Лекция числово интегриране



Дата21.01.2018
Размер56.42 Kb.
#50481
ТипЛекция




ЛЕКЦИЯ 2. ЧИСЛОВО ИНТЕГРИРАНЕ
Аналитичното интегриране на дадена функция може да изисква съобразителност и ум, но интегрирането с компютър се извършва шаблонно по избран алгоритъм. Римановата дефиниция за интеграл е границата от сумата на правоъгълни изрезки на функцията когато широчината h на правоъгълниците клони към нула:

(1)

Най-общо алгоритъмът за числово интегриране на функция може да се представи като сумиране на правоъгълни изрезки с различна ширина ωi:



(2)

По принцип сумата в (2) ще дава точния интеграл когато N->∞, но за някои класове от функции резултата е точен и за крайно N. Различните алгоритми за интегриране се различават единствено по това как се избират точките и теглата в сумата (2).

Фиг.1 Интегралът е площта под кривата f(x) в интеграционните граници от а до b.


При най-простите методи интеграционния интервал се разделя на еднакви подинтервали т.е. теглата са еднакви ωi= h, а точките хi са разположени еквидистантно (вж.фиг.1). Тези алгоритми включват правилото на трапеца (приближение от първи порядък) и правилото на Симпсон (приближение от втори порядък). Съществуват и по-точни алгоритми за интегриране, при които няма ограничение точките да са еквидистантно разположени, например методите за Гаусова квадратура. Последните методи превъзхождот по точност алгоритмите с еквидистантни точки. Важно е също подинтегралната функция или нейната производна да нямат особени точки в интеграционния интервал. Трудностите с особените точки се избягват като се разбие интеграционния интервал на два или повече подинтервала така че особените точки да станат гранични точки. Друг начин е чрез смяна на променливите.

В таблица 1 са дадени сравнителни характеристики на трите алгоритъма, които ще разгледаме.

Таблица 1

Метод

Предимства

Недостатъци

Правило на трапеца

Простота. Оптимален за неправилни интеграли.

Нужни са много подинтервали за постигане на добра точност

Правило на Симпсон 1/3

Простота. По-висока точност от трапеца.

Работи само с четен брой подинтервали.

Квадратура на Гаус

Висока точност. Не се използват функционалните стойности в краищата на интеграционния интервал.

Извадките не са разположени еквидистантно.


1. Правило на трапеца

Нека имаме N равноотстоящи точки в интеграционния интервал [a,b], включително крайните точки т.е. имаме N-1 интервала с дължина:

(3)

Фиг.2 Правило на трапеца

Както се вижда от фиг.2 функцията f(x) се апроксимира с права линия във всеки подинтервал i, така че i-тата изрезка от площта се апроксимира с трапец, откъдето идва названието на метода. Стойноста на функцията f в подинтервала i се взима като средната височина (fi +fi+1)/2. Така площта на един трапец се дава от:

(4)

За да приложим правилото на трапеца за целия интеграционен интервал трябва да сумираме по всички подинтервали и получаваме:



(5)

Вижда се че понеже всяка вътрешна точка се отчита два пъти (има два съседа) нейната тежест е h. Крайните точки се отчитат веднъж и имат тежест h/2.

Според общото представяне (2) теглата в сумата се дават от вектора:

(6)

Грешката при правилото на трапеца е от порядък h2.



2. Правило на Симпсон 1/3

Правилото на Симпсон 1/3 означава че апроксимацията се определя от три точки в два съседни подинтервала. Съществуват по-точни методи на Симпсон, например 3/8, където апроксимацията се определя от 4 точки в три съседни подинтервала. Ние ще се ограничим със стандартното правило 1/3. При това правило (вж. фиг.3) функцията във всеки подинтервал се апроксимира, не с линейна зависимост, както е при трапеца, а с полином от втора степен (парабола):



(7)

За да свържем параметрите α, β и γ с функцията ще разгледаме частния случай когато интеграционния интервал е от -1 до +1. Тогава имаме:



(8)

Фиг.3 Правило на Симпсон

Можем лесно да изразим параметрите α, β и γ чрез стойностите на функцията в двете крайни и в средната точки т.е.

(9)

Следователно имаме:



(10)

От (8) и (10) можем да представим интеграла като претеглена сума от стойностите на подинтегралната функция в три точки:



(11)

Понеже са необходими три точки можем да обобщим резултата (11) за два съседни подинтервала, които се определят от три точки. Така можем да запишем:



(12)

Правилото на Симпсон изисква интегрирането да бъде по двойки съседни интервали, затова общият брой на подинтервалите трябва да е четно число, съответно броя на точките да бъде нечетен. За да приложем правилото на Симпсон върху целия интеграционен интервал, ние сумираме приноса от всички съседни двойки, при което всяка нечетна точка освен първата и последната се отчитат по два пъти. Така получаваме:



(13)

Теглата в сумата на общото представяне се дават от вектора:



(14)

Сумата от теглата е добра проверка за правилноста на интегриране:



(15)

Грешката при правилото на Симпсон 1/3 е от порядък h4. Можем да споменем, че съществува метод на Симпсон с апроксимация с полином от трета степен, наречен правило на Симпсон 3/8. При него грешката е от същия порядък h4, а изчисленията се усложняват , и интервалите трябва да се сумират по тройки. Затова този метод се използва в редки случаи.



3. Гаусова квадратура

При този метод точките xi, в оценъчната сума са N-те корени на полином на Лежандър от N-ти ред PN(xi)=0. Това гарантира, че между избраните точки няма особени точки. Теглата в оценъчната сума се определят от връзките:

(16)

Така избрани теглата гарантират, че апроксимационната грешка практически изчезва ако подинтегралната функция f(x) е полином от 2N-1, или по-нисък, ред.

Общо изискване е функцията f(x) да бъде гладка в интеграционния интервал и тогава точноста на метода превъзхожда предходните два метода на еквидистантни точки. Обратно, ако функцията не е гладка, примерно съдържа шум, тогава трябва да се предпочетат алгоритми от по-нисък порядък.

Точките и теглата за Гаусoва квадратура (yi,wi’) се изчисляват за интервала [-1,1] и за да могат да се приложат в произволен интервал [A,B] трябва да се извърши подходящо скалиране със смяна на променливите както следва:



(17)

Зад. 2.1 Сравнете трите алгоритъма за интегриране: трапец, Симпсон и Гаусова квадратура като интегрирате произволен интеграл, примерно функция на експоненциално затихване:

(18)

  • Използвайте готова процедура за определяне корените и връзките в метода на Гаус, зададена във файла gauss.h

  • Изчислете относителната грешка за трите алгоритъма:

(19)

Изведете резултатите във файл, подредени в следната таблица:

N T-rule εT S-rule εS G-quad εG
Пробвайте различен брой на извадките N (трябва да са нечетни заради правилото на Симпсон), вариращи от 3 до 501


  • Използвайте MATLAB за да построите логаритмичните зависимости на грешките от броя на точките т.е. функция на log10ε от log10N. Забележете, че грешката на алгоритъма намалява линейно в логаритмичен мащаб докато се достигне грешката на закръгляване на компютъра.


Зад. 2.2 Пробвайте числовите алгоритми за други подинтегрални функции, например

Защо могат да се появят проблеми при изчисляване на интеграла:

Фиг. 4 Логаритмични графики на грешките при различните методи на интегриране на експоненциална функция в зависимост от броя на точките (извадки) при двойна точност (ляво) и единична точност (дясно).
Приложение 1. Java примерна програма за интегриране на функцията f(x)=x2 с метода на трапеците:

Приложение 2. Java примерна програма за интегриране на функцията f(x)=sin(x) с метода на Симпсон:





Приложение 3. Java примерна програма за интегриране на функцията exp(-x) с метода на Гаусовата квадратура:




Каталог: ~tank -> NumericalMethods
NumericalMethods -> Лекция генератори на случайни числа. Поредица от случайни числа със
~tank -> Основи на езика fortran
~tank -> Програма От командната линия, след като сме влезли в директорията където е файла с фортран-код
~tank -> Програма за изчисляване на средна стойност
NumericalMethods -> Задача за числово решение с компютърна симулация. Решението на проблема за перколацията включва намирането на критична вероятност, р
NumericalMethods -> Лекция Компютърно моделиране във физиката роля
NumericalMethods -> Лекция 10. Видове случайни разходки. Просто обхождане. Необратимо


Сподели с приятели:




©obuch.info 2022
отнасят до администрацията

    Начална страница