Лекция №6: Механика на идеални флуиди Пълната система уравнения. Теоретичното описание на движението на един идеален флуид се основава на следната система уравнения

(изоентропиен флуид)

(изотермичен флуид)
(6.15)

По дефиниция, ур. 6.14 е уравнението на Ойлер за баротропен флуид.

където f e коя да е величина характеризирща течението. В частност, в лявата страна на ур. 6.14 изчезва локалната производна на скоростта по времето:

Ур. 6.17а и 6.17b са две еквивалентни форми на запис на едно и също съотношение; А и В са два произволни вектора. Ако положим А = В = v, ур. 6.17 добива вида:

Векторът на локалната ъглова скорост на флуида, наричан още вектор-вихър, се дефинира както следва:

От ур. 6.18 и 6.19 получаваме:

където сме използвали означението v² = vv, както и антикомутативността на векторното произведение: . Предвид ур. 6.20, уравнението на Ойлер, ур. 6.14, може да се представи във вида:

Ако векторът-вихър е равен на нула,  = 0, течението се нарича безвихрово. За такова течение ур. 6.21 се свежда до:

Нещо повече, от векторния анализ знаем, че ако ротацията на едно векторно поле е равна на нула, то това поле може да се представи като градиент от скаларно поле:

където величината  = (r,t) се нарича потенциал на скоростта. Съответно, безвихровото течение се нарича още потенциално. В частния случай на безвихрово течение на несвиваем флуид, уравнението на непрекъснатостта добива вида на уравнение на Лаплас:

където ²   е операторът на Лаплас.

(a) Случай на стационарно течение. В този случай уравнението на Ойлер (6.21) добива вида:

където и е потенциалът на масовата сила:

В съответствие с ур. 1.12, пресмятаме пълната (лагранжевата) производна на израза в скобите на ур. 6.25

Понеже разглеждаме стационарно течение, първият член в дясната страна на ур. 6.28 е равен на нула. В допълнение към това, заместването на ур. 6.25 в последния член на ур. 6.28 дава:

При последната стъпка използвахме факта, че ако два от векторите в едно смесено произведение (на три вектора) съвпадат, то смесеното произведение е равно на нула. Ур. 6.29 показва, че

където константата в дясната страна на ур. 6.30 не зависи от времето, но зависи от лагранжевите координати, , които номерират материалните точки. Ур. 6.30 показва, че за дадена материална точка отговаряща на фиксирани , величината v²/2 + u +  не се променя с времето.

Ур. 6.31 показва, че

Константата в дясната страна на ур. 6.32 не зависи от пространствените координати, т.е. тя е една и съща навсякъде във флуида в даден момент време, но може да се мени с хода на времето.

където в дясната страна стои абсолютна константа, която не зависи нито от положението в пространството нито от момента време. Ур. 6.33 носи името на швейцарския физик и математик Даниел Бернули.

[Има трима известни щвейцарски математици и физици с фамилията Бернули: (1) Jacob Bernoulli (1654–1705), който е известен с числата на Бернули в математиката; (2) Johann Bernoulli (1667–1748), по малък брат на Jacob, който е известен със задачата за „брахистохроната” и е бил учител на Леонард Ойлер;

(3) Daniel Bernoulli (1700–1782), син на Йохан Бернули, е известен със своите трудове по хидродинамика (вкл. ур. 6.33), теория на вероятностите и статистика.]

В случай на течение на идеален несвиваем флуид в гравитационно поле, ур. 6.33 добива вида:

(уравнение на Бернули) (6.34)

Тук g е земното ускорение; заместили сме u = gz и  = р/. От ур. 6.34 се вижда, че при стационарно течение на несвиваема течност (без поле на тежестта) налягането достига най-големи стойности в точките, където скоростта е равна на нула. Такава точка обикновено има върху повърхността на тяло обтичано от флуид (точка О на Фиг. 6.1) и се нарича точка на стагнация (stagnation point). Aкo v₀ и р₀ са, съответно, скоростта и налягането далече от тялото, то предвид ур. 6.34 налягането в точката на стагнация е:

Лекция № 7: Механика на вискозни флуиди

По долу ще разгледаме решенията на системата от ур. 7.1–7.2 за различни хидродинамични задачи.

При тези гранични условия, ще покажем, че задачата има решение, при което течността се движи на плоски слоеве, паралелни на твърдите стени, като скоростта на движение нараства от 0 за най-долния слой, до v₀ = |v₀| за най-горния слой. Такова „слоисто” течение се нарича ламинарно. В конкретния случай, то се нарича още плоско течение на Кует в чест на френския физик Морис Кует (Maurice Couette, 1858–1943).

Можем да си мислим, че системата е безкрайна по посока на осите х и z (Фиг. 7.1). В такъв случай, течението има транслационна симетрия по осите х и z, което означава, че величините които характеризират течението не зависят от координатите х и z, т.е.

Предвид ур. 7.5, уравнението за непрекъснатост 7.2 е тъждествено удовлетворено:

За члена vv в ур. 7.1 получаваме:

Предвид ур. 7.4, 7.5 и 7.7, уравнението на Навие-Стокс, ур. 7.1, се свежда до:

Предвид ур. 7.4 и 7.5, ур. 7.8 съдържа в себе си две нетривиални съотношения, които са неговите х и у компоненти:

Последното уравнение означава, че за разглежданото течение налягалето е абсолютна константа, р = const. След двукратно интегриране на първото уравнение 7.9 получаваме:

Където а и b са интеграционни константи. Те се определят от граничните условия, ур. 7.3. Така получаваме:

С други думи, скоростта v_x нараства линейно с у, така като е показано на Фиг. 7.1. За ротацията на полето на скоростта намираме:

където използвахме ур. 7.5 и 7.11. Вижда се, че за разглежданото ламинарно течение, в което слоевете от течността се прехлъзват един спрямо друг, ротацията на течността и векторът-вихър (вж. ур. 6.19) са различни от нула и имат една и съща стойност във всяка точка от флуида. По-нататък, като използваме ур. 7.5 и 7.11 намираме:

където а = v₀/h, a e тензорът на скоростта на деформация. Силата на триене на единица площ от въображаема площадка разположена перпендикулярно на оста у (успоредно на слоевете на ламинарното течение) е _ху = 2D_ху = а = v₀/h, или предвид ур. 7.11

където коефициентът  (вискозитетът) се предполага че е константа, т.е. не зависи от r и t. Ур. 7.14 е предложено най-напред от Исак Нютон (1643–1727). Флуиди, които се отклоняват от закона на Нютон, ур. 7.14, се наричат ненютонови флуиди.

Предвид ур. 7.15, уравнението за непрекъснатост добива вида:

С други думи, от уравнението за непрекъснатост следва, че v_z може да зависи само от радиалната координата, r, но не и от z. Както преди, ще използваме условието за прилепване на граничния слой от течността към вътрешната повърхност на тръбата, което води до:

Освен това, предвид ур. 7.15 и 7.16, имаме:

Тогава, уравнението на Навие-Стокс, ур. 7.1, се свежда до:

Където сме отчели, че течението е стационарно и сме пренебрегнали ефекта от масовата сила. Първите две компоненти на ур. 7.19 водят до извода, че p = p(z):

Предвид ур. 7.16 и 7.20, лявата страна на ур. 7.21 зависи само от z, докато дясната му страна – само от r. Това може да е изпълнено само ако всяка от двете страни на ур. 7.21 поотделно е равна на константа, която е означена с а. Така, за p(z) получаваме:

където b e интеграционна константа. Константите а и b можем да определим от граничните условия за налягането:

Oт ур. 7.22 и 7.23 получаваме:

От ур. 7.21, за скоростта v_z(r) получаваме:

Където с и D са интеграционни константи. Понеже lnr e разходящ върху оста на тръбата, трябва да положим с = 0. константата D опредляме от граничното условие върху стената на тръбата, ур. 7.17

Тук използвахме факта, че а = p/L, виж ур. 7.24. Уравнение 7.26 описва параболично разпределение на скоростите по сечението на тръбата, така както е показано на Фиг. 7.2. Максималната скорост се достога в средата на тръбата (при r = 0):

Обемът течност който преминава през напречното сeчение на тръбата за единица време се нарича дебит (flow rate). Дебитът се пресмята по формулата:

Tук, при последната стъпка заместихме v_z от ур. 7.26. След извършване на интегрирането, за дебита получаваме:

Tук, е средната скорост на течение на флуида по тръбата. В исторически план, ур. 7.29 за дебита е било получено експериментално от немския инженер-физик Г. Хаген (Gotthilf Hagen, 1839) и oт френския медик Жан-Луи Поазьой (J.-L. Poiseuille, 1840), като теоретичният извод на ур. 7.29 е даден от Стокс (G. G. Stokes, 1845).

7.4. Oсновните хидроднамични уравнения в цилиндрични и сферични координати. При решаване на хидродинамични задачи често се налага да се използват цилиндрични или сферични координати. За справка, по долу привеждаме уравненията за движение на вискозна несвиваема течност записани за тези два вида ортогонални криволинейни координати.

[Не се очаква тези уравнения да се възпроизвеждат на изпит.]

В цилиндрични координати компонентите на тензора на напреженията изглеждат по следния начин (както обикновено,  е динамичният вискозитет):

Трите компоненти на уравнението на Навие-Стокс имат вида ( = / – кинематичен вискозитет):

където операторите "v" и "²" се задават от формулите:

Уравнението за непрекъснатост е:

В сферични координати компонентите на тензора на напреженията изглеждат по следния начин ( е динамичният вискозитет):

Трите компоненти на уравнението на Навие-Стокс имат вида ( = / – кинематичен вискозитет):

където операторите "v" и "²" се задават от формулите:

Уравнението за непрекъснатост е:

Можем да си мислим, че системата е безкрайна по посока на оста z (Фиг. 7.3). Поради симетрията на течението, въвеждаме цилиндрични координати, r, , z; налягането и скоростта могат да зависят само от r:

където е_ е съответният единичен вектор от физическия базис в цилиндрични координати. Предвид ур. 7.38 и 7.49, уравнението за непрекъснатост 7.2 е тъждествено удовлетворено:

Предвид ур. 7.49, r-компонентата на уравнението на Навие-Стокс, ур. 7.33, представлява уравнение за определяне на налягането при известно v_(r):

С помощта на ур. 7.36, за члена vv_ в ур. 7.34 получаваме:

Тогава, предвид ур. 7.48, 7.49 и 7.52, -компонентата на уравненнието на Навие-Стокс, ур. 7.34, се свежда до:

Като заместим ² от ур. 7.37 в ур. 7.53, получаваме:

Последното обикновено диференциално уравнение е от ойлеров тип; неговото общо решение има вида

което лесно се проверява чрез заместване на ур. 7.55 в ур. 7.54. За да определим интеграционните константи а и b, ще използваме граничните условия за скоростта върху двата цилиндъра:

Заместването на ур. 7.55 в ур. 7.56 дава две уравнения за определяне на константите а и b:

От ур. 7.57 и 7.58 намираме:

(a) Частен случай ₁ = ₂ =   a = , b = 0. С други думи, ако двата цилиндъра се въртят с еднаква ъглова скорост, то стационарното движение на флуида е въртене със същата ъглова скорост, , като твърдо тяло.

(б) Частен случай ₂ = 0 и R₂    a = 0, b = ₁R₁². С други думи, ако един цилиндър с радиус R₁ се върти с ъглова скорост ₁ в безкраен флуид (R₂  ), то породеното от този цилиндър джижение на течността е със скорост v_ = ₁R₁²/r; виж ур. 7.55.

В общия случай, интересно е, че скоростта v_ не зависи от вискозитета, ; виж ур. 7.55, 7.59 и 7.60. Обаче, както ще видим по-долу, въртящият момент, който действува на всеки от двата цилиндъра (Фиг. 7.3) поради вискозното триене с флуида, е пропорционален на .

Да намерим въртящия момент М, който действува на вътрешния цилиндър с радиус R₁. Нормалата към този цилиндър съвпада с единичния вектор в радиална посока, e_r, докато силата на триене на цилиндъра с вискозния флуид е насочена тангенциално към неговата повърхност, т.е. по посока на единичния базисен вектор е_.. Тогава, силата на триене на единица площ от повърхността на този цилиндър се задава от компонентата _r на тензора на напреженията. От ур. 7.30 за разглеждания цилиндър (r = R₁) намираме:

(7.61)

По нататък, като заместим ур. 7.55 в ур. 7.61, получаваме:

Силата на триене, която действува на разглеждания цилиндър ще получим като умножим напрежението, _r , по площта на околната повърхност на цилиндъра, 2R₁L, къдетo L e дължината на цилиндъра. Момента М ще получим, като умножим силата по рамото на силата, което има дължина R₁:

където използвахме ур. 7.62 и после ур. 7.60.