Oпределение: Многостен една от стените на който е многоъгълник, а останалите стени са триъгълници с общ връх, нележащ в равнината на многоъгълника, се нарича пирамида

Изтегляне 62.97 Kb.

Дата	21.01.2018
Размер	62.97 Kb.
	#50292

Oпределение: Многостен една от стените на който е многоъгълник, а останалите стени са триъгълници с общ връх, нележащ в равнината на многоъгълника, се нарича пирамида.

Височина на пирамидата е отсечката, единият край на която е върхът на пирамидата, а другият е проекцията му върху равнината на основата.

Височината, на която и да е околна стена от върха на пирамидата, към основния ръб се нарича апотема.

Определение: Пирамида с основа правилен многоъгълник и равни околни ръбове се нарича правилна.

Теореми: Върхът на пирамида се проектира в центъра на описаната около основата окръжност, тогава и само тогава, когато:

- всички околни ръбове са равни

или

- всички околни ръбове сключват с основата равни ъгли

или

- всички околни ръбове сключват с височината на пирамидата равни ъгли.

Теореми: Върхът на пирамидата се проектира в центъра на вписаната в основата окръжност тогава и само тогава, когато:

- всички двустенни ъгли при основата са равни

или

- всички апотеми в околните стени на пирамида са равни

или

- всички апотеми на околните стени на пирамида сключват равни ъгли с височината на пирамидата .

Теорема: Две околни стени сключват с основата на пирамидата равни ъгли тогава и само тогава, когато върхът на пирамидата се проектира върху ъглополовящата на ъгъла, определен от пресечниците на тези равнини с равнината на основата.

Повърхнина на пирамида

Лицето на околната повърхнина на правилна n-ъгълна пирамида е:

, където k е апотемата, а Р е периметъра на основата.

Лицето на пълната повърхнина е

Обемът на пирамида е , където В е лицето на основата, а Н е височината на пирамидата.

1) Дадена е правилна триъгълна пирамида с основен ръб а = 6 см и околен ръб = 5 см. Да се намери лицето на околната, пълната повърхнина и обемът на пирамидата.

Решение:

2) Дадена е правилна четириъгълна пирамида с основен ръб а = 4 см и околен ръб

= 6 см. Да се намери лицето на околната и пълната повърхнина на пирамидата, както и нейният обем.

Решение:

3) За правилна триъгълна пирамида с лице на околната повърхнина

и височина

. Да се намерят основният и околният ръб на пирамидата.

Решение:

H 2 =

и стигнахме до решаването на системата при изразяване на а² от второто уравнение и като го змести в първото се получава

Полагайки се получава квадратното уравнение:
3.х² +2.23.х – 657 = 0

D = 2500 = 50²

x = 9 =>

a = 2

4) Дадена е правилна триъгълна пирамида с основен ръб 2 см. Намерете лицето на околната повърхнина и обемът на пирамидата, ако:

а) двустенният ъгъл при основен ръб е α;

б) околният ръб сключва с равнината на основата ъгъл β.

Решение:

а) Двустенният ъгъл при основен ръб е равен на линеиния ъгъл ОМ V

, a

, тогава лицето на околната повърхнина е

и обем

б ) =>

От питагорова теорема за ΔОМV =>

1) Дадена е правилна триъгълна пирамида с основен ръб а = 1 см и околен ръб

= 1 см. Да се намери лицето на околната, пълната повърхнина и обемът на пирамидата.

2) Дадена е правилна четириъгълна пирамида с основен ръб а = 2 см и околен ръб

= 3 см. Да се намери лицето на околната и пълната повърхнина на пирамидата, както и нейният обем.

3) Да се намерят основният и околният ръб на правилна триъгълна пирамида с лице на околната повърхнина

и височина

. .

4) Всички ръбове на четириъгълна пирамида са равни на 2. Да се намерят пълната повърхнина и обемът u.

5) Дадена е правилна триъгълна пирамида с основен ръб

см. Намерете лицето на околната повърхнина и обемът на пирамидата, ако:

а) двустенният ъгъл при основен ръб е 60^o;

б) околният ръб сключва с равнината на основата ъгъл 30^o.

6) Ъгъл между две съседни околни стени в правилна триъгълна пирамида е β. Да се изразят ъгълът между околният ръб и основата и обемът на пирамидата, ако околния ръб е 1.

7) Дадена е правилна четириъгълна пирамида с ъгъл между две съседни околни стени φ и височина Н. Да се намери:

а) ъгълът между околен ръб и основа изразен чрез φ

б) обемът на пирамидата.

8) Височината на правилна триъгълна пирамида е Н, а ъгълът между два околни ръба е 60^o.

а) Докажете, че пирамидата е правилен тетраедър и намерете обема му;

б) Докажете, че отсечката, свързваща средите на околен ръб и срещуположният му основен ръб е перпендикулярна на тези ръбове и да се намери дължината u.

9) Всички ръбове на правилна триъгълна пирамида са равни на 2 см

а) да се намери дължината на отсечката, съединяваща кой да е връх на пирамидата и медицентъра на срещуположната стена

б) да се намери дължината на отсечката, съединяваща средите на срещуположните ръбове на пирамидата и се докаже, че това е ос-отсечка им.

10) Лицето на пълната повърхнина на правилна четириъгълна пирамида е S . Двустенният ъгъл при основата е β . Да се намери обемът на пирамидата.

11) Дадена е правилна триъгълна пирамида.

а) Да се намери тригонометричната връзка между ъгъла между околен ръб и основа и ъгъла между два околни ръба.

б) Да се намери околната повърхнина на пирамидата, ако ъгълът между околните ръбове е α и R е радиусът на описаната около околна стена окръжност.

12) Дадена е правилна триъгълна пирамида с двустенен ъгъл при основен ръб равен на α и височина Н. Да се намерят тригонометричната връзка за ъгъла между два околни ръба и α и обемът на пирамидата.

13) Да се намери тригонометричната връзка за ъгъла между два съседни околни ръба, ако ъгълът между околен ръб и основата е α, за:

а) правилна триъгълна пирамида;

б) правилна четириъгълна пирамида

14) В правилна четириъгълна пирамида VАВСD точката М е среда на VА, а N дели ръба BV в отношение 3:5, считано от върха V. Успоредната проекция на правата МN , с проектиращо направление правата VС , върху равнината на основата на пирамидата дели ръба АD на отсечки, едната от които е по-голяма от другата с 2 см.

a ) Да се намери основният ръб на пирамидата.

б) Да се намерят повърхнината и обемът на пирамидата, ако височината u е 3 см.

15) Ъгълът между два съседни околни ръба на правилна четириъгълна пирамида е β. Разстоянието от центъра на основата до околна стена е 2. Изразете ъгъла между околна стена и основа и да се намери окoлната повърхнина на пирамидата.

16) Дадена е триъгълна пирамида АВСР, на която околните ръбове АР =1 см, ВР =2 см и СР = 3 см са взаимно перпендикулярни. Да се намерят повърхнината и обемът на пирамидата.

17) Основата на пирамида е правоъгълният ΔАВС с катети АС = 5, ВС = 12, и връх V. Околната стена ВСV е перпендикулярна на основата АВС,

((АСV ),(АВС))=

((ABV),(АВС)) и ръбът AV сключва с равнината на основата ъгъл 60^o. Да се намери обемът на пирамидата.

18) Дадена е пирамида АВСV с основа равнобедрен ΔАВС АС=ВС=10см и АВ=12см. Околните ръбове AV = BV, ъгълът между околния ръб С V и основата АВС е 30^o, а ъгълът между равнините (АВV ) и (АВС) е равен на 45^o. Да се намери обемът на пирамидата.

19) Основата на пирамида е правоъгълен триъгълник с хипотенуза 13 см и катет 5 см. Всички околни стени сключват с основата ъгли равни на 60^o. Да се намерят обемът и повърхнината на пирамидата.

Верните отговори са:

1) ;