Лекция Дискретни вероятностни разпределения. Биномно разпределение и разпределение на Поасон. Графични възможности в Excel



Дата13.10.2018
Размер63 Kb.
ТипЛекция
    Навигация по данной странице:
  • Зад. 2




Лекция 2. Дискретни вероятностни разпределения. Биномно

разпределение и разпределение на Поасон. Графични

възможности в Excel
І. БИНОМНО РАЗПРЕДЕЛЕНИЕ

Нека изходът от някакъв експеримент може да се класифицира само в два взаимноизключващи се класа – например успех и неуспех; присъствие и отсъствие; ези и тура и т.н. Ако проведем n такива експеримента при еднакви условия тогава броят на изходите попадащи в един от двата класа, примерно брой успехи к с вероятност р, ще се задава с биномно разпределение, с функция на вероятностна плътност:




(1)
където



(2)


Средната стойност х и дисперсията σ2 за биномното разпределение се дават съответно от формулите:
(3)

Ако разгледаме случайната променлива y=x/n, съответните значения за средна стойност и дисперсия са:


(4)

Обаче така дефинираната случайна величина у има смисъл на честота на сбъдване на успешния изход с вероятност р т.е. математическото очакване на честотата съвпада с вероятноста. Нещо повече дисперсията намалява когато n расте. Следователно с нарастване на броя на опитите n, честотата у на дадено събитие х клони към вероятноста за това събитие. Това е упростена формулировка на закона за големите числа.


За да си изясним биномното разпределение ще разгледаме следната проста задача:
Зад.1 Нека в голяма серия от измервания за замърсяване на образци в 70% от случайте е констатирано замърсяване и в 30% от случайте пробите са чисти. Каква е вероятноста, че ако вземем n=8 проби ще има к=5 замърсени и n-k=3 незамърсени проби.

Решение:


Означаваме вероятноста да се падне замърсена проба P(A)=p=0.7 и съответно вероятноста да се падне чиста проба е P(A)=(1-p)=0.3.

Ако събитията са независими, то вероятноста да се случи дадена поредица от събития е равна на произведението от вероятностите на отделните събития. В случай на поредица от n събития, от които к са успешни с вероятност р, вероятноста за поредицата



(5)

Очевидно тази вероятност не зависи от реда в който следват събитията А и А, а само от общия брой n на събитията (проби), от броя на успехите k в поредицата и от вероятноста за успех р. Обаче броят на поредиците, при които А се случва



к-пъти и А се случво n-к пъти се дава от (2). Умножаваме (2) по (5) и получаваме биномното разпределение (1).

За стойностите на трите параметъра на биномното разпределение, съответстващи на конкретния пример n=8, к=5 и p=0.7 получаваме:





Проверетe числово този резултат като използвате вградената функция:

n

combin(n,k)=( ) (6)



k

Зад.2 Постройте по два начина графиките на биномните разпределения при различна вероятност на събитията (примерно при р=0.1, р=0.25, р=0.5, р=0.75, р=0.9).

1. Като генерирате поредицата от числа използвайки формулата за биномно разпределение (1) и функцията (6).



  1. Като използвате вградената функция, binomdist(k,n,p,cumulative)

  2. Постройте биномно дискретно и биномно кумулативно вероятностно

разпределение.

Заб. 4-ия аргумент във функцията binomdist() е булева величина и има две възможни стойности false за дискретно биномно разпределение и true за кумулативно (сумарно) биномно разпределение.

ІІ. ПОАСОНОВО РАЗПРЕДЕЛЕНИЕ

Поасоновото разпределение е частен случай на биномното рaзпределение и може да се получи от него чрез граничен преход когато вероятноста клони към нула р->0, a броя на опитите клони към безкрайност n->, така че произведението a=n.p=const да остава крайно и постоянно.



(7)


Поасоновото разпределение се получава от биномното при голям брой повторения на експеримент с малка вероятност за успешен изход, поради което то е известно още като разпределение на редките събития. Примери за Поасоново разпределение са:

  • Радиоактивното разпадане е най-известния пример за явление подчиняващо се на Поасоново разпределение.

  • Броят на научните открития, направени повече от един път при независими изследвания.

  • Броят на звездите на небесния свод в определен малък пространствен ъгъл.

Може лесно да се пресметне, че средната стойност и дисперсията при Поасоново разпределение имат следните стойности:


(8)


Задача 3. Генерирайте Поасоново и биномно разпределения като използвате вградените функции POISSON(k, a, false) и BINOMDIST(k, n, p, false). Сравнете графиките на Поасоновото и биномното разпределение в случайте:

  1. Ако p=0.05, n=200 a=np=10

  2. Ако p=0.2, n=50 a=np=10

  3. Ако p=0.4, n=25 a=np=10

Забележете, че при малко р и голямо n (при което произведението

а= n.p остава постоянно) разликата между Поасоновото и биномното разпределения намалява, както следва от граничния преход.
Задача 4. Нека вероятноста да се произведе дефектно изделие е

p= 0.005. Каква е вероятноста сред n=10 000 случайно избрани изделия да има:

а) точно k=40 дефектни изделия. Отг.P= 0.0213

Използвайте Поасоново разпределение POISSON(k, a, false) и биномно разпределение BINOMDIST(k, n, p, false) и сравнете резултатите.

б) не повече от 70 дефектни изделия (k70). Oтг. P=0.997



Използвайте сумата от Поасоновите разпределения:


т.е SUM(POISSON (k, a, false)) или eквивалентното POISSON (70, a, true).



Зад.5 Генерирайте поредица от 50 случайни числа с Поасоново разпределение със средна стойност a=5,3 като използвате вградения генератор на случайни числа в пакета DataAnalysis. Определете средната стойност average() и дисперсията stdev() на поредицата и ги сравнете с теоретичните стойности:

(9)
Генерирайте 100 числа по същия начин и отново сравнете резултата с теорията



Зад. 6 На разпределение на Поасон се подчиняват резултатите от преброяване на елементарни частици когато потока на частици има постоянна средна плътност. Типични случаи имаме в атомната и ядрената физика, примерно при измерване на средния радиоактивен фон. Нека с помощта на сцинтилационен брояч регистрираме броя на падналите електрони и записваме резулта за определен промеждутък от време, примерно за 10 сек. Тези числа ще се подчиняват на Поасоново разпределение.

Действително можем мислено да разделим 10 секундния интервал на голям брой подинтервали примерно n=108. Ако приемем че за 10 сек се регистрират средно а=5,3 електрона, тогава вероятноста поне един електрон да попадне в кой да е от подинтервалите е равна на:

p=a/n=5,3 10-8.

Т
ази вероятност е толкова малка че можем да пренебрегнем вероятноста в един подинтервал да попаднат едновременно два или повече електрона. Тогава вероятноста в 10 секундния интервал да попаднат k електрона се дава от формулата:



С помощта на горната формула постройте хистограма или графика за к=0, 1, 2,...15
Каталог: ~tank -> ComputerDataProcessing
~tank -> Програма за изчисляване на средна стойност
ComputerDataProcessing -> Лекция спектрален анализ на периодични процеси цел на спектралния анализ на сигналите е определянето на
ComputerDataProcessing -> Лекция Интерполация и прекарване на крива през точки
ComputerDataProcessing -> Лекция 5 Основни елементи на програмната среда matlab
ComputerDataProcessing -> Лекция Запознаване със средата на електронните таблици Excel. Работа с данни в работния лист. Въвеждане и използване на формули и функции. Равномерно и Гаусово (нормално) разпределения и основни статистически
ComputerDataProcessing -> Лекция Основи на линейната филтрация. Формиране на
ComputerDataProcessing -> Лекция №4. Апроксимация на зависимост между две величини (апроксимираща крива). Метод на най-малките квадрати. Линейна и квадратична регресия
ComputerDataProcessing -> Лекция 10. Статистически анализ


Поделитесь с Вашими друзьями:


База данных защищена авторским правом ©obuch.info 2019
отнасят до администрацията

    Начална страница