Лекция Дискретни вероятностни разпределения. Биномно разпределение и разпределение на Поасон. Графични възможности в Excel

Нека изходът от някакъв експеримент може да се класифицира само в два взаимноизключващи се класа – например успех и неуспех; присъствие и отсъствие; ези и тура и т.н. Ако проведем n такива експеримента при еднакви условия тогава броят на изходите попадащи в един от двата класа, примерно брой успехи к с вероятност р, ще се задава с биномно разпределение, с функция на вероятностна плътност:

(1)
където

(2)

Ако разгледаме случайната променлива y=x/n, съответните значения за средна стойност и дисперсия са:

Обаче така дефинираната случайна величина у има смисъл на честота на сбъдване на успешния изход с вероятност р т.е. математическото очакване на честотата съвпада с вероятноста. Нещо повече дисперсията намалява когато n расте. Следователно с нарастване на броя на опитите n, честотата у на дадено събитие х клони към вероятноста за това събитие. Това е упростена формулировка на закона за големите числа.

Решение:

Ако събитията са независими, то вероятноста да се случи дадена поредица от събития е равна на произведението от вероятностите на отделните събития. В случай на поредица от n събития, от които к са успешни с вероятност р, вероятноста за поредицата

Очевидно тази вероятност не зависи от реда в който следват събитията А и А, а само от общия брой n на събитията (проби), от броя на успехите k в поредицата и от вероятноста за успех р. Обаче броят на поредиците, при които А се случва

За стойностите на трите параметъра на биномното разпределение, съответстващи на конкретния пример n=8, к=5 и p=0.7 получаваме:

Проверетe числово този резултат като използвате вградената функция:

n

combin(n,k)=( ) (6)

1. Като генерирате поредицата от числа използвайки формулата за биномно разпределение (1) и функцията (6).

2. 
   Като използвате вградената функция, binomdist(k,n,p,cumulative)
   
3. 
   Постройте биномно дискретно и биномно кумулативно вероятностно
   

Заб. 4-ия аргумент във функцията binomdist() е булева величина и има две възможни стойности false за дискретно биномно разпределение и true за кумулативно (сумарно) биномно разпределение.

ІІ. ПОАСОНОВО РАЗПРЕДЕЛЕНИЕ

Поасоновото разпределение е частен случай на биномното рaзпределение и може да се получи от него чрез граничен преход когато вероятноста клони към нула р->0, a броя на опитите клони към безкрайност n->, така че произведението a=n.p=const да остава крайно и постоянно.

(7)

• 
  Радиоактивното разпадане е най-известния пример за явление подчиняващо се на Поасоново разпределение.
  

• 
  Броят на научните открития, направени повече от един път при независими изследвания.
  

• 
  Броят на звездите на небесния свод в определен малък пространствен ъгъл.
  

(8)

1. 
   Ако p=0.05, n=200 a=np=10
   
2. 
   Ако p=0.2, n=50 a=np=10
   
3. 
   Ако p=0.4, n=25 a=np=10
   

Забележете, че при малко р и голямо n (при което произведението

а= n.p остава постоянно) разликата между Поасоновото и биномното разпределения намалява, както следва от граничния преход.
Задача 4. Нека вероятноста да се произведе дефектно изделие е

p= 0.005. Каква е вероятноста сред n=10 000 случайно избрани изделия да има:

а) точно k=40 дефектни изделия. Отг.P= 0.0213

Използвайте Поасоново разпределение POISSON(k, a, false) и биномно разпределение BINOMDIST(k, n, p, false) и сравнете резултатите.

б) не повече от 70 дефектни изделия (k70). Oтг. P=0.997

т.е SUM(POISSON (k, a, false)) или eквивалентното POISSON (70, a, true).

(9)
Генерирайте 100 числа по същия начин и отново сравнете резултата с теорията

Действително можем мислено да разделим 10 секундния интервал на голям брой подинтервали примерно n=10⁸. Ако приемем че за 10 сек се регистрират средно а=5,3 електрона, тогава вероятноста поне един електрон да попадне в кой да е от подинтервалите е равна на:

p=a/n=5,3 10^-8.

Т
ази вероятност е толкова малка че можем да пренебрегнем вероятноста в един подинтервал да попаднат едновременно два или повече електрона. Тогава вероятноста в 10 секундния интервал да попаднат k електрона се дава от формулата: