Лекция 2 Хидростатично налягане ( неподвижни течности)

Хидростатиката изучава законите за равновесие на флуидите и взаимодействието им с ограждащите ги стени или потопените в тях изцяло или частично твърди тела. Равновесието е механично състояние на относителен покой между отделните флуидни частици. То е възможно, когато разглеждан флуиден обем, е неподвижен или се движи спрямо избрана координатна система по начин, при който отделните му съставни частици не изменят положението си една спрямо друга, т.е. когато целият обем се движи като твърдо тяло. При праволинейно движение това е възможно ако всички флуидни частици се движат с еднаква скорост или ускорение, а при криволинейно движение – с еднаква ъглова скорост, респективно с нормално ускорение. Равновесието на флуидите се определя от силовото взаимодействие и съществува само, когато векторната сума от всички външни сили и моменти или сумите от техните проекции по съответните координатни оси са равни на нула.

Във флуидите не могат да действат съсредоточени сили вследствие на свойството им да текат. Възможно е само действието на сили, които са непрекъснато разпределени във флуидния обем или по повърхнината, наречени съответно масови и повърхностни сили.
Масови сили.

Масовите сили са приложени върху всички частици на флуидния обем и са пропорционални на съответните им маси. Това са преди всичко теглото, инерционните сили на възможните преносни ускорителни движения на съда или системата, а също така и различните видове електромагнитни и други сили.

Непрекъснатото разпределение на масовите сили във флуидния обем дава основание да се приеме съществуването на съответни силови полета, чийто интензитет се определя по израза

,

където ΔF_M е главният вектор на масовата сила, действаща на масата Δm . Всъщност, интензитетът на силовото поле (специфична масова сила) може да се интерпретира физически като сила, действаща върху единица маса, разположена в полето, която по абсолютна стойност е равна на съответното ускорение.

Както се вижда, измерителната единица за специфична масова сила е идентична с измерителната единица за ускорение. Ако масовата сила е теглото на флуида G, то специфичната масова сила (интензитет) е земното ускорение:

Тъй като силата е векторна величина, то и специфичната масова сила е вектор и може да се представи чрез своите компоненти по отделните оси на координатната система:

където X,Y и Z са компонентите на специфичната масова сила по осите x,y и z.

Повърхностните сили са приложени по повърхността на разглеждания флуиден обем или отделни негови елементи. Те се обуславят от непосредственото въздействие на частиците на съседните флуидни обеми или на други тела (твърди или газове), които са в допир с разглеждания флуиден обем. В най-общия случай приложените върху произволен повърхностен елемент повърхностни сили биват нормални и тангенциални. Тези сили, отнесени към единица площ, определят съответните напрежения: нормални (за опън или натиск) – с направление по нормалата към повърхнинния елемент, и тангенциални - когато лежат в неговата равнина.

Поради малките кохезионни сили, респективно, свойството им да текат, флуидите не могат да понасят нормални напрежения на опън. В съответствие със закона на Нютон за триенето при флуидите в равновесие (неподвижни или движещи се без деформация) е невъзможно да съществуват тангенциални напрежения. Следователно вътрешното напрегнато състояние на флуидите в относителен покой се характеризира само с нормални напрежения на натиск и е значително по-просто от това на еластичните тела.

Налягане.

Нормалното напрежение на натиск при флуидите се нарича налягане и се бележи с р. Ако нормалната сила на натиск ΔР е равномерно разпределена по лицевия елемент Δf, налягането се определя с отношението

При неравномерно разпределение на силата на натиск от уравнението се определя средната стойност на налягането. В най-общия случай налягането в произволна точка е равно на границата на отношението

когато лицевият елемент Δf клони към нула така, че разглежданата точка да остава винаги в него.

Измерителната единица за налягане е N/m² = Pa. Тази единица за налягане се нарича Паскал и се бележи с Ра. Наред с нея се използват и следните производни единици: килопаскал (кРа = 10³Ра) и мегапаскал (МРа = 10⁶ Ра).

Налягането може да се измерва и в измерителна единица ‘височина на стълб флуид’. Тази измерителна единица се определя от възможността повърхностните сили, действащи в неподвижен флуид, да се представят като сила на теглото на слой течност, която упражнява натиск върху флуида в съответната повърхнина. Налягането на флуид, предизвиквано от силата на теглото на слой течност се определя от израза:

където ρ е плътност на течността, g – земно ускорение и h – е височина на слоя течност. Тъй като плътността на течността и земното ускорение са постоянни величини, то налягането е пропорционално на височината на слоя (стълб) течност и тя може да се използва като параметър за измерване на налягането в даден флуид. За измерване на налягането най-често се използват течностите живак и вода.

В практиката се използва и измерителна единица ‘физическа атмосфера’ (ata), съответстваща на атмосферното налягане на морското равнище, което е равно на 1,0332.10⁵ Ра, респективно на 760 mm Hg (живачен стълб) = 10332 mm H₂O (воден стълб).

В практиката все още се използва и понятието техническа атмосфера – 1 атм. = 0.981.10⁵ Pa = 736 mm Hg = 10000 mm H₂O. Това е измерителна единица в старата измерителна система и съответства на 1 kgf/см², където kgf е единица за сила (килограм сила). Нарича се атмосфера, защото е много близка по стойност до атмосферното налягане.

Освен горните измерителни единици се използва още една единица много близка по стойност до стойността на атмосферното налягане – bar (бар):

1 bar = 100000 Pa = 0.1 MPa.

Ако налягането се отчита като абсолютна стойност на повърхностните сили то се нарича абсолютно налягане. Много често то се отчита спрямо атмосферното налягане и се разглежда като разлика на абсолютното налягане и налягането на атмосферата Δp = p_a –p. В случай, когато абсолютното налягане е по-високо от атмосферното, разликата се нарича манометрично налягане (надналягане). Когато абсолютното налягане е по-ниско от атмосферното – разликата се нарича вакумметрично налягане (подналягане).

В дадена точка на флуидното пространство могат да се построят безброй равнини с различна ориентация. Във всяка от тези равнини действат повърхностни сили (налягания). Ако флуидът е в равновесие, тези налягания ще са само нормални. Съществен е въпросът как се променя налягането за различните повърхнини минаващи през дадена точка.

За определяне на налягането в различните повърхнини (площадки) се разглежда безкрайно малък тетраедър със страни dx, dy, dz. Той има 4 страни: площадка перпендикулярна на ос x, която има площ dS_x = dy.dz; площадка перпендикулярна на ос y, която има площ dS_y=dx.dz; площадка перпендикулярна на ос z, която има площ dS_z=dy.dx и площадка, затваряща тетраедъра с нормала към повърхността n и площ dS_n.

Повърхностните сили зависят от налягането p_x, p_y, p_z и p_n и площта ( dS_x, dS_y …..). Масовите сили се определят от специфичната масова сила F и от обема dV=dx.dy.dz_. Когато безкрайно малките величини dx , dy, dz се оставят да клонят към нула ( 0), то обемът U клони към нула (U0), по-бързо от S (защото се определя от произведението на три безкрайно малки величини). От математиката е известно, че при преход към нула на даден израз в който има безкрайно малки величини, променливите с по-голям порядък на безкрайно малки величини (по-висока степен) могат да се пренебрегнат. Тъй като повърхностните сили се определят от безкрайно малки величини от втори порядък (dS_x, dS_y ….), а масовите сили от величини от трети порядък те могат да се пренебрегнат. Условието за равновесие на силите действащи на флуида означава, че сумата от проекциите на всички сили върху отделните оси трябва да е нула:

Условия за равновесие:

ΣX = 0 → P_x = P_n . cos (n.x)

ΣY = 0 → P_y = P_n . cos (n.y) (2)

ΣZ = 0 → P_z = P_n . cos (n.z)

Където P_x, P_y, P_z са силите действащи в площадки dS_x, dS_y …, а P_n – сила действаща в площадка dS_n.

Наляганията в различните площадки се определя от изразите:

Площадките в координатните повърхнини dS_x, dS_y , dS_z се явяват проекции на площадката dS_n в съответните координатни равнини:

След заместване в уравненията за равновесие (2) се получава:

От тези равенства се получава окончателно:

p_x = p_y = p_z = p_n (3)

Това равенство може да се тълкува по следния начин: налягането във всички площадки минаващи през дадена точка от флуидното пространство на флуид, намиращ се в равновесие е еднакво. Това налягане се нарича хидростатично налягане.

При флуидите в равновесие поради липсата на тангенциални напрежения в произволна точка на флуидния обем налягането по всички направления остава еднакво и не зависи от ориентирането на лицевия елемент в пространството, по който то действа в дадената точка. То се характеризира само с големината си, която в дадена точка на флуидния обем и във фиксиран момент от време има напълно определена стойност. Следователно налягането може да се разглежда като скаларна величина, която е функция само на координатите и времето, т.е.

p = p(x, y, z, t).

Разгледаното свойство на флуидите в равновесие се отнася и за движение на идеалните флуиди. При движението на реалните флуиди обаче се появяват тангенциални напрежения, в резултат на които налягането в произволна точка не е еднакво и зависи от направлението на лицевия елемент, върху който е приложено.

Диференциалното уравнение на хидростатиката установява зависимостта на налягането в произволна точка във флуидното пространство от характера на действащите във флуида масови и повърхностни сили. За получаване на това уравнение се разглежда равновесието на елементарен флуиден обем с форма на паралелепипед (фиг.4) с дължина на ръбовете dx, dy, dz, Тъй като флуидът е в равновесие (неподвижен), силите действащи върху този елемент, трябва да са в равновесие. Тогава елементът се намира в относителен покой (равновесие) спрямо околното флуидно пространство.

В общия случай върху единица маса от паралелепипеда да действа масовата сила F с компоненти X, Y, Z. Ако по трите стени,пресичащи се в точка О, действа налягане р (хидростатично налягане), то по съответните противоположни стени на паралелепипеда налягането ще бъде

Тези стойности са в сила, когато изменението на дадена величина е линейно. Тъй като се разглежда безкрайно малък елемент от флуидното пространство, изменението на физическите величини се приема за линейно в този много малък елемент (физическите параметри са непрекъснати и не могат да претърпят големи изменения за малкото разстояние на което отстоят площадките в паралелепипеда).

Равновесието на елемента се записва като се положат на нула сумите от компонентите на всички сили по съответните оси.

Например за проекциите на силите по ос x може да се запише:

При по-нататъшното опростяване се получава:

Аналогично за проекциите по другите оси се получава:

Тези уравнения могат да се запишат във вида:

Тъй като масовата сила се представя във векторен вид като: F = X.i + Y.j + Z.k

където i, j, k са единичните вектори по осите x, y, z, а векторната функция grad (градиент) има вида:

,

то горните уравнения могат да се запишат във векторен вид:

В това уравнение F е вектор на специфичната масова сила (1). Ако то се запише като уравнения на съответните компоненти на векторите ще се получат три отделни уравнения, които ще са точно уравнения (5).

Горното уравнение може да се запише в още една форма (посредством потенциала на масовите сили). За целта се извършват следните операции:

1. 
   умножават се уравнения (5) съответно с dx, dy, dz
   
2. 
   събират се левите и десните страни на получените равенства:
   

От математиката е известно, че пълен диференциал на дадена функция се представя като:

Следователно дясната част на (7) е пълен диференциал и лявата част също трябва да е пълен диференциал на някаква функция. Ако се означи тази функция като φ = φ(x,y,z) и функцията е такава, че:

то лявата част на уравнение (7) може да се запише като пълен диференциал:

dφ = (X.dx + Y.dy + Z.dz).

Тогава уравнението за разпределение на хидростатичното налягане приема вида: