Лектор: доц. Д-р Стефан Иванов

Курсът разглежда основни въпроси на диференциалната геометрия. Състои се от две части: диференциална геометрия на кривите и повърхнините в тримерното евклидово пространство и диференциална геометрия на диференцируеми многообразия. Въвеждат се основни диференциални инварианти като кривина и торзия за криви и се доказва основната теорем за локално съществуване на крива по зададена кривина и торзия. За повърхнини-първа и втора основна форма, гаусова и средна кривина, асимптотични линии, линии на кривина, геодезични линии. Въвежда се понятието за линейна свързаност като паралелно пренасяне върху повърхнина и абстрактно върху многообразие. Разглеждат се подробно плоски и проективно плоски свързаност и техните тензорни характеризации – тензора на кривина и проективния тензор на Вайл. За Риманово многообразие се доказват теоремите на Шур и Херглотц, дефинира се конформния тензор на Вайл.

1. 
   Линия, естествен параметър, праволинейност, правилна крива; триедър и формули на Френе.
   
2. 
   Инварианти на линия, праволинейност и равнинност.
   
3. 
   Естествени уравнения, основна теорема.
   
4. 
   Рой прави, централна линия на развиваем рой, еволюта.
   
5. 
   Допирателна равнина и нормала на повърхнина; придружаващ триедър; първа основна форма инвариантност.
   
6. 
   Изображение на Вайнгартен; втора основна форма инвариантност.
   
7. 
   Гаусова и средна кривина, инвариантност, омбилични повърхнини.
   
8. 
   Инварианти по линия върху повърхнина, нормална кривина; теорема на Мьоние.
   
9. 
   Асимптотични линии, параболична повърхнина.
   
10. 
    Геодезична торзия, главни линии върху повърхнина, главни сечения.
    
11. 
    Условия за интегруемост на производните, символи на Кристофел, уравнения на Гаус-Петерсон-Кодаци.
    
12. 
    Теорема Егрегиум, омбилични повърхнини, основна теорема за повърхнините (без доказателство).
    
13. 
    Ковариантно диференциране в теорията на повърхнините, инвариантност. Дивергенция на векторно поле.
    
14. 
    Паралелно пренасяне, геодезични линии; геодезични паралелни координати, минимално свойство на геодезичните.
    
15. 
    Изометрия и конформност на повърхнини. Повърхнини с постоянна гаусова кривина.
    
16. 
    Гладко многообразие, примери. Гладки функции, гладки изображения.
    
17. 
    Допирателни вектори и допирателно пространство в точка на гладко многообразие.
    
18. 
    Диференциал на гладко изображение, локални координати, ранг.
    
19. 
    Гладки векторни полета, комутатор. Диференциални 1-форми; външно диференциране на 1-форма.
    
20. 
    Подмногообразие. Допирателно разслоение; индуцирано изображение между допирателни разслоения.
    
21. 
    Тензорни полета и диференциални форми. Локализация.
    
22. 
    Външно диференциране на диференциални форми. Индуцирано изображение между диференциални форми.
    
23. 
    Линейна свързаност; кривина, торзия, примери.
    
24. 
    Основна теорема за плоска симетрична свързаност.
    
25. 
    Паралелно пренасяне и геодезични линии. Проективно еквивалентни симетрични линейни свързаности.
    
26. 
    Проективен тензор на Вайл. Проективно плоски свързаности.
    
27. 
    Риманови многообразия, свързаност на Леви-Чивита, свойства на тензора на кривина, секционна кривина.
    
28. 
    Риманови многообразия с постоянна секционна кривина, второ тъждество на Бианки, теореми на Шур и Херглотц.
    
29. 
    Конформно еквивалентни Риманови многообразия. Конформен тензор на Вайл.
    
30. 
    Конформно плоски Риманови многообразия.
    
31. 
    Уравнения на Ойлер-Лагранж. Минимално свойство на геодезичните.
    

Литература:

1. 
   Г. Станилов, Диференциална геометрия.
   
2. 
   П.К.Рашевскии, Римановая Геометрия и тензорний анализ.
   
3. 
   С. Кобаяси, К.Номидзу, Основи диференциальной геометрии, том 1, том 2.
   

• 
  естествен параметър и формули на Френе за линия;
  
• 
  еднопараметрични системи от прави, развиваеми роеве;
  
• 
  първа и втора основна форма на повърхнина;
  
• 
  гаусова и средна кривина;
  
• 
  асимптотични, геодезични и линии на кривина;
  
• 
  вътрешна геометрия на повърхнина, изометрия и конформно изображение.
  

• 
  диференцируеми изображения, гладки векторни полета, тензорни полета и диференциални форми;
  
• 
  линейна свързаност; плоски свързаности, проективно плоски свързаности, тензорни инварианти;
  
• 
  паралелно пренасяне и геодезични линии;
  
• 
  риманови многообразия, конформно плоски многообразия, тензорни инварианти;
  
• 
  риманови многообразия с постоянна секционна кривина;
  
• 
  теорема на Гаус-Боне.