Основна теорема на алгебрата. Следствия. Основна теорема на алгебрата
Изтегляне 75.2 Kb.
|
- Навигация на страницата:
- Лема 1: Нека f(x) R
- Лема 2: Нека C
| Основна теорема на алгебрата. Следствия.
Основна теорема на алгебрата(Теорема на Даламбер): Всеки неконстантен полином f(x) C[x] има комплексен корен. Ще са ни нееобходими следните две леми. Лема 1: Нека f(x) R[x] и ст. f(x) е нечетно число. Тогава f(x) има реален корен. Д-во: Нека f(х) = а0 + а1х + . . . + аn-1xn-1 + xn, an 0 ст. f(x) = n, n – нечетно число h(x) = f(x) има реален корен тогава и само тогава, когато h(x) има реален корен. Следователно достатъчно е да докажем, че h(x) има реален корен. Тъй-като ст.(h(x)) е нечетна имаме lim(h(x)) = - и lim(h(x)) = + . x - x + следователно съществува х1R такова, че h(x1) < 0 и съществува х2R такова, че h(x2) < 0. тъй като h(x) е непрекъсната, съществува х0 [x1,x2] такова, че h(x0) = 0, т.е. х0 е корен на h(x)□ Лема 2: Нека  C[x], а 0. Тогава  има комплексен корен.
Д-во: Корените на  C  C x1,2 C□
Преди доказателството на теоремата на Даламбер ще докажем следното по-слабо твърдение: Tеорема 1: Нека f(x) е неконстантен полином с реални коефициенти. Тогава f(x) има комплексен корен. Д-во: Нека f(х) = а0 + а1х + . . . + аn-1xn-1 + xn, an ¹ 0 и ст. f(x) = n Нека n = 2s.k, k – нечетно число. Доказателството ще извършим по индукция относно s. База s = 0. В тази ситуация n е нечетно число и от Лема1 следва, че f(x) има даже реален корен. Нека s 1. Разглеждаме разширение Е на полето на комплексните числа С над, което f(x) се разлага на линейни множители.
където 1, . . , n Е и са корени на f(x) в Е. Разглеждаме H(x ; x1 , . . . ,xn)= където с е произволно реално число. След като развием дясната част и направим съответните опростявания ще получим полином на променливата х, коефициентите на който са от пръстена на полиномите R[x1, . . , xn]. Разглеждаме транспозицията xi xj при тази транспозиция имаме xi + xj + cxixj xj + xi + cxjxi xi + xk + cxixk xj + xk + cxjxk , k j Множителите, в които не участват xi и xj не се променят. Следователно произволна при транспозиция на променливите множителите на Н(х; x1, . . . , xn) се разместват, но тяхното произведение не се променя. Следователно при всяко разместване на променливите коефициентите на Н(х; x1, . . . , xn) не се променят. Това означава, че коефициентите пред степените на x са симетрични полиноми от пръстена R[x1, . . , xn]. Съгласно основното следствите на теоремата за симетрични полиноми коефициентите на h(x) = Н(х; 1, . . , n) ще бъдат реални числа, т.е. (*) h(x) = Имаме с  т.h(x) =  =  =  = 2s-1k(2sk – 1) = 2s-1k , където k е нечетно число.
И така h(x) R[x] и ст.h(x) = 2s-1k, където k е нечетно число. Съгласно индуктивната хипотеза h(x) има комплексен корен С. Заместваме в (*) и получаваме 
Тъй-като в Е няма делители на нулата, имаме = i + j + cij за някои индекси i и j. И така за всяко реално число с R сеществуват индекси i и j такива, че i + j + cij С. Понеже двойките индекси (i, j), където 1 i n и 1 j n са краен брой, а реалните числа са безброй много съществуват реални числа с1 с2, за които при едни и същи индекси i и j имаме: ai + aj + c1aiaj = z1 C ai + aj + c2aiaj = z2 C като извадим тези равенства получаваме  C ,
и  C
Поради това  C.
Разглеждаме  C[х]
От Лема 2 имаме, че t(x) има комплексен корен . Заместваме в (**) и получаваме 
Тъй като в F няма делители на нулата имаме, че = i или = j. Следователно i или j е комплексно число. Теорема 1 е доказана□ Д-во на Теоремата на Даламбер: Нека f(x) = Ако коефициентите са реални Теоремата на Даламбер следва от Теорема 1. Ще предполагаме, че не всичките коефициенти f1(x) =  .
Където h(x) = f(x).f1(x) =  ,
Тъй-като  имаме  . Следователно  за всяко к = 0, . . , 2n, т.е. h(x) R[x]. От Теорема1 имаме, че h(x) има комплексен корен C. Следователно
 .
Тъй като в полето няма делители на нулата, или  , или  .
Ако Нека т.е. Следствие 1: Над полето на комплексните числа C неразложими са само полиномите от първа степен.Д-во: Трябва да се докаже, че за всеки полином от степен по-голяма или равна на две е разложим в C. Нека f(x) C[x] и ст.f(x) 2. Съгласно Теоремата на Даламбер f(x) има корен C. Следователно Съгласно Следствие1 в каноничното разлагане на всеки неконстантен полином ще участват само полиноми от първа степен, което представлява желаното разлагане. Определение: Казваме, че полето F е алгебрично затворено, ако всеки неконстантен полином от F[x] се разлага на линейни множители над F. От Следствие 2 става ясно, че полето на комплексните числа е алгебрично затворено. Следствие 3: Над полето на реалните числа неразложими са полиномите от първа степен и тези полиноми над R от втора степен, които нямат реални корени. Други неразложими полиноми в R[x] няма. Д-во: 1) Нека f(x) има реални коефициенти и ст.f(x) = 2. Aко f(x) е разложим над R, тогава корените на f(x) са реални. Ако f(x) има реален корен , тогава f(x) се разлага във вида:
Ако f(x) има реален корен , тогава f(x) се разлага във вида:  и  R[x],
където ст.g(x) 2. Следователно f(x) е разложим над R. Нека f(x) няма реални корени. Тогава от теоремата на Даламбер следва, че f(x) има комплексен корен, който не е реален, т.е.  . Следователно в каноничното разлагане на f(x) ще участва  , т.е.
Тъй като Следствие 4: Всеки неконстантен полином f(x) R [x] може да се разложи по следния начин:  ,
където i Rи  R[x] и нямат реални корени.
Д-во: От Следствие3 в каноничното разлагане на f(x) ще участват линейни множители и квадратни тричлени, които нямат реални корени. Следствие 5: Ако един неконстантен полином с реални коефициенти няма реални корени, тогава той се разлага на произведение на квадратни тричлени, които нямат реални корени. В тази ситуация полиномът има четна степен. □ Каталог: econtent -> algebra nenov algebra nenov -> Полиноми с рационални коефициенти. Критерий на Айзенщайн algebra nenov -> Характеристика на поле. Основни свойства на полетата с ненулева характеристика algebra nenov -> Крайни полета algebra nenov -> Групи Определение econtent -> Основни понятия и величини в макроикономиката. Измерване Изтегляне 75.2 Kb. Сподели с приятели:
|
,
( 
R[x]
C[x], 
са реални. Разглеждаме полинома
е комплексно спрегнатото число на 
. Разглеждаме също
и теоремата е доказана.
. Тогава 
, т.е.
или комплексното число 
е корен на f(x)□
R [x] следва, че g(x) R [x]. От ст.f(x) 3, следва ст.g(x) 1. Следователно f(x) е разложим над R □