Лекция 19 §19. Случайни величини Определения и примери

В този случай казваме, че случайната величина има биномно разпределение и пишем .

Изобщо ако имаме дискретно вероятностно пространство с множество на елементарни изходи (крайно или безкрайно), можем да определим една случайна величина , задавайки нейните стойности за всеки елементарен изход , . В този случай говорим за дискретна случайна величина (с извадъчно пространство ). Дискретните случайни величини се описват от таблицата на разпределение

Приемането на някаква определена стойност от страна на дадена дискретна случайна величина представлява случайно събитие. По този начин случайната величина определя пълна система от несъвместими събития , при което . Очевидно над едно дискретно вероятностно пространство могат да се задават най-различни случайни величини.

В повечето случаи вероятностните модели позволяват да се абстрахираме от конкретния вид на пространството , от което произлиза дискетната случайна величина и да разглеждаме основно нейното разпределение. В този смисъл всяка таблица от вида 19.1 задава разпределение на някаква случайна величина стига да бъде налице условието за нормировка .

Пример 19.5. Таблицата

Табл. 19.3.

задава разпределение на някаква дискретна случайна величина .

Нека е случайна величина. Тогава функцията се нарича функция на разпределение на . Ако е дискретна случайна величина, то има вида

.

Непосредствено от определението се получават следните основни свойства на функцията на разпределение.

1) е монотонно растяща.

2) и .

3) е непрекъсната отляво, .

Ако е дискретна случайна величина, то представлява стъпаловидна функция, прекъсната в точките , където е някоя стойност на с .

Освен дискретни ще разглеждаме и непрекъснати случайни величини. Една случайна величина се нарича непрекъсната, когато нейната функция на разпределение може да се представи във вида

където е някаква неотрицателна функция, определена за всяко и интегруема над всеки числов интервал. Функцията се нарича плътност на разпределение на непрекъснатата случайна величина . Една типична форма на плътност е показана на рис. 19.1.

Рис. 19.1.

Съгласно геометричната интерпретация на определения интеграл, вероятността

е равна на лицето на съответния криволинеен трапец (рис. 19.1). Ако е непрекъсната, то функцията на разпределение е непрекъсната за всяко , а в тези точки , в които плътността е непрекъсната функция, е диференцируема и . В частност, ако е непрекъсната навсякъде, представлява една примитивна на . Вероятността , на събитието стойността на разглежданата величина да се помества в интервала се дава по формулата

(19.1) .

Трябва да се помни обаче, че в теорията съществуват случайни величини с много по-сложен характер от определените дотук. Понеже събитието е достоверно, от формулата (19.1) намираме, че

(19.2) .

В повечето случаи можем да се абстрахираме от произхода на дадена непрекъсната случайна величина и да разглеждаме основно нейното разпределение. По този начин можем да приемем, че информацията за величината се изчерпва с формулата (19.1), което означава, че една непрекъсната случайна величина идентифицираме (при направените уговорки) посредством нейната плътност . В този смисъл всяка неотрицателна функция , за която е изпълнено условието за нормировка (19.2), поражда някаква непрекъсната случайна величина .

Съществуват много непрекъснати случайни величини, които имат принципно значение в теорията на вероятностите и математическата статистика. Определено най-важният пример се получава, ако разгледаме непрекъснатата случайна величина , която има плътност

(19.3) ,

където и са параметри, чиито смисъл ще бъде изяснен по-нататък. Не е трудно да се покаже, че така определената плътност удовлетворява условието за нормировка (19.2) и следователно наистина представлява вероятностна плътност. В този случай се казва, че случайната величина е разпределена нормално с параметри и , което се записва . При и разпределението се нарича нормално стандартно. Нормалните разпределения имат водещо значение в цялата теория. Вида на нормалното разпределение е показан на рис. 19.2.

Рис. 19.2.

Рис. 19.3.

Пример 19.6. Казва се, че непрекъсната случайна величина е разпределена равномерно в интервала , , когато има плътност (Рис. 19.4)

Рис. 19.4.

Рис. 19.5.

Да проверим условието за нормировка,

.

В този случай пишем .

Пример 19.7. Казва се, че непрекъсната случайна величина е разпределена експоненциално с параметър , когато има плътност

Да проверим условието за нормировка,

.

Графиката на тази плътност е показана на фиг. 19.5. В този случай пишем .

Непрекъснатите случайни величини представляват абстрактни математически понятия, доказали практически ползата от тяхното въвеждане и удобството за боравене с тях. Елементарен пример за пояснение на понятието непрекъсната случайна величина може да се получи въз основа на внимателен анализ на равномерно разпределена случайна величина от пример 19.6 с помощта на въображаем опит за случаен избор на точка от интервала . В този случай понякога се казва, че "хвърляме" по случаен начин точка в интервала и отчитаме нейното попадение . Ако положим , то се получава случайна величина, която е разпределена равномерно в . Тук извадъчното пространство представлява целия интервал . Множеството от събитията обаче има сложна природа, чието пълно описание надхвърля съдържанието на настоящия лекционен курс. Едно типично събитие представлява попадение на точката в зададен интервал , , при което

.

Изобщо задаването на непрекъснати случайни величини става посредством идеята за геометрична вероятност.

Пример 19.8. Ако (нормално стандартно разпределение), то

.

Интегралът в дясната страна на последното равенство не може да бъде приведен в по-елементарен вид, понеже съответният неопределен интеграл не може да се запише като краен израз от основните елементарни функции и основните алгебрични операции. Поради честата си употреба на много места стойностите на функцията на разпределение за нормалното стандартно разпределение са табулирани.

2. Съвместни, маргинални и условни разпределения. Дискретните случайни величини се представят чрез стойности и техните вероятности, които за прегледност могат да бъдат подредени в таблица. Непрекъснатите случайни величини се представят посредством техните плътности. В резултат на даден експеримент може да бъдат наблюдавани няколко случайни величини едновременно. В такъв случай можем да говорим за случайни вектори. Ако искаме да анализираме вероятностните връзки между две (или повече на брой) случайни величини, трябва да разполагаме с информация за тяхното съвместно разпределение.

Условието за нормировка в този случай е

(19.4) .

Тук , , ..., са възможните стойности на случайната величина , а , , ..., са възможните стойности на . Числата задават вероятността величината да има стойност , а величината да има стойност , , , което записваме . Случайните събития образуват пълна група несъвместими събития, които характеризират вероятностната схема. По този начин . Всяка от групите събития , , и , , също образува пълна група от несъвместими събития, които характеризират индивидуалното поведение съответно на величините и . По формулата за пълната вероятност имаме

,

следователно

(19.5) , .

Аналогично

(19.6) , .

По този начин от таблицата на съвместното разпределение получихме индивидуалните разпределения на и , които се наричат още маргинални разпределения.