Лекция 29 §29. Системи диференциални уравнения Нормални системи оду

Общият вид на една нормална система е следният

(29.1)

където функциите , , са непрекъснати по съвкупност на променливите. Променливите , , ..., се наричат още фазови променливи. Системата (29.1) се решава относно фазовите променливи , , ..., , като функции на времето . С точка над символа на функция се означава диференциране. Под решение на (29.1) се разбира комплект от непрекъснато диференцируеми в даден отворен интервал функции , , ..., , които удовлетворяват (29.1) тъждествено за . При началната задача (задача на Коши) за системата (29.1) се задават начални условия

(29.2)

където е някаква точка от интервала , а началните условия , , ..., са дадени константи.

Под решение на началната задача (29.1-2) се разбира решение на системата (29.1), определено в някаква достатъчно малка околност на точката , което удовлетворява началните условия. Свойството единственост означава, че всеки две решения на началната задача (29.1-2) съвпадат в сечението на дефиниционните им интервали. За началната задача е в сила следната основна теорема за съществуване и единственост.

Теорема 29.1. Нека функциите , , са непрекъснати и имат непрекъснати частни производни

, , ,

по фазовите променливи , , ..., в някаква околност на началните данни . Тогава началната задача за системата (29.1) с начални условия (29.2) има решение, определено в някаква достатъчно малка околност на точката , което решение притежава свойството единственост. ■

С помощта на векторните означения,

, , ,

където е положено , , системата (29.1) се записва накратко във вида

(29.3) ,

а началната задача (29.1-2) във вида

(29.4)

Ако броят на фазовите променливи е малък, то обикновено се използват неиндексирани означения. Например при можем да пишем

а при

се нарича система на Лотка-Волтера и писва динамиката на екологичната система "хищник-жертва" в една затворена екосистема. Тук означава приблизително броят на жертвите в момент , а означава приблизително броят на хищниците.

Системата (29.1) се нарича автономна или още стационарна, когато координатните функции не зависят от времето,

, .

Системата от пример 29.1 е автономна.

Системата (29.1) се нарича линейна, ако зависи линейно от фазовите променливи,

(29.5)

Ако въведем матричните означения

, ,

то линейната система (29.6) се записва накратко

(29.6) .

Когато коефициентите на матрицата не зависят от времето, (29.6) се нарича линейна система с постоянни коефициенти,

(29.7) .

Ако всичките координатни функции на вектора са тъждествено нули, то линейните системи (29.6-7) се наричат хомогенни. Една хомогенна система с постоянни коефициенти е същевременно и автономна.

която, например при , представлява линейна автономна система с матричен запис

Ако е някакво решение на (29.3), определено в интервала , то съвкупността от точките , , се нарича интегрална крива на системата, а нейната проекция , , във фазовото пространство се нарича фазова крива.

При автономните системи (29.3) векторната функция определя векторно поле в дефиниционното множество на системата, което се нарича поле на направленията.

Пример 29.3. Да разгледаме автономната система

На рис. 29.1 е илюстрирано полето на направленията в квадрата , .

Рис. 29.1.

Фазовите криви на автономна система не се пресичат. Една фазова крива за автономната система (29.3) може да се състои само от единствена точка , когато . Такива точки се наричат стационарни точки за системата. Полето на направленията се явява допирателно във всяка точка на дадена фазова крива.

Уравнението от -ти ред

посредством полагането

се свежда формално към системата

откъдето следва и валидността на правилото за интегриране по части

Нека е матрица. Функцията , където е числова величина, се развива в степенен ред

Ако заместим формално ще получим равенството

Матричният ред в дясната страна на равенството е сходящ и неговата граница се нарича експонента на матрицата и се бележи с . Ако две матрици и комутират, т.е. , то за матричната експонента е в сила равенството . В частност

Експонентата се оказа винаги обратима матрица. Освен това

където е следата на матрицата .

Началната задача (29.4) е еквивалентна на едно интегрално уравнение

(29.8) ,

което за линейна хомогенна система с постоянни коефициенти има вида

(29.9) .

Системата (29.9), както разбира се и (29.8), могат да се решават по метода на последователните приближения, който ще опишем подробно за линейната система (29.9). Методът на последователните приближения означава да фиксираме едно начално приближение на търсеният вектор от функции и всяко следващо приближение да търсим по формулата

(29.10) .

Да положим . Тогава по формулата (29.10) намираме следната редица от приближения



,

,

,

изобщо

което можем да запишем във вида

(29.11) .

Съгласно определението за експонента на матрица, при сумата в скобите от дясната страна на (29.11) клони към експонентата , следователно методът на последователните приближения дава граница

(29.12) .

Като направим граничен преход в (29.10) при се получава, че границата удовлетворява уравнението (29.9), което показва, че се явява решение на началната задача (29.4). След почленно диференциране на дясната страна на равенството

се получава

което показва, че

следователно матрицата се явява решение на матричната начална задача

Матрицата се нарича още нормирана фундаментална матрица за системата. Формулата (29.12) може да се запише във вида

(29.13) .

Понеже всяко решение на системата

(29.14)

се явява решение на някаква начална задача, то общото решение на (29.14) се дава по формулата

където , , ..., са произволни константи, които фактически се явяват началните условия при .

(29.15) .

Тук матрицата има вида

,

следователно

а следващите степени се повтарят с период . Тогава

Общото решение на системата (29.15) се получава от формулата

където и са произволни константи, които всъщност представляват началните условия при , т.е. и . В разгърнат вид имаме

(29.16) .

Тук матрицата има вида

,

в който е представена като сбор от две комутиращи събираеми, понеже единичната матрица комутира с всяка друга матрица. Очевидно

а от пример 29.4 знаем, че

следователно

Общото решение на системата (29.16) се получава от формулата

където и са произволни константи. В разгърнат вид имаме

Да разгледаме сега началната задача за линейна нехомогенна система с постоянни коефициенти

(29.17)

и да положим . Имаме . Заместваме в (129.7) и намираме

следователно удовлетворява съотношенията и , откъдето непосредствено получаваме

Сега въз основа на полагането намираме формулата

която задава търсеното решение на началната задача (29.17). Методът чрез който получихме решенето се нарича метод на Лагранж. По този начин доказахме следната теорема.

(29.18) . ■

В частност общото решение на уравнението

се дава по формулата

където е вектор, чиито координати са произволни константи.

От пример 29.4 знаем, че за матрицата

имаме

Замествайки във формулата (29.18) намираме

Случаят на линейна система с непостоянни коефициенти

(29.19) ,

където за простота ще предполагаме, че матрицата и функцията са определени и непрекъснати за всяко , се третира напълно аналогично от гледна точка на теорията. По метода на последователните приближения може да се докаже съществуването на нормирана фундаментална матрица , представляваща решение на матричната начална задача

Матрицата се нарича оператор на транслация по траекториите на хомогенната система . Чрез този оператор решението на началната задача

се дава по формулата

която формула представлява аналог на (29.18).

Въведените за случая на линейни уравнения от висок ред понятия също имат аналози при линейните системи. Ако една матрица удовлетворява матричната система , то всеки неин стълб се явява решение на векторната система и обратно, ако имаме на брой решения , , ..., на векторното уравнение, то след като ги подредим в стълбове се получава матрица решение на матричното уравнение. Детерминантата на тази матрица се нарича детерминанта на Вронски за въпросните решения. За детерминантата на Вронски е в сила познатата алтернатива, че или навсякъде е различна от нула или навсякъде е равна на нула. Първият случай съответства на линейно независими решения, а вторият случай на линейно зависими решения. Когато решенията са линейно независими, т.е. когато , се казва, че решенията образуват фундаментална система. Фундаменталните системи имат ролята на базиси в пространството от решенията на хомогенната векторна система, което пространство има размерност . Матрицата , получена от фундаментална система от решения, се нарича фундаментална матрица за линейната система. Ако и са две фундаментални матрици, то между тях съществува проста връзка, , където е някаква матрица с .

3. Устойчивост при линейни системи с постоянни коефициенти. В този раздел ще разгледаме важния за практиката въпрос за устойчивост на решенията. В случая на произволна система понятието устойчивост има локален характер, докато при линейните системи това свойство се проявява глобално, поради тяхната сравнително елементарната природа.

Да разгледаме оператора на диференциране , както при изследването на линейните уравнения с постоянни коефициенти. Тогава системата може да се запише във вида

или още

което в съкратен вид е . Да означим детерминантата на с , т.е. . Получаваме един полином на от степен ,

който представлява характеристичният полином на матрицата и се нарича още характеристичен полином на линейната система. Ако умножим отдясно (29.20) с присъединената матрица на , ще получим

което означава, че всяка координата на решението удовлетворява едно линейно диференциално уравнение от ред с постоянни коефициенти. Така доказахме

където е характеристичният полином на системата. ■

Нека и . С помощта на теоремата на Лопитал лесно се доказва, че

.

Ако е полином, то е линейна комбинация от степени на следователно

За всяко функциите и са ограничени по модул от единица. По този начин доказахме верността на следното твърдение.

От твърдение 29.2 следва верността на

на линейното хомогенно скаларно уравнение с постоянни коефициенти

(29.21)

имат отрицателни реални части. Тогава всяко решение на уравнението (29.21) клони към нула при . Освен това, ако е избрано така, че за всеки корен на , то за някоя константа е в сила оценката

при всяко .

където , и са полиноми, а сумите са разпрострени върху реалните корени и комплексните корени . Сега доказателството на първата част се получава след прилагане на твърдение 29.2. Втората част на твърдението се доказва аналогично. ■

Вече сме готови да докажем

Твърдение 29.4. Нека всичките собствени значения на матрицата имат отрицателни реални части. Тогава всяко решение на хомогенната система клони към нула при .

Доказателство. Съгласно твърдение 29.1 координатните функции , , на решението удовлетворяват уравнението с постоянни коефициенти

,

което има характеристичен полином . По определение корените на представляват собствените значения на матрицата , следователно по условие всичките корени на имат отрицателни реални части. Сега доказателството следва от твърдение 29.3. ■

Нека е някакво решение на нормалната система , определено за . Това решение се нарича асимптотично устойчиво, когато за всяко друго решение с достатъчно близко до начално условие също е определено за и освен това е изпълнено

.

Устойчивостта означава, че малките смущения не променят съществено траекторията на решението . Такова състояние на нещата е благоприятно за много физически системи, понеже липсата на устойчивост води до нежелани даже разрушителни ефекти.

Следва теоремата за устойчивост.

Теорема 29.3. Нека функцията е непрекъсната за и нека всичките собствени значения на матрицата имат отрицателни реални части. Тогава всяко фиксирано решение на системата е асимптотично устойчиво.

Доказателство. Нека е някакво друго решение. Тогава разликата се явява решение на хомогенната система и клони към нула при съгласно твърдение 29.4. С това теоремата е доказана. ■

Внимателният преглед на горните разсъждения показва, че всъщност тук е доказано повече отколкото се иска в общото локално определение за устойчивост. Първо, теорема 29.3 не предявява изискване за близост между началните условия на и , което означава, че всяко друго решение с нарастване на времето клони към предварително фиксираното . Второ, няма никакви изисквания за въпросното , т.е. фактически всяко конкретно решение на системата се явява асимптотично устойчиво. В това именно се състои глобалната устойчивост на линейните системи с постоянни коефициенти, която разбира се е налице при изпълнение на условието за собствените числа на матрицата .

(29.22)

и нека е стационарна точка за системата, т.е. . Тази стационарна точка се явява едно решение за (29.22), . Неговата устойчивост може да се изследва ефективно по така нареченото първо приближение. Идеята се състои в развиване на по Тейлър в околност на точката ,

(29.23) ,

където е якобианът – матрицата производна на изображението , пресметнат за , който в разгърна вид представлява матрицата

.

В този случай е валидна

Идеята на доказателството на последната теорема се основава на факта, че при наличие на нейните условия сложната в общия случай нелинейна система в някаква достатъчно малка околност на точката има същия характер както значително по-простата линейна система , която се получава след отстраняване събираемите от втори и по-висок ред от тейлъровото развитие.