Lхі национална олимпиада по математика общински кръг София, 18 декември 2011 година Критерии за оценяване
Изтегляне 462.65 Kb.
|
| LХІ Национална олимпиада по математика - общински кръг
София, 18 декември 2011 година Критерии за оценяване 4. клас
а е равно на 36 . 8 + 8 . 69, а b е неизвестното число от равенството 70 000 – = 4 140 + 735 : 7. Намерете на колко дециметра е равна обиколката на триъгълника. 7 точки Намерено: а = 8.(36 +69) = 8.105 = 840 2 т. 70 000 – = 4 140 +105 1 т. 70 000 – = 4 245 1 т. b = 70 000 – 4 245 = 65 755 1 т. Основата е равна на 840 м = 8400 дм 0,5 т. Сборът на двете бедра е равен на 2.65 755 = 131 510 см = 13 151 дм 1 т. Обиколката на триъгълника е 8400 + 13151 = 21 551 дм 0,5 т. Забележка: Ако е направена техническа грешка при изчисленията, но после разсъжденията са верни, да се дават точките за верните разсъждения.
Намерено: 52 536 – 13 647 = 38 889 жители в град С в края на 2010 г. 1 т. 38 889 + 378 = 39 267 жители в град С в края на 2011 г. 1 т. 52 536 – 378 = 52 158 жители общо в градовете А и Б в края на 2011 г. 1 т. 52 158 : 2 = 26 079 жители е имало в град А и в град В в края на 2011 г. 1 т. 26 079 – 1134 = 24 945 и 24 945 + 378 = 25 323 жители е имало в град В в края на 2010 г. 2 т. 26 079 + 1134 = 27 213 жители е имало в град А в края на 2010 г. 1 т.
а) Намерете сбора на написаните трицифрени числа, ако сборът на цифрите а, b и с е 19. 4 точки б) Намерете сбора на цифрите а, b и с, ако сборът на написаните трицифрени числа е 2886. 3 точки Написани шестте трицифрени числа, които могат да се образуват с цифрите а, b и с: 1 т. а) Сборът на единиците на шестте числа е равен на 2.19 = 38. Пишем 8 1 т. и имаме 3 наум. Сборът на десетиците на шестте числа е 38 + 3 (наум) = 41. Пишем 1 1 т. и имаме 4 наум. Сборът на стотиците е 38 + 4 = 42. Следователно сборът е равен на 4218 1 т.
б) Написано, че удвоеният сбор на цифрите а, b и с е равен на 26 2 т. Намерен сборът на цифрите а, b и с, равен на 13 1 т.
Намерено: ; 2 т. ; 1 т. ; 1 т. 2 дм 7 мм = 0,207 м, 13 см = 0,13 м 1 т. q = 2.(0,207 + 0,13) = 0,674 1 т. x – q = 1,73 – 0,674 = 1,056 1 т.
а) Определете с каква скорост се е движила леката кола; 2 точки б) В 10 ч 40 мин от същата бензиностанция тръгнал товарен камион със скорост 56 км/ч. Двете превозни средства се движили с постоянна скорост, без да спират и да сменят посоката на движение. Намерете разстоянието между градовете А и В, ако леката кола пристигнала в град В в 12 ч 10 мин и намерете на колко километра от град А е възможно да се намира камионът в този момент. 5 точки Намерено: а) 45 мин = 0,75 ч 1 т. v = 60 : 0,75 = 80 км/ч е скоростта на леката кола 1 т. б) 12 ч 10 мин – 10 ч 10 мин = 2 ч е пътувала леката кола до град В 0,5 т. 2. 80 = 160 км е пътят от бензиностанцията до В 0,5 т. 160 + 90 = 250 км е разстоянието от А до В 0,5 т. 12 ч 10 мин – 10 ч 40 мин = 1 ч 30 мин = 1,5 ч е пътувал камионът 1 т. 1,5. 56 = 84 км е изминал камионът 0,5 т. Ако камионът е пътувал в посока към В, в 12 ч 10 мин той се е намирал на разстояние 90 + 84 = 174 км от град А. 1 т. Ако камионът е пътувал в посока към А, в 12 ч 10 мин той се е намирал на разстояние 90 – 84 = 6 км от град А. 1 т.
Намерено: 1 т. см 1 т. кв. см 1 т. BF = FP = DK = MK = 12 – 7 = 5 см 1 т. кв. см 1 т. кв. см. е лицето на оцветената фигура 2 т. 6. клас
Намерено: 2 т. 1 т. 2 т. AB = 6 м.ед. Следователно точка М може да е образ на числата или . 2 т.
а) Ако Фиатът спре за почивка, колко минути след това Опелът ще го настигне? 1 точки б) Ако в даден момент Опелът започне да се движи с 10 % по-голяма скорост, колко минути след това той ще настигне Фиата, който продължава да се движи с непроменена скорост? 2 точки в) Ако двата автомобила завият по павиран път и намалят скоростта си на 50 км/ч, на каква дистанция един от друг ще се движат те по павирания път? 4 точки Намерено: а) 0,24 : 80 = 0,003 ч = 0,18 мин 1 т. б) 0,1.80 = 8 км/ч ще е разликата между скоростите на Опела и Фиата 1 т. 0,24 : 8 = 0,03 ч = 1,8 мин е времето, за което Опелът ще настигне Фиата 1 т. б) Намерено: Когато Фиатът тръгне по павирания път и намали скоростта си на 50 км/ч, Опелът ще се движи още 240 м със скорост 80 км/ч. 1 т. Опелът ще измине 240 м за 0,18 мин. 1 т. За 0,18 мин Фиатът ще измине 0,18.50 = 540 м 1 т. След това и Опелът ще намали скоростта си на 50 км/ч и дистанцията между двамата няма да се променя и ще остане 540 м. 1 т.
а) Определете кое от числата е равно на нула, кое е положително и кое е отрицателно. (Обосновете отговора си.) 4 точки б) Намерете числата, различни от нула, ако абсолютната стойност на отрицателното число е 5 пъти по-голяма от положителното число. 3 точки а) Обосновано: Ако (противоречие с условието – не може две от числата да са 0) или (противоречие с условието – не може да има две равни числа). Следователно а не е 0. 1 т. Ако – противоречие с условието – не може две числа да са 0. Следователно и b не е 0. Тогава с = 0. 1 т. При с = 0, получаваме, че . 1 т. Тъй като . Тогава . 1 т. б) Намерено: 1 т. От 1 т.
по 3 т.
7. клас
отговорБГАВГББГАВАВГГВ (А) = (4)(Б) = (6)(В) = (2)(Г) = (1) 16. За всеки верен отогвор – по 1 т. общо 4 т.
а) Получено: или 3 т. 2 т. Уравнението е еквивалентно на 2 т. Първото уравнение има единствен корен, равен на . 1 т. Второто уравнение е еквивалентно на 2 т. То няма решение, тъй като модулът не може да е равен на отрицателно число. 1 т. Следователно двете уравнения не са еквивалентни. 1 т.
Означаваме и . 1 т. 1 сл. . Два от ъглите на ВРС са равни на два от ъглите на АМС ( и ). Следователно и третите им ъгли са равни , т.е. . 2 т. От външен за триъгълника АМВ следва, че + 2 = 75, т.е. = 25. 1 т. Тогава и . 1 т.
Аналогично се доказва, че . + 2 = 105, т.е. = 35. Тогава и . 2 т. 3 сл. . От външен за триъгълника АМВ следва, че + 2 = 75, а от триъгълника АРВ следва, че 2 + = 105. 2 т. Като съберем почленно двете равенства получаваме, че 3 + 3 = 180 + = 60. 1 т. Тогава . 1 т. От + 2 = 75 = 75 ( + ) = 15, а = 45. Следователно и . 1 т.
а) ъглите на триъгълника АОМ; 3 точки б) отношението НА : НО : НВ. 4 точки Намерено: а) 1 т.
2 т.
б) 2 т.
HO = 3x, HB = 7x 1 т. НА : НО : НВ = 1 : 3 : 7 1 т.
б) Решете уравнението в зависимост от параметъра а. 4 точки а) Доказано: Дискриминантите на двете уравнения са равни. Следователно ако първото уравнение има реални корени, то и второто уравнение има реални корени. 1 т. Корените на първото уравнение са и , а на второто са и . 1 т. и . Следователно и са реципрочни, както и и . 1 т. б) Тъй като и , то сборът им ще е равен на нула, ако едновременно и двата тричлена са равни на 0. Следователно търсим общ корен на уравненията и 0,5 т. От подточка а) следва, че ако и са корените на първото уравнение, а и са корените на второто уравнение, то уравненията ще имат общ корен ако ( ) или , откъдето следва, че . 0,5 т. 1 сл. 1 е корен на двете уравнения. Тогава 87 – 82 – а = 0, т.е а = 5. В този случай двете уравнения нямат друг общ корен. 1 т. 2 сл. –1 е корен на двете уравнения. Тогава 87 + 82 – а = 0, т.е а = 169. И в този случай двете уравнения нямат друг общ корен. 1 т. 3 сл. и са реципрочни помежду си. . Но при а = –87, дискриминантата е равна ва , т.е. корените не са реални числа и а = –87 не е решение. Следователно при а = 5 първоначалното уравнението има корен 1, при а = 169 има корен –1, а при всички останали стойности на параметъра няма решение. 1 т.
б) Докажете, че произведението на 4 последователни цели числа, увеличено с 1 е точен квадрат и пресметнете стойността на израза . 3 точки а) Намерено: 1 т. 1 т. 1 т. Тъй като и , то най-малкото цяло число b е 7. 1 т. б) Доказано, че:
а) Решете уравнението за а = 1. 3 точки б) При кои стойности на параметъра а уравнението има единствен реален корен? 4 точки Намерено: а) При и уравнението е еквивалентно на 2 т. Корените на последното уравнение са 1 и 4, като 1 не е допустима стойност и не е решение. Следователно уравнението има единствен корен, равен на 4. 1 т. б) Уравнението е еквивалентно на . 1 т. При и получаваме уравнението с корени 4 и а. 1 т. Първоначалното уравнение има единствен реален корен, ако: а = 4, или а = 1, или а = 2а 1, т.е. а = 1, или 4 = 2а 1, т.е. а = 2,5. 2 т. (за всяка стойност на параметъра по 0,5 т.)
а) Намерете коефициентите р и q, ако и . 3 точки б) Намерете корените и , ако е цяло число, а и са прости числа. 4 точки Намерено: а) От формулите на Виет и . 1 т. Тогава от получаваме , 1 т. а от следва, че , т.е. . 1 т. б) 1 т.
1 сл. = 1 и е просто число. Но е също просто число, а и са с различна четност, т.е. едно от тях е равно на 2. Ако - не е просто. Ако - не е просто. Следователно в този случай няма решение. 1 т. 2 сл. = 1 и е просто число. Както в предния случай, едно от числата и е равно на 2. Ако - не е просто. Ако е просто число. Следователно и . 1 т. 3 сл. = 1 и е просто число. Тогава - не е просто. Следователно в този случай няма решение. 0,5 т. 4 сл. = 1 и е просто число. Тогава - не е просто. Следователно в този случай няма решение. 0,5 т.
а) С колко % се понижава цената на автомобил от този клас след 7 години употреба? 2 точки б) Каква е възрастта на автомобил от такъв клас, ако цената му в автокъщата е 15 300 лв, а като нов той е струвал 27 000 лв? 2 точки в) Запишете аналитичното представяне на функцията за , където р е колко процента от първоначалната цена е цената на автомобил след п години употреба. 3 точки а) Отсечката CD отразява промяната на цената на автомобил на възраст от 5 до 10 години. За този период от 5 години цената се понижава с 20 % (от 50% на 30%). За 2 години в този период цената ще се понижи с . Следователно след 7 години употреба цената на автомобила ще бъде 42% от първоначалната, т.е. се е понижила с 58 %. 2 т. Забележка: За отговор в интервала от 40% до 45 %, но различен от 42 % - 1 т. б) . Цената на автомобила е от първоначалната. 1 т. Възрастта му ще определим от отсечката ВС. Между втората и петата година, т.е. за 3 години цената на автомобила се понижава с 20 % (от 70% до 50%). Следователно за една година тя се понижава с . Възрастта на автомобила е 4 години. 1 т. в) За функцията е линейна и нека има вида . Точките А(0; 100) и В(2; 70) са от графиката й. Следователно 100 = b и 70 = 2a + 100, т.е. а = 15. . 1 т. За функцията е линейна и нека има вида . Точките В(2; 70) и С(5; 50) са от графиката й. Следователно 70 = 2c + d и 50 = 5c + d, откъдето получаваме и , а . 1 т. За функцията е линейна и нека има вида . Точките С(5; 50) и D(10; 30) са от графиката й. Следователно 50 = 5е + f и 30 = 10e + f, откъдето получаваме и , а .
а) стойността на израза е неотрицателна; 3 точки б) е изпълнена системата . 4 точки Намерено: а) Корените 4, и на уравнението и подредени на числовата ос. 1 т. Решенията на неравенството са 1,5 т. Най-малкото цяло решение на неравенството е 3. 0,5 т. б) Решения на първото неравенство са . 1 т. При и второто неравенство е еквивалентно на и е изпълнено за . 2 т. Решения на системата са . 0,5 т. Най-малкото цяло решение (и единствено) на неравенството е 4. 0,5 т.
б) Намерете стойностите на параметрите a и b, за които уравнението има единствен реален корен в интервала , а уравнението има два реални корена в същия интервал. 3 точки а) Намерено: и 1 т. и 1,5 т. и 1,5 т. б) Начертани графиките на функциите и 1 т. Намерени стойностите на параметъра а, за които уравнението има единствен реален корен в интервала , а именно а = 0 и . 1 т.
Намерени стойностите на параметъра b, за които уравнението има два реални корена в интервала , а именно . 1 т.
а) Докажете, че графиката на всяка от тях има по две пресечни точки с абсцисната ос; 2 точки б) Докажете, че графиките на всички функции имат обща точка М и намерете координатите й; 2 точки в) Намерете най-малкото лице, което може да има триъгълник с върхове точка М и двете пресечни точки на графиката на някоя от разглежданите функции с абсцисната ос. 3 точки Доказано: а) за всяко р. Следователно уравнението има два реални корена и и графиката пресича абсцисната ос в точките А( ; 0) и В( ; 0). 2 т. б) Нека и са графиките на две от разглежданите фунции. Тяхната пресечна точка е с координати (1; 2011). Обратно точката М с тези координати лежи на графиката на всяка от функциите, защото . 2 т. в) 1 т. 1 т. - най-малкото лице, което може да има такъв триъгълник. 1 т.
а) Намерете q. 3 точки б) Докажете, че през петия час температурата в стаята се е покачила с по-малко от 1 градус и в края на петия час термометърът е показвал по-малко от 12С. 4 точки Намерено: а) и . 1 т. Но , 1 т. . От уравнението намираме . 1 т. б) . 1 т.
а) Ако и , намерете за кое п сборът е най-малък. 3 точки б) Разликата на прогресията е равна на 1. Намерете стойностите на , ако за всяко п е изпълнено, че . 4 точки а) Съставена системата и намерено 1 т.
Извод, че няма най-малка стойност. 1 т. б) . Следователно търсим стойностите на , за които неравенството е изпълнено за всяко естествено число п. 1 т. Корените на уравнението са и . Ако , т.е. , решенията на неравенството са . Всяко естествено число n е решение на неравенството, ако , т.е. . 1,5 т.
Ако , т.е. , решенията на неравенството са . За да бъде всяко естествено число решение на неравенството, трябва , т.е. . Окончателно . 1,5 т.
а) Намерете ъглите на триъгълника. 3 точки б) При ротация с център С и ъгъл 30 отсечката АВ се изобразява в А1В1. Ако , докажете, че лицето на общата част на триъгълниците АВС и А1В1С е равно на . 4 точки а) Нека . Тогава 1 т. От и , . 2 т. б) Нека . Последователно се доказва, че:
От АС = ВС = 1. В 1 т.
От 1 т.
1 т. 12. клас
а) Решете уравнението при а = 3. 2 точки б) Намерете стойностите на параметъра а, за които уравнението има точно две отрицателни решения. 5 точки а) При а = 3 получаваме . 1 т. Корените на уравнението се получават от уравненията и . Първото уравнение няма решение, а от другите следва, че и . 1 т. б) След полагане на получаваме 1 т. Един от корените на уравнението е х = 1. Следователно уравнението ще има точно две отрицателни решения, ако квадратното уравнение има единствен корен в интервала (0; 1), различен от . 1 т. 1 сл. D = 0. . При а = 6 уравнението има двоен корен, равен на 3 – не е решение ( ). При а = 2 уравнението има двоен корен, равен на 1. Но от - не е отрицателно число. Следователно а = 2 не е решение. 1 т. 2 сл. D > 0. Уравнението ще има единствен корен в интервала (0; 1), ако . 1 т. Числото е корен на уравнението , ако . При уравнението има единствен корен от интервала (0; 1), но той е и първоначалното уравнение ще има само един отрицателен корен 1. Следователно не е решение. Окончателно . 1 т.
а) Намерете радиуса на окръжността k. 3 точки б) Ако , докажете, че . 4 точки а) Нека окръжностите k и k1 са съответно с центрове О и О1 и радиуси r и r1. Тогава О1М = МС = r1, О1С = , OP = PC = r, OC = . 1 т. Но О1O = r +r1 = . 1 т. . 1 т. б) От триъгълниците AQO и BQO следва, че и . 1 т. 1 т. 2 т.
а) Докажете, че ортоцентърът на триъгълника АВС се проектира върху равнината (BCD) в ортоцентъра на триъгълника BCD. 4 точки б) Намерете обема на пирамидата, ако , а ръбът AD сключва с равнината (BCD) ъгъл, чийто косинус е равен на . 3 точки а) Нека върхът А се проектира върху равнината (BCD) в точка А1, а ортоцентърът Н на триъгълника АВС – в точка Н1. От (теорема за трите перпендикуляра). 1 т. Нека АМ се проектира върху равнината (BCD) в А1М. Тъй като А1М ВС . Следователно и . 1 т. От Н ортоцентър на триъгълника АВС следва, че , а от . Тогава от теоремата за трите перпендикуляра следва, че . Но и и следователно е ортоцентър на триъгълника BCD. 2 т. б) , тъй като е проекцията на DA върху равнината (BCD). 0,5 т. (височина в равностранния триъгълник АВС). . 1 т. От правоъгълния триъгълник AMD получаваме От . Тогава . 1 т. . 0,5 т. Каталог: index files -> news -> 2011 news -> Семинар„ нашата промяна" 137 соу ментор в иновациите и училище с визия за бъдещето 137 соу „Ангел Кънчев" news -> Реферати възрастова група: 5 8 клас I награда news -> Агенция „еталон” съвместно с фондация „Човек плюс” 2011 -> Научна конференция:,,Класика и канон в руската литература. Българският поглед” Изтегляне 462.65 Kb. Сподели с приятели:
|