ФУНКЦИИ НА КОМПЛЕКСНА ПРОМЕНЛИВА
Общи бележки. Аналитични функции. Условия на Коши-Риман
за аналитичност.
Ако е някакво множество от комплексни числа и ,(х и у са реални числа) може да означава кое да е число от това множество, та казваме, че е комплексна променлива, а е негова област на изменение.
Казваме, че е функция на независимата комплексна променлива , която се изменя в областта , когато на всяко от тая област съответства по определено правило едно напълно определено комплексно число . Символично това се означава така: .
Множеството от стойностите на функцията се нарича област на изменение на функцията.
Като имаме пред вид, че на всяко комплексно число съответства точка от Гаусовата равнина, то и ще бъдат точкови множества, които ще бележим със същите букви.
Чрез функцията се осъществява едно съответствие между точковите множества и , т.е. на всяка точка от съответствува точка . Казва се още, че функцията осъществява изображение на точковото множество върху . Точките и се изобразяват в една или най-често в две различни равнини.
Когато реалната и имагинерната част на комплексната променлива са функции на един и същи параметър , който взема реални стойности в някакъв интервал, т.е. , казваме, че функцията е комплексна функция на реалната променлива .
Когато една функция на комплексна променлива е еднозначно дефинирана в някаква област и притежава определена производна за всяко от тая област, тя се нарича аналитична, холоморфна или регулярна в .
Неоходимите и достатъчни условия функцията на комплексната променлива
(1)
Да бъде аналитична в областта
Са функциите и (като функции на реалните променливи и ) да бъдат диференцируеми в тази област и да удовлетворяват диференциалните уравнения (2) и , които се наричат условия на Коши-Риман за аналитечност на функцията (1).
Задача №1: Да се намери аналитична функция , ако реалната и част е .
Решение: Намираме частните производни на спрямо и :
(1) (2) .
От условията на Коши-Риман имаме:
, откъдето .
Диференцираме спрямо ,т.е.: .
Като вземем пред вид, че: (условия на Коши-Риман) имаме:
, откъдето или . Тогава . Търсената функция е: .
Като имаме пред вид, че и зависимостите и , получаваме
Задача№2. Да се намери аналитична функция , ако реалната и част е .
Решение: Намирами първите частни производна на функцията :
.
Като използуваме първото условие на Коши-Риман, получаваме:
. След като интегрираме имаме:
Оттук намираме:
От второто условие на Коши-Риман, получаваме:
Или , следователно
Тогава .
Търсената функция е:
Като имаме пред вид, че , формулата на Ойлер и формулата , получаваме:
Окончателно получаваме:.
Задача№3: Да се намери аналитична функция, за която и .
Решение: От първото условие на Коши-Риман имаме: и като интегрираме спрямо , получаваме . От второто условие на Коши-Риман и от имаме , т.е. . Или и понеже , то и . Изразяваме и чрез и получаваме .
РЕШЕТЕ САМИ:
Да се намери аналитична функция за която:
1. и ; 2. и
Отг: 1. ; 2. .
3. Да се намери аналитична функция с реална част , ако ОТГ:
4. Да се намери аналитична функция с реална част , ако . ОТГ: .
5. Да се намери аналитична функция с реална част .
ОТГ: .
6. Да се намери аналитична функция с имагинерна част . ОТГ: .
7. Да се намери аналитична функция с имагинерна част . ОТГ: .
Сподели с приятели: |