На комплексна променлива общи бележки. Аналитични функции. Условия на Коши-Риман



Дата13.01.2018
Размер48.72 Kb.
ФУНКЦИИ НА КОМПЛЕКСНА ПРОМЕНЛИВА
Общи бележки. Аналитични функции. Условия на Коши-Риман

за аналитичност.


Ако е някакво множество от комплексни числа и ,(х и у са реални числа) може да означава кое да е число от това множество, та казваме, че е комплексна променлива, а е негова област на изменение.

Казваме, че е функция на независимата комплексна променлива , която се изменя в областта , когато на всяко от тая област съответства по определено правило едно напълно определено комплексно число . Символично това се означава така: .

Множеството от стойностите на функцията се нарича област на изменение на функцията.

Като имаме пред вид, че на всяко комплексно число съответства точка от Гаусовата равнина, то и ще бъдат точкови множества, които ще бележим със същите букви.

Чрез функцията се осъществява едно съответствие между точковите множества и , т.е. на всяка точка от съответствува точка . Казва се още, че функцията осъществява изображение на точковото множество върху . Точките и се изобразяват в една или най-често в две различни равнини.

Когато реалната и имагинерната част на комплексната променлива са функции на един и същи параметър , който взема реални стойности в някакъв интервал, т.е. , казваме, че функцията е комплексна функция на реалната променлива .

Когато една функция на комплексна променлива е еднозначно дефинирана в някаква област и притежава определена производна за всяко от тая област, тя се нарича аналитична, холоморфна или регулярна в .

Неоходимите и достатъчни условия функцията на комплексната променлива

(1)

Да бъде аналитична в областта

Са функциите и (като функции на реалните променливи и ) да бъдат диференцируеми в тази област и да удовлетворяват диференциалните уравнения (2) и , които се наричат условия на Коши-Риман за аналитечност на функцията (1).
Задача №1: Да се намери аналитична функция , ако реалната и част е .

Решение: Намираме частните производни на спрямо и :

(1) (2) .

От условията на Коши-Риман имаме:

, откъдето .

Диференцираме спрямо ,т.е.: .

Като вземем пред вид, че: (условия на Коши-Риман) имаме:

, откъдето или . Тогава . Търсената функция е: .

Като имаме пред вид, че и зависимостите и , получаваме





Задача№2. Да се намери аналитична функция , ако реалната и част е .

Решение: Намирами първите частни производна на функцията :
.

Като използуваме първото условие на Коши-Риман, получаваме:



. След като интегрираме имаме:

Оттук намираме:

От второто условие на Коши-Риман, получаваме:



Или , следователно

Тогава .

Търсената функция е:



Като имаме пред вид, че , формулата на Ойлер и формулата , получаваме:

Окончателно получаваме:.
Задача№3: Да се намери аналитична функция, за която и .

Решение: От първото условие на Коши-Риман имаме: и като интегрираме спрямо , получаваме . От второто условие на Коши-Риман и от имаме , т.е. . Или и понеже , то и . Изразяваме и чрез и получаваме .
РЕШЕТЕ САМИ:

Да се намери аналитична функция за която:
1. и ; 2. и

Отг: 1. ; 2. .

3. Да се намери аналитична функция с реална част , ако ОТГ:

4. Да се намери аналитична функция с реална част , ако . ОТГ: .

5. Да се намери аналитична функция с реална част .

ОТГ: .



6. Да се намери аналитична функция с имагинерна част . ОТГ: .

7. Да се намери аналитична функция с имагинерна част . ОТГ: .
Каталог: online-baza -> src
src -> В Х о д н о н и в о з а ш е с т и
src -> „СВ. Климент охридски
src -> Св климент охридски
src -> Задача№1: Дадена е функцията, където е реален е реален параметър
src -> С т у д е н т и. Линейна алгебра. Скалари и вектори
src -> Тест за подготовка за държавен зрелостен изпит. Най-голямото от числата е
src -> За зрелостен изпит
src -> 1. Стойността на числовия израз : е: а 24; б 416; в 1500; г друг отговор
src -> К о м б и н а т о р и к а в е р о я т н о с т и- подготовка за


Поделитесь с Вашими друзьями:


База данных защищена авторским правом ©obuch.info 2019
отнасят до администрацията

    Начална страница