Лекция 7 непрекъснатост и производна на функции Множество на реалните числа
Изтегляне 0.58 Mb.
|
- Навигация на страницата:
- Лекция 7
- Всеки отворен интервал съдържа безбройно много рационални и безбройно много ирационални числа. Околност
- Принцип за непрекъснатост на реалните числа.
- Принцип на Архимед.
- Теорема 7.1 ( теорема за отделимост ).
- Теорема 7.2 ( на Кантор за вложените интервали
- Числови редици .
- Теорема 7.3 ( Болцано-Вайерщрас ).
- Твърдение 7.1. Нека и . Тогава: 1
- Твърдение 7.3 ( лема за двамата полицаи
- Всяка сходяща редица е фундаментална.
- Теорема 7.4 (Коши).
- Пример 7.8.
 Лекция 7
§7. Непрекъснатост и производна на функции 1. Множество на реалните числа. Числови редици. Множеството на естествените числа  се състои от числата 1, 2, 3, ... и т.н. Пишем  . Множеството на целите числа  , а множеството на рационалните числа  . Множеството на рационалните числа образува числово поле, което по определение означава, че там са възможни двете операции събиране (изваждане) и умножение (деление), при което са изпълнени обичайните закони за комутативност, асоциативност и дистрибутивност. Делението е възможно за всяко рационално число, различно от нула. Всички тези числови множества се изобразяват върху числовата ос. Числовата ос е права линия, на която са отбелязани нулата и единицата, което еднозначно определя място на всяко друго естествено, цяло и рационално число.
В природата обаче има величини, които не се изразяват чрез рационални числа. Например дължината на хипотенузата на правоъгълен триъгълник с катети равни на 1, е равна на Казва се че непразното числово множество От всичките горни граници, най-голям интерес представлява най-малката, която (когато съществува) се нарича точна горна граница. Определение 7.1. Числото  се нарича точна горна граница за  , когато е горна граница за , но всяко по-малко от него вече не е горна граница, т.е. когато  за всяко  и за всяко  съществува  , такова че  . Числото  се нарича точна долна граница за , когато е долна граница за , но всяко по-голямо от него вече не е долна граница, т.е. когато  за всяко и за всяко съществува , такова че  .
Точната горна граница на Пример 7.2. Нулата е точна долна (горна) граница на множеството на положителните (отрицателните) реални числа. Да припомним определенията за интервали: Всеки отворен интервал съдържа безбройно много рационални и безбройно много ирационални числа. Околност на точката  се нарича всеки отворен интервал, който съдържа  . Под  -околност на ще разбираме симетричния интервал  , .
Принцип за непрекъснатост на реалните числа. Всяко непразно ограничено отгоре множество от реални числа има точна горна граница и всяко непразно ограничено отдолу множество има точна долна граница. Принцип на Архимед. Множеството на целите числа не е ограничено отгоре. Принципът за непрекъснатост не е в сила над множеството на рационалните числа. Пример 7.3. Ако е множеството на всичките рационални числа, които са по-малки от  , то няма точна горна граница, понеже би трябвало  , но не е рационално число.
Теорема 7.1 (теорема за отделимост). Нека и  са непразни числови множества, за които е изпълнено  при всеки избор на и  . Тогава  и следователно съществува (поне едно) , например всяко от интервала  , за което  при всеки избор на и , т.е. точката разделя множествата  и  . Ако освен това, за всяко  съществуват  и  , за които  , то  и следователно точката е единствена  . ■
Теорема 7.1 е по същество еквивалентна на принципа за непрекъснатост. Теорема 7.2 (на Кантор за вложените интервали). Нека е дадена безкрайна система от вложени интервали  ,  ,
 .
Тогава тяхното сечение съдържа поне една точка. Освен това, ако дължината на тези интервали клони към нула, то сечението се състои от единствена точка. ■ 
Рис. 7.7. По-точният изказ на заключението на теоремата на Кантор е, че ако а за редицата с общ член Когато между всичките индекси на една редица изберем растяща подредица от индекси (която в частност може да съвпада с изходната) 
можем да разгледаме подредица на изходната която бележим с Пример 7.5. Редицата се явява подредица на редицата Редицата Точката Пример 7.6. Точката  е точка на сгъстяване за редицата с общ член  .
Ограничената редицата Това определение за сходяща редица е еквивалентно на следното определение.
Неравенството Пример 7.6. Редицата с общ член  е сходяща и клони към границата  ,
Да проверим този резултат следвайки определение 7.2. Нека Редица, на която общият член не се променя се нарича стационарна. Очевидно всяка стационарна редица е сходяща, при което нейната граница е равна на общата стойност на общия член. Всяка сходяща редица е ограничена.
От теоремата на Болцано-Вайерщрас следва, че всяка ограничена редица има поне една точка на сгъстяване, понеже границата на съответната сходяща подредица се явява точка на сгъстяване за редицата. Една ограничената редица обаче е сходяща, когато има точно една точка на сгъстяване. Следващото твърдение съдържа основните правила за смятане със сходящи редици.
Тогава:
1) Редицата с общ член  също е сходяща, при което
2) Редицата с общ член  също е сходяща, при което
3) Ако  , то редицата с общ член  също е сходяща, при което
Доказателство. За илюстрация ще докажем само 2). Нека Също така можем да намерим индекс Да изберем и следователно числото Както се вижда непосредствено от определенията, свойствата свързани със сходимостта на дадена редица не зависи от поведението на нейните първи няколко члена, т.е. можем да променим (или да премахнем) някакъв фиксиран брой първи членове на редицата, без да се промени нейната сходимост. Твърдение 7.2. Граничният преход запазва неравенствата, т.е. ако и освен това, ако От строгото неравенство между членовете на редиците Твърдение 7.3 (лема за двамата полицаи). Нека Следващото понятие за фундаментална редица има основно значение. Определение 7.3. Редицата  се нарича фундаментална, когато  при  , т.е. когато за всяко съществува  такова, че  при  .
Всяка сходяща редица е фундаментална. Обратното твърдение се нарича Принцип за пълнота на Да отбележим, че този принцип не е валиден за множеството на рационалните числа. Принципът за пълнота е еквивалентен на принципа за непрекъснатост. Определение 7.3 може да се изкаже по следния начин: редицата Теорема 7.4 (Коши). Редицата е сходяща тогава и само тогава , когато за всяко Ако една редица е фундаментална, то всяка нейна подредица също е фундаментална. При известни уговорки, ролята на граници могат да изпълняват и символите Казва се, че редицата Пример 7.8. Редицата с общ член  дивергира към  .
Определение 7.4. Казва се, че редицата е монотонно растяща (намаляваща), когато  ( ). Редицата се нарича строго монотонно растяща (намаляваща), когато  ( ).
Монотонните редици имат благоприятни свойства относно сходимостта. Теорема 7.5. Нека редицата е монотонно растяща и ограничена отгоре. Тогава тя е сходяща и освен това клони към точната си горна граница  . Аналогично, ако редицата е монотонно намаляваща и ограничена отдолу, то тя е сходяща, при което клони към точната си долна граница  . ■
Ако една монотонно растяща редица не е ограничена отгоре, то тя по определение дивергира към Да докажем следното
Каталог: NVUMathLectures NVUMathLectures -> §16. Задачи от пресмятане на вероятности Съдържание NVUMathLectures -> Задачи от степенни редове Съдържание NVUMathLectures -> Лекция 29 §29. Системи диференциални уравнения Нормални системи оду NVUMathLectures -> Лекция 4 системи линейни уравнения Ранг на матрица. Теорема за базисния минор NVUMathLectures -> Задачи от пресмятане на детерминанти Съдържание NVUMathLectures -> Курсова работа по висша математика 1 за студенти задочно обучение NVUMathLectures -> Лекция 19 §19. Случайни величини Определения и примери NVUMathLectures -> Лекция 1 комплексни числа и полиноми Определение и аритметични операции NVUMathLectures -> Задача Намерете производните на следните функции а б в г д е ж Изтегляне 0.58 Mb. Сподели с приятели:
|
. По този начин множеството на реалните числа се идентифицира напълно с числовата ос, затова реалните числа понякога ще наричаме точки. Множеството 
) е числово поле – в него са възможни операциите събиране (изваждане) и умножение (деление), при което са изпълнени законите за комутативност, асоциативност и дистрибутивност. Делението е възможно за всяко реално число, различно от нула. Освен това в множеството 
и 
е изпълнено точно едно от трите съотношения: 
, 
или 
. В множеството 
(
), за която 
(
) за всяко 
, а точната долна граница 
. 
– ограничен отворен интервал; 
– ограничен затворен интервал и т.н. 
и 
, то 
и следователно всяко 
принадлежи на сечението на всичките интервали (Рис. 7.1).
(номер) се съпостави реално число 
– общ член на редицата. Редицата с общ член 
имаме 
.
, 
, 
, 
, 
, ...
, 
, 
, ... .
се нарича ограничена (отгоре/отдолу), когато нейни членове образуват ограничено (отгоре/отдолу) множество.
-околност) на 
или 
. 
когато всяка 
-околност на 
, за всяко 
.
, т.е. 
. Точката 
с граница 
също е сходяща и клони към същата граница 
.
. Да фиксираме едно 
достатъчно голямо, че 
. Тогава, за всяко 
имаме 
.
и 
.
.
.
. 
, за който
.
, за който
.
. Тогава при 
,
изпълнява определението за граница на редицата с общ член 
. ■
за всяко 
е изпълнено аналогично неравенство 
. ■
не следва строго неравенство между границите, т.е не следва, че 
. 
за всяка стойност на 
са сходящи и имат обща граница 
също е сходяща и клони към същата граница 
, за всяко 
. Сега от принципа за пълнота се получава следния критерий за сходимост.
. В този случай за да правим разлика между крайни и безкрайни граници ще казваме, че редицата дивергира към 
(
), когато всеки интервал от вида 
(
) съдържа всичките членове на редицата от известно място нататък, т.е. когато за всяко 
съществува индекс 
(
) при 
или 
.