Основна теорема на алгебрата. Следствия.
Основна теорема на алгебрата(Теорема на Даламбер):
Всеки неконстантен полином f(x) C[x] има комплексен корен.
Ще са ни нееобходими следните две леми.
Лема 1:
Нека f(x) R[x] и ст. f(x) е нечетно число. Тогава f(x) има реален корен.
Д-во:
Нека f(х) = а0 + а1х + . . . + аn-1xn-1 + xn, an 0
ст. f(x) = n, n – нечетно число
h(x) = 
f(x) има реален корен тогава и само тогава, когато h(x) има реален корен. Следователно достатъчно е да докажем, че h(x) има реален корен. Тъй-като ст.(h(x)) е нечетна имаме
lim(h(x)) = - и lim(h(x)) = + .
x - x +
следователно съществува х1R такова, че h(x1) < 0 и съществува х2R такова, че h(x2) < 0. тъй като h(x) е непрекъсната, съществува х0 [x1,x2] такова, че h(x0) = 0, т.е. х0 е корен на h(x)□
Лема 2:
Нека C[x], а 0. Тогава има комплексен корен.
Д-во:
Корените на са 
C C x1,2 C□
Преди доказателството на теоремата на Даламбер ще докажем следното по-слабо твърдение:
Tеорема 1:
Нека f(x) е неконстантен полином с реални коефициенти. Тогава f(x) има комплексен корен.
Д-во:
Нека f(х) = а0 + а1х + . . . + аn-1xn-1 + xn, an ¹ 0 и ст. f(x) = n
Нека n = 2s.k, k – нечетно число.
Доказателството ще извършим по индукция относно s.
База s = 0.
В тази ситуация n е нечетно число и от Лема1 следва, че f(x) има даже реален корен.
Нека s 1. Разглеждаме разширение Е на полето на комплексните числа С над, което f(x) се разлага на линейни множители.
,
където 1, . . , n Е и са корени на f(x) в Е.
Разглеждаме
H(x ; x1 , . . . ,xn)= ( множителя),
където с е произволно реално число. След като развием дясната част и направим съответните опростявания ще получим полином на променливата х, коефициентите на който са от пръстена на полиномите R[x1, . . , xn]. Разглеждаме транспозицията xi xj при тази транспозиция имаме
xi + xj + cxixj xj + xi + cxjxi
xi + xk + cxixk xj + xk + cxjxk , k j
Множителите, в които не участват xi и xj не се променят. Следователно произволна при транспозиция на променливите множителите на Н(х; x1, . . . , xn) се разместват, но тяхното произведение не се променя. Следователно при всяко разместване на променливите коефициентите на Н(х; x1, . . . , xn) не се променят. Това означава, че коефициентите пред степените на x са симетрични полиноми от пръстена R[x1, . . , xn]. Съгласно основното следствите на теоремата за симетрични полиноми коефициентите на h(x) = Н(х; 1, . . , n) ще бъдат реални числа, т.е.
(*) h(x) = R[x]
Имаме
с т.h(x) = = = = 2s-1k(2sk – 1) = 2s-1k , където k е нечетно число.
И така h(x) R[x] и ст.h(x) = 2s-1k, където k е нечетно число. Съгласно индуктивната хипотеза h(x) има комплексен корен С. Заместваме в (*) и получаваме
Тъй-като в Е няма делители на нулата, имаме = i + j + cij за някои индекси i и j. И така за всяко реално число с R сеществуват индекси i и j такива, че i + j + cij С. Понеже двойките индекси (i, j), където 1 i n и 1 j n са краен брой, а реалните числа са безброй много съществуват реални числа с1 с2, за които при едни и същи индекси i и j имаме:
ai + aj + c1aiaj = z1 C
ai + aj + c2aiaj = z2 C
като извадим тези равенства получаваме
C ,
и
C
Поради това C.
Разглеждаме
C[х]
От Лема 2 имаме, че t(x) има комплексен корен . Заместваме в (**) и получаваме
Тъй като в F няма делители на нулата имаме, че = i или = j. Следователно i или j е комплексно число. Теорема 1 е доказана□
Д-во на Теоремата на Даламбер:
Нека f(x) = C[x], 
Ако коефициентите са реални Теоремата на Даламбер следва от Теорема 1.
Ще предполагаме, че не всичките коефициенти са реални. Разглеждаме полинома
f1(x) = .
Където е комплексно спрегнатото число на . Разглеждаме също
h(x) = f(x).f1(x) = ,
Тъй-като имаме . Следователно за всяко к = 0, . . , 2n, т.е. h(x) R[x]. От Теорема1 имаме, че h(x) има комплексен корен C. Следователно
.
Тъй като в полето няма делители на нулата, или , или .
Ако , тогава f(x) има комплексен корен и теоремата е доказана.
Нека , т.е. . Тогава , т.е.

,
т.е. или комплексното число е корен на f(x)□
Следствие 1:
Над полето на комплексните числа C неразложими са само полиномите от първа степен.
Д-во:
Трябва да се докаже, че за всеки полином от степен по-голяма или равна на две е разложим в C.
Нека f(x) C[x] и ст.f(x) 2. Съгласно Теоремата на Даламбер f(x) има корен C. Следователно и C[x]. От ст.f(x) 2 следва, че ст.g(x) 1. Следователно f(x) e разложим над полето на комплексните числа.
Следствие 2:
Всеки неконстантен полином от C[x] се разлага на линейни множители над C.
Д-во:
Съгласно Следствие1 в каноничното разлагане на всеки неконстантен полином ще участват само полиноми от първа степен, което представлява желаното разлагане.
Определение:
Казваме, че полето F е алгебрично затворено, ако всеки неконстантен полином от F[x] се разлага на линейни множители над F.
От Следствие 2 става ясно, че полето на комплексните числа е алгебрично затворено.
Следствие 3:
Над полето на реалните числа неразложими са полиномите от първа степен и тези полиноми над R от втора степен, които нямат реални корени. Други неразложими полиноми в R[x] няма.
Д-во:
1) Нека f(x) има реални коефициенти и ст.f(x) = 2.
Aко f(x) е разложим над R, тогава корените на f(x) са реални. Ако f(x) има реален корен , тогава f(x) се разлага във вида:
и R[x],
където ст.g(x) = 1. Следователно f(x) е разложим над R. Поради това един полином с реални коефициенти от втора степен е разложим над R тогава и само тогава, когато има реални корени. Следователно един полином от втора степен е неразложим над полето на реалните числа тогава и само тогава, когато няма реални корени.
-
Нека ст.f(x) 3 и f(x) R [x]. Трябва да докажем, че f(x) е разложим над R.
Ако f(x) има реален корен , тогава f(x) се разлага във вида:
и R[x],
където ст.g(x) 2. Следователно f(x) е разложим над R.
Нека f(x) няма реални корени. Тогава от теоремата на Даламбер следва, че f(x) има комплексен корен, който не е реален, т.е. . Следователно в каноничното разлагане на f(x) ще участва , т.е.
Тъй като R [x] следва, че g(x) R [x]. От ст.f(x) 3, следва ст.g(x) 1. Следователно f(x) е разложим над R □
Следствие 4:
Всеки неконстантен полином f(x) R [x] може да се разложи по следния начин:
,
където i Rи R[x] и нямат реални корени.
Д-во:
От Следствие3 в каноничното разлагане на f(x) ще участват линейни множители и квадратни тричлени, които нямат реални корени.
Следствие 5:
Ако един неконстантен полином с реални коефициенти няма реални корени, тогава той се разлага на произведение на квадратни тричлени, които нямат реални корени. В тази ситуация полиномът има четна степен. □
Сподели с приятели: |