Окръжност върху целочислена решетка



Дата12.03.2018
Размер120.82 Kb.
#62662
Софийски университет „Св. Климент Охридски”

Стопанско управление с английски език, 1 курс

КУРСОВА РАБОТА ПО МАТЕМАТИКА № 1

ТЕМА:

ОКРЪЖНОСТ ВЪРХУ ЦЕЛОЧИСЛЕНА РЕШЕТКА

И ЕДИН НАЧИН ЗА ПРЕСМЯТАНЕ НА ЧИСЛОТО ПИ

ИЗГОТВИЛ: Мария Георгиева Петкова, фак. номер: 7406,

e-mail: mariqpetkova@abv.bg;

Станислава Иванова Узунова, фак. номер: 7470, e-mail: tan4eto_uzunova@hotmail.com

ПРОВЕРИЛ: ас. А. Антонова

София, 2010

Съдържание:

  1. Встъпление – 3

  2. Суми от два квадрата и окръжност върху целочислена решетка – 4

  3. Целочислени точки в кръг – 6

  4. Алгоритъм за преброяване на целочислени точки в кръг - 8

  5. Приложение – 10

  6. Използвана литература - 11


1. Встъпление

В настоящата курсова работа е разгледано възможното разполагане на окръжност върху Декартова равнина. Дадени са оценки кога окръжността съдържа във вътрешността си точно целочислени точки и кога върху нея лежат точно целочислени точки от целочислената решетка , където е предварително дадено естествено число.

И


Чертеж 1.

зведен е алгоритъм за преброяване на целочислените точки, които се покриват от кръг с радиус и център в началото на координатната система. Направена е оценка за възможностите за пресмятане на числото пи чрез данните за броя на целочислените точки, които се покриват от кръг с радиус 1000, 10 000 и т.н. и център в началото на координатната система. Направени са съответни изчисления с компютър, като е използвана конкретна програма.

Ще отбележим, че темата за разполагането на окръжност и кръг върху целочислена решетка може да се свърже с разполагането на окръжност и кръг върху пикселите на компютърния екран. Тя може да се свърже и с един статистически метод за изчисляване на приближени стойности на числото пи. Неговата същност е произвеждането по случаен начин на голям брой изстрели по квадратна мишена с начертан кръг. Броят на попаденията в кръга спрямо общия брой попадения в квадратната мишена (черт. 1.) е приблизително отношението на лицето на кръга към лицето на описания квадрат, и служи за определяне на приблизителна стойност на числото пи.

2. Суми от два квадрата и окръжност върху целочислена решетка

Да разгледаме окръжност с център в началото на координатната система и радиус . Тогава броят на целочислените точки върху окръжността се свързва с възможността числото да се представи като сума от два точни квадрата.. Но няма формули за броя на тези представяния.

Сред доказаните резултати в тази област ще отбележим няколко.

Теорема на Ферма-Ойлер. Всяко просто число , което при деление на дава остатък , може да се представи като сума от два квадрата.

Теорема на Дирихле. Броят на представянията на числото във вид на сума от два квадрата е равен на .

В геометричен смисъл, ако означим с броя на всички представяния на естественото число като сума от два квадрата на цели числа, като се считат за различни, то е броят на целочислените точки върху окръжност с радиус и център в началото на координатната система.



Следствие. 1) За всяко ествествено число е изпълнено равенството , където е броят на представянията на числото като сума от два квадрата на цели числа, е броят на делителите на , които са от вида , а е броят на делителите на , които са от вида .

2) Ако е каноничното разлагане на на прости множители, в което ,, то , ако са четни, в противен случай.



Твърдение 1. (А. Шинцел) За всяко естествено число съществува окръжност, която минава точно през целочислени точки.

Доказателство. От теоремата на Дирихле и следствието следва, че за всяко може да се построи окръжност, на която лежат на брой целочислени точки. Достатъчно е да разгледаме окръжност с център в началото на координатната система и радиус .

За разглеждаме окръжност с център и радиус . Тогава уравнението на окръжността е . Уравнението има на брой решения. Ясно е, че едно от числата и трябва да е четно а другото – нечетно. От всяка двойка решения и на уравнението се получава точно едно решение на . Следователно последното уравнение има решения, т.е. може да се построи окръжност с произволен четен брой точки върху нея.

З
Чертеж 2.

а нечетен брой точки разглеждаме окръжност с център и радиус . Имаме . Уравнение от вида има на брой решения. Квадратите винаги дават остатък 0 или 1 по
mod3. Тогава от четирите двойки числа , , , само една е решение на . Следователно уравнението има на брой решения.

Твърдение 2. (Олимпиада на Унгария) Дадена е окръжност с радиус с център в началото на правоъгълна координатна система. Нека е разстоянието от най-близката целочислена точка до окръжността. Тогава при . (Разстоянието между точка от равнината и окръжността се измерва по следния начин: като през дадената точка и центъра на окръжността се прекара права и се намери разстоянието между тази точка и точката, където правата пресича окръжността.).

Доказателство. За всяко може да се намери такова число , че за всяко може да се намери възел от решетката, намиращ се на разстояние от дадената окръжност.

Избираме тази от правите, успоредна на оста , която има обща точка с окръжността и тя се намира на най-голямо разстояние, което се изразява с цяло число, от началото на координатната система (черт. 2.). Ако е разстоянието от правата до оста , то (1), където .

Точката, която се получава при пресичането на правата с окръжността, се намира между възлите и , които принадлежат на правата и удовлетворяват следното неравенство (2), където . Съединяваме най-близкия до окръжността възел , който лежи на правата, с центъра на окръжността. Нека е пресечната точка на с окръжността. Получаваме

(3) .

От неравенствата (1) и (2) намираме . Следователно, ако , то . Тогава, ако изберем такова число , че , ще имаме и , разстоянието е по-малко от , с което задачата е решена.

3.Целочислени точки в кръг

Ще докажем едно твърдение, в което се посочва безкрайно множество от кръгове, всеки от които съдържа в себе си точно точки от целочислената решетка в равнината.



Твърдение 3. Да се докаже, че за всяко съществува кръг, който съдържа в себе си целочислени точки, чийто център е в точка , където е цяло число, а не е точен квадрат.

Доказателство. Ако и са две различни целочислени точки, то те са на различни разстояния от точка . Наистина, ако е изпълнено равенството , то .

От второто равенство следва , т.е. или , т.е. или , или , което е невъзможно, тъй като , а . Тогава и . Следователно можем да изберем такъв радиус , че в кръга да има точно на брой целочислени точки.



Т


Чертеж 3.

върдение 4. (Теорема на Гаус) В равнината е дадена правоъгълна координатна система с начало точката . С , , е означен броят на целочислените точки, отстоящи от на разстояние по-малко или равно на . Да се докаже, че .



Доказателство. Да означим с квадрата със страни, успоредни на координатните оси, център – точката (произволна точка) и лице . За всяко да означим с кръга с център в т. и с радиус . Тогава числото е равно на лицето на фигурата , получена при обединяване на всички квадрати , чиито центрове лежат в и имат целочислени координати. Ако е точка от , то лежи в . Това показва, че лежи в и следователно за лицата на тези две фигури имаме . Но лежи в . Това дава . Като разделим тези неравенства на , получаваме или . Оттук следва, че .

С


Чертеж 4.

ледствие. Разглеждаме решетката на черт. 4., която е породена от специален вид фундаментални успоредници, всеки от които с лице и намираме неравенството . Тогава , т.е. .



4. Алгоритъм за преброяване на целочислени точки в кръг

Следващото твърдение ни дава алгоритъм за преброяване на целочислените точки в кръг с център в началото на координатната система и целочислен радиус



Твърдение 5. Нека е окръжност с център в началото на координатната система и с радиус . Тогава за броя на целочислените точки във вътрешността и върху окръжността е в сила зависимостта , където , , .

Тук е броят на целочислените точки в окръжността с радиус , които са във вътрешността на един от четирите квадранта, а e цялата част на числото .




Чертеж 5.
Доказателство. Целочислените точки на кръга , които са в единия от квадрантите, са подредени в реда и стълба, всеки с дължина най-много . В този масив се съдържа един квадрат със страна . Върховете му са с координати , , , . По неговите граници и във вътрешността му има на брой целочислени точки, където . Върхът е целочислената точка върху ъглополовящата на квадранта, която е вътрешна за и най-близо до . Пресечните точки на ъглополовящите на квадрантите на координатната система с окръжността не са целочислени.

Целочислените точки, които са във вътрешността на окръжността и извън квадрата са в две групи по равен брой, поради симетричността.

Стълбовете, успоредни на са на брой . Нека точките на стълба, който е най-близо до са на брой. При тези означения е изпълнено , откъдето следва . Това означава, че . Аналогично , откъдето и . По този начин стигаме до израза , .

Намираме, че точките в тези стълбове са на брой . Сумирането започва от , за да обхване изчисляването за всяко . При въпросната сума е равна на нула. Накрая остава да добавим и броя на целочислените точки, които са върху осите на координатната система. Той е .



5. Приложение

Да приложим Твърдение 5 за определяне на приблизителни стойности на числото . Точността на изчисляване се вижда от следващата таблица. Стойностите на са намерени с една малка програма, изключително лесна за използване.












100

7754

31417

3,1417

1000

784387

3141549

3,141549

10000

78529763

314159053

3,14159053

100000

7853881364

31415925457

3,1415925457


Използвана литература:

1. Вездесущее число пи, Ал.В.Жуков, 2004

2. „Окружности на решетках”, В. Вавилов, А. Устинов, сп. „Квант” 2006г. – бр. 6.

3. „Суммы квадратов и целые гауссовы числа”, В. Сендеров, А. Спивак, сп. „Квант” 1999г. бр. 3.









Сподели с приятели:




©obuch.info 2024
отнасят до администрацията

    Начална страница