с период . Веднага се вижда, че , понеже



,

а функциите и са периодични с период . Една поредица от различни стойности се получава за . Така доказахме следното



Твърдение 1.2. Всичките решения на уравнението , , се дават по формулата

(1.3) , ,

където е някаква стойност на аргумента на . 

За генериране различните решения на по формулата (1.3), може да се използва всяка поредица от на брой цели числа . В комплексната равнина корените са разположени по окръжност с център в началото и радиус , , и равно нарастване на аргумента с , образувайки правилен -ъгълник (Рис. 1.4).



Рис. 1.4.



2. Полиноми. Полином на една променлива се определя като функция, образувана посредством краен брой последователни операции събиране и умножение. Един полином има вида

(1.4) ,

където числата , , ..., , се наричат коефициенти на полинома. Най-високата степен на променливата, която участва в записа на полинома , се нарича степен на полинома и се бележи с . В записа (1.4) имаме и , точно когато . Полиномите от степен нула и само те са константи. Числото се нарича корен (нула) на полинома , когато . Полиномите могат да се събират и умножават, при което отново се получават полиноми.

Два полинома са равни тогава и само тогава, когато са от една и съща степен и коефициентите пред съответните степени на променливата са равни.

Между полиномите може да се определи операция на деление с остатък.

Теорема 1.1. Нека и са полиноми, при което . Тогава съществуват единствени полиноми и , за които

(1.5) ,

при което . Полиномът се нарича частно, а полиномът се нарича остатък от делението на полинома на полинома .

Доказателство. Да положим и . Съществуването ще докажем чрез индукция по степента . Ако , то можем да положим и , при което полагане очевидно е валидно равенството (1.5), както и изискването степента на остатъка да бъде строго по-малка от степента на делителя . По този начин индукционната база е налице. Да допуснем че твърдението е вярно за всички степени на делимото до някакъв ред и нека е полином от степен . Имаме

, ,

, .

Полиномът



е от степен по-малка или равна на . Съгласно индукционното предположение, полиномът може да се запише във вида



,

където . Сега за полинома получаваме представянето



,

,

където


, ,

което искахме да докажем. Нека сега имаме две представяния



и ,

където и . Тогава след изваждане и групиране получаваме



.

Ако и са различни полиноми, то в дясната страна на последното равенство ще стои полином от степен поне , докато от лявата страна сигурно стои полином от степен строго по малка от , което е противоречие. Следователно , откъдето веднага получаваме . По този начин доказахме единствеността на представянето (1.5). 

Доказателството на теорема 1.1 съдържа в себе си и правилото за деление на полиноми чрез последователно изключване на най-високите степени в делимото.

Единственото конструктивно изискване към формулата (1.5) е степента на остатъка да бъде строго по-малка от степента на делителя .

Нека е полином, , и е някакво число. Да положим . Тогава съгласно теорема 1.2 съществува полином и константа , за които

(1.6) ,

където по необходимост и очевидно . От тук в частност следва верността на

Твърдение 1.3. Числото е корен на полинома , , тогава и само тогава, когато се дели на полинома без остатък, т.е. когато съществува полином , за който е налице равенството . 

Да разгледаме отново представянето (1.6). Имаме



и .

След заместване в (1.6) и приравняване коефициентите пред съответните степени получаваме последователно



,

, , ..., , , ,

които могат да се запишат



,

,

...


,

,

.

Горните формули се използват практически за последователно намиране на коефициентите на частното и на остатъка , при което изчисленията могат да се подредят в таблица (правило на Хорнер)









...













...







Например да разделим полинома на полинома . За да изпълним правилото на Хорнер, съставяме таблица пресмятаме последователно търсените коефициенти на частното и остатъка.



1

-2

-3

2

5

2

1

0

-3

-4

-3

Следователно , а , което означава равенството

.

Едно от големите предимства на полето на комплексните числа се състои във възможността да намираме корените на алгебрични уравнения, които корени в общия случай могат да не са реални числа, например решенията на уравнението са двойката комплексно спрегнати числа . Следната теорема носи името основна теорема на алгебрата.



Теорема 1.2. Нека е полином с реални или комплексни коефициенти и . Тогава съществува поне едно комплексно число , което е корен на полинома, т.е. . 

От теорема 1.2 и твърдение 1.3 следва, че всеки полином , за който , може да се запише във вида



,

където е някой негов комплексен корен, а е полином, за който . Продължавайки разсъждението по същия начин за и т.н. до изчерпване степента на , ще получим верността на следната



Теорема 1.3. Нека е полином с реални или комплексни коефициенти и . Тогава може да се запише във вида

(1.7) ,

където , , ..., са корените на полинома , а числото е старшият коефициент на . 

Равенството (1.7) показва, че всеки полином от степен с реални или комплексни коефициенти има точно на брой комплексни (или реални) корени.

В качеството на пример да вземем уравнението . Решенията на това уравнение се наричат -ти корени на единицата, които съгласно (1.3) се дават по формулата

, .

Сега теорема 1.3 указва, че за полинома е в сила следното разлагане на линейни множители



.

3. Числови полета. Числовите полета са множества, в които са определени двете операции събиране и умножение, при което са налице познатите свойства на тези операции от числовото поле на рационалните числа , полето на реалните числа и полето на комплексните числа . Събирането и умножението са комутативни и асоциативни, а умножението се разпределя върху събираемите. Съществуват два специални елемента – нула и единица, които са неутрални съответно на събирането и умножението. Всяко число притежава обратно число относно събирането, което в сбор с него дава нула. Най-важното свойство на едно числово поле обаче се състои във възможността да делим на число, което е различно от нула, което означава, че всяко ненулево число притежава обратно относно умножението.

Разгледаните дотук числови полета съдържат безбройно много числа. Освен тях съществуват и крайни полета, които съдържат краен брой числа. Една такова поле например е – полето на остатъците по модул , където е някакво просто число. Естественото число се нарича просто, когато няма други делители освен себе си и числото . Прости са например числата , , , , и т.н. Простите числа са безбройно много.

При целите числа е валидно правилото за деление с остатък. Ако е някакво цяло число и е някакво естествено число, то съществува единствено цяло число и единствено цяло неотрицателно число , , за които е валидно равенството . В този случай числото се нарича частно, а числото се нарича остатък от делението на цялото число на естественото число . Записът означава, че разликата се дели на , т.е. и имат равни остатъци при делението на .

Полето се състои от остатъците, които се получават при делението на , т.е. от целите неотрицателни числа , , , ..., , които са по-малки от самото просто число . Полето съдържа точно на брой елемента. Операциите събиране и умножение са същите както при целите числа, само че за резултат се взема остатъкът на сбора или произведението по .

Например в имаме , понеже остатъкът на сбора при деление на е равен на . Аналогично , понеже остатъкът на произведението при деление на е равен на .

Комутативността и асоциативността на така определеното събиране и умножение в се проверяват непосредствено. Не е трудно да се съобрази, че двете операции са свързани с обичайния дистрибутивен закон. Нулата в е остатъкът , а единицата е остатъкът . Обратният елемент относно събирането на остатъкът , е остатъкът , понеже . Малко по-трудно е да се провери, че всеки ненулев елемент на има обратен относно умножението. Това свойство означава, че уравнението , , , има единствено решение в полето . Ако запишем това единствено решение по аналогия във вида , то фактически по този начин задаваме операцията деление, като обратна на операцията умножение.



Нека , . Да разгледаме остатъците , , , ..., по на произведенията на числото с числата , , , ..., , които представляват елементите на . Да допуснем, че между тези остатъци има два равни, , . Тогава разликата ще се дели на , следователно простото число дели произведението , което е невъзможно, понеже нито един от множителите и на се дели на . Тези остатъци са на брой и както вече установихме са различни по между си, следователно те представляват евентуално в някакъв друг ред елементите на . По този начин всеки остатък от , ще се срещне точно на едно място някъде в редицата , , , ..., , откъдето веднага заключаваме, че уравнението има решение, което освен това е единствено.

Например да разгледаме полето на остатъците . Правилата за събиране и умножение в са приведени в следните таблици.



Таблица за събиране в



0

1

2

3

4

0

0

1

2

3

4

1

1

2

3

4

0

2

2

3

4

0

1

3

3

4

0

1

2

4

4

0

1

2

3




Таблица за умножение в



0

1

2

3

4

0

0

0

0

0

0

1

0

1

2

3

4

2

0

2

4

1

3

3

0

3

1

4

2

4

0

4

3

2

1




Освен линейни уравнения, в могат да се решават и линейни системи отново по обичайния начин. Например да решим в системата

.

След умножаване на второто уравнение с 4 получаваме



.

Изваждаме първото уравнение от второто,



.

Сега замествайки намереното значение в първото уравнение, за получаваме , т.е. . Системата има единствено решение и .







Каталог: NVUMathLectures
NVUMathLectures -> §16. Задачи от пресмятане на вероятности Съдържание
NVUMathLectures -> Задачи от степенни редове Съдържание
NVUMathLectures -> Лекция 29 §29. Системи диференциални уравнения Нормални системи оду
NVUMathLectures -> Лекция 4 системи линейни уравнения Ранг на матрица. Теорема за базисния минор
NVUMathLectures -> Задачи от пресмятане на детерминанти Съдържание
NVUMathLectures -> Курсова работа по висша математика 1 за студенти задочно обучение
NVUMathLectures -> Лекция 19 §19. Случайни величини Определения и примери
NVUMathLectures -> Задача Намерете производните на следните функции а б в г д е ж


Сподели с приятели:




©obuch.info 2023
отнасят до администрацията

    Начална страница