Лекция 9 изследване на функция Растене, намаляване и екстремуми

Да припомним, че функцията се нарича монотонно растяща (намаляваща) в отворения интервал , когато за всеки , , е изпълнено . Ако неравенствата са строги, то функцията се нарича строго монотонно растяща (намаляваща). Някои функции, например линейните, са монотонни над цялата си дефиниционна област. За други, по-сложно устроени функции, дефиниционната област обикновено се разделя на интервали, във всеки от които функцията е монотонно растяща или намаляваща.

Нека е диференцируема в и , . Тогава от теоремата на Лагранж за крайните нараствания имаме , следователно знакът на разликата , който определя монотонността, изцяло зависи от стойностите на производната. По този начин непосредствено се вижда верността на

Твърдение 9.1. Нека функцията е диференцируема в отворения интервал . Тогава

1) Ако , за всяко , то функцията е монотонно растяща (намаляваща) в .

2) Ако , за всяко , то функцията е строго монотонно растяща (намаляваща) в . ■

Пример 9.1. Да разгледаме функцията (Рис. 9.1).

Рис. 9.1.

За производната намираме , следователно при , функцията е строго монотонно растяща, а при , функцията е строго монотонно намаляваща. От тук в частност следва, че в точката функцията има строг локален минимум, а в точката има строг локален максимум.

Константите са единствените функции, които са едновременно монотонно растящи и монотонно намаляващи съгласно даденото определение. Естествено, не съществува функция, която да бъде едновременно строго монотонно растяща и строго монотонно намаляваща.

Верността на следното твърдение е очевидна.

Твърдение 9.2. Нека функцията е непрекъсната в някаква -околност , , на точката и диференцируема в тази околност, с изключение евентуално на самата точка (диференцируема във всеки от интервалите и ). Тогава, ако за и за , то е точка на строг локален минимум за . Аналогично, ако за и за , то е точка на строг локален максимум за . ■

Твърдение 9.2 се прилага ефективно, когато екстремалната точка е ъглова или рогова за графиката на .

Рис. 9.2.

Тук не е диференцируема в .

Типичната ситуация обаче на строг локален екстремум в дадена точка е когато функцията е диференцируема в тази точка и можем да приложим теоремата на Ферма, според която в този случай . Анулирането на производната е само необходимо условие за екстремум.

Точките, в които дадена функция е диференцируема и производната се анулира се наричат критични за функцията. Теоремата на Ферма показва, че локалните екстремуми трябва да се търсят сред критичните точки.

Следващата непосредствена задача е да установим достатъчни условия за проверка дали дадена критична точка е точка на екстремум както и да определим вида на въпросния екстремум.

Твърдение 9.3. Нека е критична точка за функцията , . Нека освен това има непрекъсната трета производна в интервала , , и . Тогава има екстремум в , при което:

1) Ако , то е точка на строг локален минимум за .

2) Ако , то е точка на строг локален максимум за .

Доказателство. По формулата на Тейлър, за всяко от имаме

(9.1) ,

където . Дали е точка на екстремум зависи от поведението на разликата за в някаква достатъчно малка околност на . За тази разлика, от (9.1) намираме

(9.2) .

По условие третата производна е непрекъсната, следователно е ограничена в затворената -околност . Условието гарантира, че в някаква (евентуално по-малка от първоначалната) -околност , , величината има същия знак като ,

, .

Нека . Тогава съгласно (9.2), за всяко и ще бъде изпълнено , понеже множителят , следователно в този случай се явява точка на строг локален минимум за функцията . Аналогично се получава, че ако , то се явява точка на строг локален максимум. ■

Горното твърдение е частен случай на теорема 9.1, която ще докажем след малко. От друга страна това е най-често прилаганият частен случай и освен това доказателството на тази обща теорема не съдържа нови идейни елементи в сравнение с доказателството на твърдение 9.3 и затова то беше формулирано и доказано отделно.

Пример 9.4. Да намерим локалните екстремуми на функцията от рис. 9.1. Пресмятаме

и .

Критичните точки определяме от уравнението , което има две решения и . Пресмятаме , което означава, че е точка на строг локален минимум и , което означава, че е точка на строг локален максимум, което всъщност бяхме установили по други съображения.

Следващата теорема обобщава твърдение 9.3, откривайки възможност за изследване на случаите, когато .

Теорема 9.1. Нека за някое естествено число функцията има непрекъснати производни до ред в интервала , , и нека

, .

Тогава

(9.3)

където . Дали е точка на екстремум зависи от поведението на разликата за от някаква достатъчно малка околност на . За тази разлика, от (9.3) намираме

(9.4) .

Ако точката попада в клаузата 1) на теорема 9.1, то се явява частен случай на инфлексна точка.

Рис. 9.3.

В първия случай имаме , . Тук е нечетно и не е точка на локален екстремум. Във втория случай имаме , . Тук е четно и освен това , следователно е точка на строг локален минимум.

2. Изпъкнали функции. Съществуват различни определения за изпъкнали функции. В някакъв смисъл всичките тези определения са еквивалентни, но не се покриват напълно. Тук ще приведем геометрично определение, използващо взаимното разположение на графиката на дадена функция и допирателните към нея, което означава, че по необходимост ще изискваме разглежданите функции да бъдат диференцируеми.

Определение 9.1. Нека функцията е диференцируема в околност на точката . Казва се, че е изпъкнала надолу (нагоре) в , когато в някаква (евентуално по-малка от изходната) околност на графиката на лежи над (под) допирателната за . Ако функцията е диференцируема в отворения интервал и е изпъкнала надолу (нагоре) във всяка точка , то се казва, че е изпъкнала надолу (нагоре) в интервала .

На рис. 9.4 е изобразена функция, която е изпъкнала надолу в интервала .

Рис. 9.4.	Рис. 9.5.

Ако функцията е изпъкнала надолу (нагоре) в точката и в някаква околност на единствената обща точка между графиката на и допирателната за е точката , то се казва, че е строго изпъкнала надолу (нагоре) в точката . Ако функцията е строго изпъкнала надолу (нагоре) във всяка точка от интервала , то се казва, че е строго изпъкнала надолу (нагоре) в . Типичният случай на изпъкналост на дадена функция е строгата изпъкналост.

Линейните функции са единствените, които са едновременно изпъкнали надолу и изпъкнали нагоре. Естествено, не съществува функция, която да бъде едновременно строго изпъкнала надолу и строго изпъкнала нагоре.

Уравнението на допирателната за е , следователно изпъкналостта на функцията зависи от знака на разликата . Ако в някаква околност на имаме , то функцията е изпъкнала надолу в точката и ако в някаква околност на , то функцията е изпъкнала нагоре в точката . Знакът на тази разлика също се изследва с помощта на формулата на Тейлър. Съгласно тази формула, ако има непрекъсната втора производна в някаква околност на , то

за някое между и , следователно разликата , можем да запишем във вида

(9.5) .

От представянето (9.5) фактически следват всичките достатъчни условия за изпъкналост.

От твърдение 9.4 веднага следва, че ако , за всяко от интервала , то функцията се явява строго изпъкнала надолу (нагоре) в .

По същия начин се доказва и

Твърдение 9.5. Нека функцията има непрекъсната втора производна в интервала , при което , за всяко . Тогава е изпъкнала надолу (нагоре) в . ■

Да се върнем към формулата на Тейлър

Както знаем, събираемите от нулев и първи ред формират допирателната линия към графиката на функцията в точката (Рис. 9.6),

Рис. 9.6.

Ако добавим и събираемото от втори ред, ще получим уравнението на допирателната парабола

,

която е истинска парабола, само ако . Линейните функции имат характерно поведение относно монотонността. Една линейна функция е навсякъде монотонно растяща или навсякъде монотонно намаляваща. Квадратните функции имат характерно поведение относно изпъкналостта. Ако , , е квадратна функция, то , следователно при квадратната функция е навсякъде строго изпъкнала надолу, а при , е навсякъде строго изпъкнала нагоре. От рис. 9.6 се вижда, че в точката функцията е строго намаляваща, понеже допирателната права е графика на функция със същото свойство и е строго изпъкнала надолу, понеже допирателната парабола е графика на функция със същото свойство. Ако , то допирателната парабола се изражда в допирателна права. Ако е точка на строг локален екстремум, то се явява връх на допирателната парабола и нейният вид напълно съответства на вида на екстремума. В този случай се явява точка на строг локален екстремум и за .

Инфлексните точки се отнасят към изпъкналостта по същия начин, както екстремумите се отнасят към монотонността.

Определение 9.2. Нека функцията е диференцируема в околност на точката . Казва се, че е инфлексна точка за , когато не е нито изпъкнала надолу нито изпъкнала нагоре в точката .

Пример 9.7. Точката е инфлексна за функцията .

От определението и от твърдение 9.4 веднага следва верността на

Ако обаче , от това все още не следва, че е инфлексна точка.

при или при . Тогава

(9.6)

където . Дали е инфлексна точка или точка на изпъкналост зависи от поведението на разликата за от някаква достатъчно малка околност на . За тази разлика, от (9.6) намираме

(9.7) .

Типичната ситуация на инфлексна точка е, когато и .

то се казва, че правата е вертикална аисмптота за графиката на функцията .

Рис. 9.7.

В този случай правата е вертикална асимптота, понеже

.

Също така правата е вертикална асимптота за графиката на функцията и за графиката на функцията , понеже

Ако , то асимптотата се нарича хоризонтална.

От определението следва, че

и ако такова съществува, то

Следователно правата е наклонена асимптота за графиката на функцията при . Същата права е наклонена асимптота за графиката на функцията и при .