Лекция №3: Динамика на непрекъснати среди



Дата25.02.2018
Размер115.3 Kb.
#58831
ТипЛекция
Лекция № 3: Динамика на непрекъснати среди

3.1. Баланс на импулса. Докато в раздел „кинематика” разгледахме теоретичното описание на движението на непрекъснати среди, в раздел „динамика” ще отчетем влиянието на дейтвуващите сили. За целта, да разгледаме един материален обем, V, от средата, който е ограден от повърхност, S; виж Фиг. 3.1. Анализът на движението на непрекъснатите среди показва, че в огромен брой случаи e достатъчно да разгледаме два типа сили. (1) Масова сила (body force) с ускорение f, която действува на всяка молекула от течността; типичен пример е гравитационната сила, за която f е земното ускорение: f = g. По правило, това е далекодействуваща сила. (2) Повърхнинна сила (surface force), която дейтвува върху повърхността на кой да е материален обем, V, от средата. Както е илюстрирано на Фиг. 3.1, повърхнинната сила може да се характеризира с вектор-напрежение, р(n), който изразява силата, която действува на единица площ от малка площадка с външна нормала n. В дадена точка от средата, р зависи от ориентацията на площадката; тази ориентация се характеризира от единичната нормалата към нея, n, т.е. р = р(n). Величината р(n) отчита ефекта от близкодействуващите сили в непрекъснатите среди.


Фиг. 3.1. Скица на материален обем, V, от непрекъснатата среда; ds е елементарен участък от повърхността S на обема V; n е външната нормала към ds, а р(n) е векторът напрежение, който действува на 1 площ от ds.

Предвид казаното по-горе, вторият закон на Нютон за постъпателното движение на разглеждания произволен материален обем V (Фиг. 3.1) има вида:



(баланс на импулса) (3.1)

В лявата страна на ур. 3.1 стои изменението на импулса с времето, а в дясната страна стои сумата от масовата и повърхнинната сили действуващи върху обема V от непрекъснатата среда. По същество, ур. 3.1 е постулат, който изразява закона за баланса на импулса (ЗБИ; balance of linear momentum) в интегрална форма. За да получим локалната форма на този закон (вж. ур. 3.16 по-долу), нека най-напред да преобразуваме лявата страна на ур. 3.1. С помощта на ур. 1.21 получаваме:



(3.2)

където използвахме дефиницията на ускорението, a = dv/dt, както и уравнението за непрекъснатост, ур. 1.38. Предвид ур. 3.2, можем да представим ур. 3.1 във вида:



(3.3)

3.2. Тензор на напреженията. Ур. 3.3 е в сила за всеки избор на обема V. За нашите нужди по-долу ще бъде удобно да изберем този обем във вид на триъгълна пирамида, както е показано на Фиг. 3.2. За целта, избираме една произволна точка О от непрекъснатата среда, и в нея въвеждаме декартова координатна система Ох1х2х3. След това, прекарваме равнина с нормала n, от която координатните равнини отсичат триъгълник АВС (Фиг. 3.2).


Фиг. 3.2. Помощен обем във формата на пирамида ОАВС, който се използва при извеждане на ур. 3.10; g1, g2 и g3 са единичните вектори на декартовия базис.

Нека размерите на пирамидата ОАВС да са достатъчно малки, така че да можем да представим ур. 3.3 във вида:



(3.4)

Тук SABC е лицето на триъгълника АВС, и т.н.; използавли сме факта, че външните единични нормали към триъгълниците ОВС, ОАС и ОАВ са, съответно, векторите g1, g2, и g3. Освен това, ако въведем означението SABCS, имаме:



(SABCS) (3.5)

О сме използвали факта, че триъгълникът ОАВ е ортогонална проекция на триъгълника АВС върху координатната равнина х1х2 (Фиг. 3.2). Аналогично получаваме:



(3.6)

Като заместим ур. 3.5 и 3.6 в ур. 3.4, и разделим на S, получаваме:



(3.7)

Като следваща стъпка, извършваме граничен преход, при който равнината АВС се приближава към точката О (Фиг. 3.2). При този преход, пирамидата ОАВС ще се свива в точка, оставайки подобна сама на себе си, като нейният обем и повърхност ще клонят към нула: V0, S0. Ако а е дължината на страната АО, имаме Va3, Sa2, и тогава отношението V/A  a ще клони към нула при а0. Следователно, при разглеждания граничен преход дясната страна на ур. 3.7 клони към нула, и така получаваме:



(3.8)

Ако в последното равенство положим n = gk, получаваме:



(3.9)

В дясната страна на ур. 3.8 заместваме , което води до:



(3.10)

Векторът напрежение може да се развие по компоненти: . Тогава, ур. 3.10 добива вида:



(3.11)

Тук и по долу използваме правилото на Айнщайн, т.е. подразбираме сумиране по повтарящите се индекси. Teнзорът на напреженията се дефинира както следва:



(3.12)

Тогава, ур. 3.11 се записва в компактен вид:



(3.13)

Физическият смисъл на компонентите ik на тензора на напреженията, , е илюстриран на Фиг. 3.3. С помощта на ур. 3.13 и теоремата на Гаус-Остроградски получаваме:



(3.14)

Комбинирането на ур. 3.3 и 3.14 дава:



(3.15)

Поради това, че изборът на обема V е произволен, подинтегралният израз в ур. 3.15 трябва да бъде равен на нула:



(локална форма на ЗБИ) (3.16)

И така, получихме търсената локална форма на закона за баланса на импулса.




Фиг. 3.3. Посока на действие на деветте компоненти на тензора : Първият индекс съвпада с номера на оста, която е перпендикулярна на съответната страна; вторият индекс отговаря на номера на оста, по която е насочена съответната сила.


3.3. Баланс на момента на импулса. Вторият закон на Нютон за въртеливото движение на разглеждания произволен материален обем V (Фиг. 3.1) има вида:

(баланс на момента на импулса) (3.17)

където r е радиус-вектор (сравни с ур. 3.1). В лявата страна на ур. 3.17 стои изменението на момента на импулса с времето, а двата интеграла в дясната страна изразяват моментите на масовата и повърхнинната сили действуващи върху обема V.. По същество, ур. 3.17 е постулат, който изразява закона за баланса на момента на импулса (ЗБМИ; balance of angular momentum) в интегрална форма. За да получим локалната форма на този закон (вж. ур. 3.23 по-долу), нека най-напред да преобразуваме лявата страна на ур. 3.17. С помощта на ур. 1.21 получаваме:



(3.18)

Под знака на последния интеграл, вторият член е равен на нула, понеже v = dr/dt и vv = 0 а третият член същто е нула предвид уравнението за непрекъснатост, ур. 1.38. Така, използвайки дефиницията на ускорението, a = dv/dt, привеждаме ур. 3.18 във вида:



(3.19)

Oт ур. 3.13 следва:



(3.20)

По-нататък, с помощта на ур. 3.20 и теоремата на Гаус-Остроградски получаваме:



(3.21)

Заместването на ур. 3.19 и 3.21 в ур. 3.17 дава:



(3.22)

Поради това, че изборът на обема V е произволен, подинтегралният израз в ур. 3.22 трябва да бъде равен на нула:



(локална форма на ЗБMИ) (3.23)

3.4. Симетрия на тензора на напреженията. Уравнение 3.23 подлежи на по-нататъшно преобразуване. За целта, първо ще извършим диференцирането в последния член, като използваме запис по компоненти:

(3.24)

Тук jkh e символът на Леви-Чивита. Като заместим ур. 3.24 в ур. 3.23 и прегрупираме членовете, получаваме:



(3.25)

Поради ЗБИ (ур. 3.16), лявата страна на ур. 3.25 е равна на нула, и така получаваме:



(3.26)

Понеже символът jkh e антисиметричен по всяка двойка от индексите си (при размяната им jkh сменя знак), от ур. 3.26 следва че тензорът hk e симетричен. Това може да се докаже като умножим ур. 3.26 по jmn със сумиране по j:



(3.27)

С други думи,



(m,n = 1, 2, 3) (3.28)

т.е. от ЗБМИ следва, че тензорът на напреженията трябва да бъде симетричен. Това общо свойство на тензора трябва да се удовлетворява от различните реологични модели н непрекъснати среди, вж. лекция № 4. [Трябва да отбележим, че някои специални неизотропни среди (например течни кристали), т. нар. континууми на Косерá (Cosserat), се характеризират с обемна плътност на вътрешни моменти, което води до появата на допълнителен член в ур. 3.17, и тогава тензорът не е симетричен.]

Лекция № 4: Реология на непрекъснати среди

4.1. Предмет на реологията. За да можем да дадем количествено описание на движението в една непрекъсната среда, необходимо е в баланса на импулса, ур. 3.16, да въведем допълнителна информация за силите (напреженията) действуващи в тази среда, т.е. за тензора на напреженията . Напреженията в непрекъснатите среди се пораждат от деформациите в тях. Реологията е област от механиката на непрекъснатите среди, която се знимава с връзките между напрежения и деформации. Названието „реология” идва от гръцките думи  = течение  = учение, наука. В общия случай, тензорът се представя като функция на тензорите на деформацията, , и на скоростта на деформация, :

(реологично съотношение) (4.1)

Всяка конкретна форма на връзката съответствува на даден реологичен модел като, например, моделите на идеално еластично твърдо тяло, идеален флуид, вискозен флуид, виско-еластично тяло и др., за които ще стане дума по долу. Връзката се нарича реологично съотношение за въпросната непрекъсната среда (constitutive relation). Всеки от реологичните модели има приложимост към определен клас системи и процеси, но има други системи и процеси които излизат извън рамките на неговата приложимост. Така например, капилярните вълни върху течна повърхност се описват успешно с модела на идеален флуид, докато адекватното описание на движението на сферична частица в течност изисква да се използва по сложният модел на вискозен флуид.



4.2. Модел на идеално еластично твърдо тяло. Както бе споменато в раздел 2.4, членът в ур. 2.19 описва деформация на изотропно разширение, а „девиаторът” описва деформация на прехлъзване. В модела на идеалното еластично твърдо тяло се допуска, че напреженията при изотропно разширение и прехлъзване са пропорционални на съответните деформации, и тензорът на напреженията се записва като линейна комбинация от съответните части от тензора на деформацията:

(4.2)

Тук и са коефициенти на пропорционалност, които се наричат коефициенти на Ламè. Така, при деформация на изотропно разширение = 0, и тогава . От друга страна, при деформация на прехлъзване имаме , и тогава . По тази причина, се нарича коефициент на еластичност при разширение, а се нарича коефициент на еластичност при прехлъзване.

Като заместим от ур. 2.20 в ур. 4.42, получаваме:

(4.3)

По нататък, като имаме предвид, че



(4.4)

получаваме:



(4.5)

Заместването на ур. 4.5 в закона за баланса на импулса, ур. 3.16, дава:



(уравнение на Навиè) (4.6)

(Използвахме факта, че ускорението е a = d2u/dt2.) Ур. 4.6 се нарича уравнение на Навиè в теорията на линейната еластичност по името на френския учен Claude-Louis Navier, 1785-1836. През 1821 г., Навиè пръв е формулирал линейната връзка между напрежения и деформации (ур. 4.2) и е извел уравнение аналогично на ур. 4.6. Решението на ур. 4.6, u = u(r,t), описва деформациите в идеалното твърдо тяло. Като използваме тъждеството



(4.7)

можем да преобразуваме ур. 4.6 във вида



(4.8)

За отбелязване е, че понякога се дефинира друг коефициент на еластичност, , такъв, че , и тогава ур. 4.8 добива вида:



(4.8а)

Обаче, предвид казаното по горе, не е чист коефициент на еластичност при разширение, но съдържа и принос от еластичността при прехлъзване.



4.3. Модел на идеален флуид. За идеален флуид по дефиниция имаме:

(закон на Паскал) (4.9)

(Blaise Pascal, 1623–1662, бележит френски математик, физик и филисоф). Уравнение 4.9 съответствува на изотропно налягане; величината р се нарича скаларно налягане. Диференцирането на ур. 4.9 дава:



(4.10)

Като заместим ур. 4.10 в баланса на импулса, ур. 3.16, получаваме:



(уравнение на Ойлер) (4.11)

(Leonhard Euler, 1707–1783, бележит швейцарски математик и физик, прекарал голяма част от живота си в Санкт Петербург, Русия). Уравнението на Ойлер е основа на механиката на идеалните флуиди. Един флуид има поведение на идеален ако движението е достатъчно бавно, или ако вътрепното триене в него е много малко. Може да се докаже, че при обтичане от идеален флуид телата не изпитват съпротивление и отсъствува подемна сила (която поддържа птиците и самолетите във въздуха). За количествено описание на последните ефекти трябва да се отчита вътрешното триене във флуидите, т.е. техният вискозитет.



4.4. Модел на вискозен (Нютонов) флуид. По дефиниция, реологичното съотношение за вискозен флуид има вида:

(4.12)

Тук e тензорът на скоростта на деформация, а е неговият девиатор; вж. ур. 2.23. При мали скорости, v0, имаме 0 и следователно ур. 4.12 се свежда до реологичното съотношение за идеален флуид, ур. 4.9. Последните два члена в ур. 4.12 са аналогични на дясната страна на ур. 4.2, с единствената разлика, че вместо тензора на деформацията, , стои тензорът на скоростта на деформация, . Аналогично на еластичностите на разширение и прехлъзване, и в ур. 4.2, коефициентите и в ур. 4.12 се наричат коефициенти на вискозитет, съответно, при разширение и прехлъзване (dilatational and shear viscosity). Уравнение 4.12 изразява напреженията в един вискозен флуид като линейна комбинация от компонентите на тензора на скоростта на дефирмация. (Има и по-сложни, нелинейни модели на вискозни флуиди, които се наричат ненютонови флуиди.) За един нютонов вискозен флуид, за който реологичното съотношение сe задава от ур. 4.12, по дефиниция се приема, че коефициентите и са константи. Предвид ур. 4.2 и 4.12, аналогичните величини при еластични и вискозни непрекъснати среди са както следва:



(4.13)

По аналогия с извода на ур. 4.5 и 4.10, може да се докаже, че диференцирането на ур. 4.12 дава:



(4.14)

Първият член в дясната страна на ур. 4.14 е аналогичен на ур. 4.10, а последните два члена в ур. 4.14 могат да се получат, като извършим формална смяна на величините в ур. 4.5 в съответствие с ур. 4.13. Накрая, като заместим от ур. 4.14 в баланса на импулса, ур. 3.16, получаваме:



(уравнение на Навиè-Стокс) (4.15)

(George Gabriel Stokes, 1819–1903, британски математик и физик). Тук използвахме факта, че ускорението е a = dv/dt. Като изключим члена със скаларното налягане, р, уравнението на Навие-Стокс, ур. 4.15, е аналогично по форма на уравнението на Навие за еластично тяло, ур. 4.6. Напомняме, че съгласно ур. 1.13, ускорението се представя във вида:



(4.16)

За несвиваеми среди, каквито са течностите, имаме div v = 0, и тогава последният член в ур. 4.15 отпада. Остава само членът съдържащ вискозитета при прехлъзване, , който е конвенционалният вискозитет на течностите; измерва се, например, с капилярен вискозиметър. При течности, вискозитетът при разширение , известен още като „втори вискозитет”, играе роля при затихването на звукови вълни, които физически представляват вълново движение състоящо се от локално свиване и разширение на флуида. За течности, двата вискозитета, и , са близки по големина.



4.5. Модел на виско-еластично тяло. Моделът на идеално еластично тяло пренебрегва ефекта от вътрешното триене. Когато този ефект е съществен, може да се приложи модел на виско-еластичнио тяло, чието реологично съотношение може да се разглежда като комбинация от ур. 4.2 и 4.12 (последното без члена за идеален флуид, ):

(4.17)

Ур. 4.17 представя тензора на напреженията, , като линейна комбинация от компонентите на тензорите на деформацията и на скоростта на деформация, и , т.е. отново имаме работа с линеен модел. Коефициентите , , , и  имат същия смисъл както преди. Накрая, като пресметнем от ур. 4.17 и заместим резултата в баланса на импулса, ур. 3.16, получаваме едно уравнение, което може да се разглежда като комбинация от ур. 4.6 и 4.15:



(4.18)

Следва да отчетем още, че скорстта е v = du/dt.



Има и по-сложни линейни реологични модели, с повече коефициенти на еластичност и вискозитет, а също и с еластичности при огъване и усукване. Освен еластичното и вискозното поведение на телата, съществува и пластично поведение, което е силно нелинейно. Тези по-сложни реологични модели няма да бъдат разглеждани в настоящия кратък курс.




Каталог: shares
shares -> Лекция №6: Механика на идеални флуиди Пълната система уравнения. Теоретичното описание на движението на един идеален флуид се основава на следната система уравнения
shares -> Лекция №6: Механика на идеални флуиди Пълната система уравнения. Теоретичното описание на движението на един идеален флуид се основава на следната система уравнения
shares -> Лекция №1: Кинематика на непрекъснати среди
shares -> Лекция №1: Кинематика на непрекъснати среди


Сподели с приятели:




©obuch.info 2022
отнасят до администрацията

    Начална страница