От частното към общото

За да се твърди това е необходимо строго доказателство.

Методът на математическата индукция се базира на открития от Блез Паскал Принцип на математическата индукция:

Ако едно множество М от естествени числа съдържа числото 1 и ако съдържайки числото n, съдържа и числото n +1, то М е множеството на естествените числа.
Пример 1: Да се намерят сумите:

А)

Б)

Решение: а) записваме сбора по два начина:

събираме почленно двете равенства и получаваме:

II начин: Намираме последователно S₁; S₂; S₃; S₄ и т.н. докато открием закономерност

В математиката обаче е възможно едно твърдение да е вярно за много частни случаи, но да не е вярно винаги.

Например: числото e просто за n = 1; 2; 3…39, но при n = 40 се получава съставно число: 40² + 40 + 41 = 40.( 1 + 40 ) + 41 = 40.41 + 41 = 41.(40 + 1) = 41.41 = 41²
За да докажем, че формула (1) е вярна за всяко n, ще проверим верността на S₅ като използваме вече намерената сума S_4.

получихме, че ако S₄ е вярна (т.е. ), то е вярна и S₅ ( т.е.).

Аналогично може да се провери верността на S₆ ( като знаем, че е вярна S₅ ), ако е вярна S₆, то е вярна и S₇ и т.н.

Ще обобщим горните разсъждения като приемем, че формулата е вярна за произволно естествено число k т.е. при n = k е изпълнено и ще докажем, че е вярна за следващото естествено число k + 1.

формулата е вярна и за формулата е вярна за всяко естествено число n.

Доказателството на задачата извършихме с метода на математическата индукция, който може да се формулира така:

може да приема за стойности всяко естествено число (

1. 
   Твърдението Т(n) е вярно за n=1.
   
2. 
   Допускаме, че е вярно твърдението Т(n) за n = k.
   
3. 
   Доказваме, че е твърдението Т(n) е вярно за n = k + 1
   

Тогава твърдението Т(n) е вярно за всяко .

1. 
   При пресмятане на суми:
   

1. 
   Извеждане на формули за дадени суми и доказването им:
   

Решение: n = 1 S₁ = 1

n = 2 S₂ = 1+3 = 4

n = 3 S₃ = 1+3+5 = 9

n = 4 S₄ = 1+3+5+7 = 16

n = 5 S₅ = 1+3+5+7+9 = 25

горните равенства ни дават основание да предположим, че
Доказателство:

1. при n = 1 S₁ = 1 – твърдението е вярно

2. допускаме, че формулата е вярна за n = k () т.е.

3. Ще докажем, че формулата е вярна и за n = k + 1 ( т.е. )

2. 
   Доказване на верността на дадени формули за суми.
   

Решение: 1. Проверяваме верността на формулата при n = 1

2. 
   Допускаме, че формулата е вярна при n = k
   

2. 
   Ще докажем верността на равенството за n = k + 1
   

.

2. 
   Доказване на делимост чрез принципа на математическата индукция.
   

.

- дели се на 3

2. допускаме, че твърдението е вярно за n = k т.е. се дели на 3

3. ще докажем, че твърдението е вярно за n = k + 1

3(к² + к + 2) се дели на 3

.

3. 
   Намиране на последна цифра на число.
   

.

2.допускаме, че твърдението е вярно за n = k т.е. = 10p + 1,

3. ще докажем, твърдението е вярно за n = k + 1

(1)
от допускането в т.2 : = 10p + 1 изразяваме и заместваме в (1).



числото завършва на 1

твърдението е вярно за n = k + 1 съгласно принципа на математическата индукция твърдението е вярно за всяко .

4. 
   Доказване на неравенства.
   

(

1. 
   Твърдението Т(n₀) е вярно като n₀n; n₀1; n₀
   
2. 
   Допускаме, че е вярно твърдението Т(n) за n = k n₀.
   
3. 
   Доказваме, че е твърдението Т(n) е вярно за n = k + 1
   

Тогава твърдението Т(n) е вярно за всяко n n₀.

Числото n₀ се нарича база на индукцията.

3,

8 > 7 твърдението е вярно

2. Допускаме, че твърдението е вярно за n = k т.е.

3. Ще докажем, че е вярно за n = k + 1

за да получим последното неравенство използваме неравенството:

2к + 2 > 3 2к > 1 , което е изпълнено за всяко

твърдението е вярно за n = k + 1 според принципа на математическата индукция то е вярно за всяко .

6 зад. Да се докаже, че ако и n 5, то

Доказателство: 1. проверяваме верността на твърдението при n = 5.

твърдението е вярно

2.Допускаме, че твърдението е вярно за n = k ( т.е.)

3. Ще докажем, че е вярно за n = k + 1 ( т.е. )

- използваме индукционното предположение

( тъй като к5)

(3к1 тъй като к 5 )

твърдението е вярно за n = k + 1 е вярно за всяко .

5. 
   Решаване на геометрични задачи чрез метода на математическата индукция.
   

получаваме триъгълник - 0 диагонала твърдението е вярно

2. Допускаме, че е вярно за n = k > 3

( т.е. к – ъгълникът има диагонала )

3. Ще докажем, че всеки к+1- ъгълник има диагонала

Разглеждаме произволен к+1- ъгълник ABCD…P. Ако начертаем диагонала му AC, то многоъгълникът се разделя на един к-ъгълник ACD…P и ∆ABC. Според индукционното предположение к-ъгълникът ACD…P има диагонала.

Но даденият к+1- ъгълник има освен диагоналите на к-ъгълника ACD…P има още диагонала АС и (к + 1) – 3 диагонала през върха В.

.

2. Допускаме, че твърдението е вярно за n = k > 1 т.е. k такива прави разделят равнината на части.

3. Ще докажем, че (к+1) прави разделят равнината на части:

Правата а пресича всяка от останалите прави и пресечните точки са различни. Тъй като останалите прави са к на брой, върху правата а има к точки, които я разделят на ( к – 1 ) отсечки и 2 лъча т.е. ( к + 1 ) части. Всички тези части на правата а лежат в различни части на равнината определени от останалите прави лежат в ( к + 1 ) части от равнината. Но всяка такава част от равнината се разделя от частта от правата а на още две части в равнината се получават още ( к + 1 ) части

1. 
   Да се докаже, че числото ()се дели на 133.
   
2. 
   Да се докаже, че ако , то числото се дели на 49.
   
3. 
   Да се докаже, че ако, то числото се дели на 25.
   
4. 
   Да се докаже, че ако , то числото се дели на 9.
   
5. 
   Да се докаже, че ако , то числото е кратно на 225.
   
6. 
   Да се докаже, че ако , то числото е кратно на 35.
   
7. 
   Да се докаже, че ако , то числото е кратно на 11.
   
8. 
   Да се докаже, че ако , то числото е кратно на 23.
   
9. 
   Да се докаже, че ако и , то числото завършва на 7.
   

1. 
   Да се докаже, че ако и , то е изпълнено неравенството: .
   
2. 
   Да се докаже, че ако и , то е изпълнено неравенството: .
   
3. 
   Да се докаже, че ако и , то е изпълнено неравенството: .
   
4. 
   Да се докаже, че неравенството за всяко .
   

5. 
   Да се докаже, че неравенството за всяко естествено число .