Отчет за 2005 г. На работата по проект за научни изследвания тема: Алгебра и алгебрична геометрия Ръководител: чл кор., ст н. с. I ст д. м н. Веселин Стоянов Дренски
Звено на БАН: Институт по Математика и Информатика
Рег. №
Попълва се от
БАН-ЦУ
ОТЧЕТ ЗА 2005 г.
НА РАБОТАТА ПО ПРОЕКТ ЗА НАУЧНИ ИЗСЛЕДВАНИЯ
Тема: Алгебра и алгебрична геометрия
Ръководител: чл.-кор., ст.н.с. I ст. д.м.н. Веселин Стоянов Дренски
Основни резултати получени през годината
Андрей Тодоров: Публикувани са две статии, една е приета за печат, а три са представени за печат.
Статията “Maximal unipotent monodromy for complete intersection CY manifolds” (в Amer. J. Math.) е съвместна с Бонг Лианг и Шинг-Тунг Яу. В средата на миналия век Лефшиц разви теорията на монодромиите за най-простите особености, коничните особености. В горната статия е развита теорията на монодромиите за най-общите особености. Намерени са някои приложения на теорията на струните. Статията се базира на идеи, развити в кандидатската дисертация на Андрей Тодоров.
Статията “Shafarevich conjecture for CY manifolds I” (в Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics) е съвместна с Кефенг Лю, Шинг-Тунг Яу и Канг Зу. В нея са намерени връзки между някои идеи от огледалната симетрия и проблем, поставен от Шафаревич.
Относно статията “Quantum background independence and Witten geometric quantization of the moduli of CY jhreefolds” (приета в “Communication in Mathematical Physics”). В една от своите статии Уитен пише: “Finding the right framework for intrinsic, background independent formulation of string theory is one of the main problems in the subject, and so far has remained out of reach...” В същата статия той очертава програма как да се реши този проблем в топологичната теория на полето. В горната статия Андрей Тодоров реализира тази програма.
Съавторите на Андрей Тодоров:
Проф. Яу от Харвард е един от най-забележителните математици на нашето време. Той е награден с Филдсов медал през 1982 г., аналога на Нобелова награда в математиката, с наградата Веблен на Американското математическо дружество, наградата Крауфорд на Шведската академия на науките за 1994 г. заедно с Доналдсън и с много други награди. Проф. Яу е член на Американската и Руската академии на науките и на много други чуждестранни академии. Неотдавна той беше награден от Американския конгрес на САЩ с Националния медал за наука на САЩ.
Цитати: И трите статии са цитирани многократно в литературата.
Статията “Maximal unipotent monodromy for complete intersection CY Manifolds” е дискутирана в пленарния доклад на проф. Манин на Европейския конгрес на математиците в Барцелона. Резултатите от същата статия са използвани от проф. Концевич (Филдсов медалист) в съвместната му работа със Сойбелман.
Статията “Shafarevich conjecture for CY manifolds I” е цитирана поне 7 пъти.
Статията “Quantum background independence and Witten geometric quantization of the moduli of CY threefolds” е цитирана поне 10 пъти.
Атанас Илиев:
Съвместно с Лоран Манивел от Инст. Фурие, Гренобъл е описано пространството от модули U(X) на векторни разслоения от ранг 2 с числа на Чжен c(1) = 1, c(2) = 6 върху многообразия на Фано от род 8. Доказано е, че компактификацията на Маруяма M(X) на U(X) е изоморфна на повърхнината F на Фано от прави върху асоциираната тримерна кубика Y(X) на X, при което границата M(X)-U(X) се влага в повърхнината F като гладка крива от род 26. Върху резултата е подготвена и приета статия за печат в Journal of Algebraic Geometry.
Съвместно с Кристиан Ранестад от университета на г. Осло, Норвегия е описана структурата на регулярна Лагранжева фибрация върху Хилбертовия куб на К3 повърхнини от род 9. Върху резултата е подготвена и приета приета статия за печат в International Journal of Mathematics.
Валентин Илиев: Получени са частични резултати за изомерите на циклопропана и за заместителните реакции между тях.
Васил Кънев: Доказана е неприводимостта на пространствата на Хурвиц, които параметризират класове от еквивалентност на покрития на Галоа на проективната права, чиито групи на Галоа са изоморфни на групи на Вайл, и разклоненията са прости, в смисъл, че локалните монодромии са отражения. Този резултат обобщава една класическа теорема на Клебш и Хурвиц.
Изследван е въпросът за унирационалност на пространства на Хурвиц, които параметризират класове на еквивалентност на прости покрития X --> Y, където Y е фиксирана гладка, проективна крива от род > 0 и е фиксирана детерминантата A ε Pic(Y) на модула на Чирнхаузен (без налагане на последното условие пространствата са неунирационални). Получен е резултат за унирационалност, когато степента на покритията не надвишава 5, броят на точките на разклонение е достатъчно голям и линейното разслоение А е достатъчно общо. Резултатът е аналог на известна теорема на Арбарело и Корналба за покрития на проективната права.
Веселин Дренски: Съвместно с Лилия Садикова (бивша сътрудничка на секцията, сега дипломантка по информатика в Аахен, Германия) е намерена минимална система пораждащи на алгебрата на инвариантите на две матрици от четвърти ред.
Съвместно с Роберто Ла Скала от Университета в Бари, Италия, са намерени минимални базиси на Грьобнер, отговарящи на две важни алгебри – универсалната обвиваща на свободната нилпотентна алгебра на Ли от клас 2 и от произволен ранг и относително свободната алгебра в многообразието от асоциативни алгебри, породено от грасмановата алгебра.
В цикъл от две статии с Джиетаи Ю от Университета в Хонг Конг са получени множество резултати за дивите автоморфизми и дивите координати на свободната асоциативна алгебра от ранг 3. Анонс на една от статиите е приет за печат в Proc. National Acad. Sci., което е с импакт-фактор около 10.
Съвместно с Пламен Коев (бивш наш дипломант, сега пост-док в MIT) и Алън Еделман от MIT е разработен и обоснован алгоритъм за пресмятане на симетрични функции, зададени спрямо базиса от функции на Шур, който е аналогичен на бързото преобразувание на Фурие, с очаквани многобройни приложения, включително и за задачи от практиката.
На базата на доклад по покана на Алгебричните дни в Анталия, Турция, е написан обзор за компютърен подход към матричните инварианти.
Георги Генов: Изчислен е в явен вид редът на кратностите на чистата (комутативна) и смесената (некомутативна) алгебра със следа, породена от две общи матрици от ред 4. В резултат е получен явният вид на кратностите и тяхното асимптотично поведение. Резултатите са изложени в излязла от печат съвместна статия с Веселин Дренски.
Георги Томанов: Описани са затворените орбити на максимални разложими торове върху хомогенни пространства.
Като приложение на горния резултат е доказано, че всяка разложима форма с дискретно множество от значения в целите точки е пропорционална на форма с рационални коефициенти.
Доказано е, че съществуват дивергентни орбити на разложими торове с размерност по-голяма от рационалния ранг на хомогенното пространство.
Резултатите са оформени в една статия от 45 стр., приета за печат в Comm. Math. Helv. и препринта Values of decomposable forms at S-integer points and tori orbits on homogeneous spaces, Max-Planck-Institut für Mathematik, Preprint Series 2005 (38) (25стр.).
Димитър Стефанов: Работил е върху дисертацията си в Университета в Талахасе, Флорида.
Димитър Циганчев: Общата проективна линейна група PGL(4) действа на проективното пространство параметризиращо повърхнините в P^3 (над поле с характеристика 0). Орбитата на повърхнина, под това действие, е естествен и интересен обект за изучаване. В резултат на изследванията през 2005 г. е намерна степента на затворената й обвивка, както и други инварианти в случая на повърхнини, които са колекции от (нередуцирани) равнини. Информацията се съдържа в коефициентите на т.н. predegree полином, който притежава добри мултипликативни свойства, помагащи за (лесното) намиране на полиноми в множество интересни частни случаи на конфигурации от равнини. В процес на завършване е статия на тема “Predegree polynimials of plane configurations”.
Иван Чипчаков: Намерено бе съответствие между крайните сепарабелни разширения на произволно стриктно квазилокално поле К с хензелево нормиране и нормените групи на тези разширения. Получените резултати характеризират изчерпателно разглежданите нормени групи сред подгрупите на мултипликативната група на К и представляват (в общия случай, неабелев) аналог на класическата локална теория на полетата от класове.
Татяна Гатева-Иванова: В духа на т.н. белязани двойки от полугрупи са изследвани теоретико-множествени решения на уравнението на Янг-Бакстер, (X, r), индуцирани от леви и десни действия на Х вьрху себе си. Зададена е характеристика (аксиоматично описание) на инволютивните решения свободни от кварати на езика на цикличните условия. Използвано е понятието белязани двоики от полугрупи за продьлжаване на решението (X, r) вьрху асоциираната полугрупа S=S(X, r) и е получено ново, индуцирано (винаги безкрайно) решение (S, r(S)). Изучени са регулярни разширения (Z,r) на (непресичащи се) решения (X, r_1) и (Y,r_2) в термините на белязани двойки от полугрупи, и е намерено (ефективно) условие, необходимо и достатьчно за да бьде регулярното разширение (Z,r) решение на уравнението на Янг-Бакстер.
Публикуван е един препринт от 49 стр., съвместно с известния английски математик Шахн Маджит (Tatiana Gateva-Ivanova, Shahn Majid, “Mathced pairs approach to set theoretic solutions of the Yang-Baxter equation”, The Abdus Salam International Centre for Theoretical Physics, Preprint IC/2005/058).
Публикации пълно библиографско описание за 2005 г. Статии излезли от печат: H. Aslaksen, V. Drensky, L. Sadikova, Defining relations of invariants of two 3 x 3 matrices, C.R. Acad. Bulg. Sci. 58, No. 6, 617-622 (2005).
I.D. Chipchakov, On nilpotent Galois groups and the scope of the norm limitation theorem in one-dimensional abstract local class field theory, (in the Proceedings of ICTAMI 05, 15.9-18.9, 2005, Alba Iulia, Romania) Acta Universitatis Apulensis 10, 149-167 (2005).
V. Drensky, Coordinates in ideals of polynomial algebras, in “Proceedings of the Special Session on Affine Algebraic Geometry”; Eds. J. Gutierrez, V. Shpilrain, J-T. Yu, Contemp. Math. 369, 85-95 (2005).
V. Drensky, G.K. Genov, Multiplicities in the trace cocharacter sequence of two 4 x 4 matrices, Mediterr. J. Math. 2, 231-241 (2005).
V. Drensky, C.K. Gupta, Constants of Weitzenböck derivations and invariants of unipotent transformations acting on relatively free algebras, J. Algebra 292, 393-428 (2005).
V. Drensky, A.I. Papistas, Automorphisms of free left nilpotent Leibniz algebras and fixed points, Commun. in Algebra, 2957-2975 (2005).
V. Drensky, J.-T. Yu, Automorphisms fixing a variable of K, J. Algebra 291, 250-258 (2005).
A.Iliev, K.Ranestad, Geomerry of the Lagrangian grassmannian LG(3,6) with application to Brill-Noether loci, Michigan Math. J., 53, No. 2, 383-417 (2005).
A.Iliev, L. Manivel, Severi varieties and their varieties of reductions, J. reine angew. Math. (Crelle’s Math. J.), 585, 93-139 (2005).
V. Kanev, Hurwitz spaces of quadruple coverings of elliptic curves and the moduli space of Аbelian threefolds А_3(1,1,4), Mathematische Nachrichten, 278, 154-172 (2005).
B. Lian, А. Todorov, S.-T. Yau, Maximal unipotent monodromy for complete
intersection CY manifolds, American Journal of Mathematics, 127, 1-50 (2005).
K. Liu, A. Todorov, S.-T. Yau, K. Zuo, Shafarevich conjecture for CY manifolds I, Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics, 1, No. 1, 28-67 (2005).
Статии приети за печат: F. Benanti, V. Drensky, Defining relations of noncommutative trace algebra of two 3 x 3 matrices, Adv. Appl. Math. (приета за печат).
I.D. Chipchakov, Class field theory for strictly quasilocal fields with Henselian discrete valuations, Manuscripta Mathematica (приета за печат).
V. Drensky, G.K. Genov, A. Valenti, Multiplicities in the mixed trace cocharacter sequence of two 3 x 3 matrices, International J. Algebra and Computations (приета за печат).
V. Drensky, J.-T. Yu, The strong Anick conjecture, Proc. Nat. Acad. Sci. (приета за печат).
A. Iliev, K. Ranestad, The abelian fibration on the Hilbert cube of a K3 surface of genus 9, International Journal of Mathematics (приета за печат).
A. Iliev, L. Manivel, Pfaffian lines and vector bundles on Fano threefolds of genus 8, Journal of Algebraic Geometry (приета за печат).
A. Iliev, L. Manivel, Varieties of reductions for gl(n), приета за печат в: Proceedings of the conference “Projective varieties…” in honour of G. Veronese, org. L. Chiantini, etc., Siena 8-12 June 2004.
V. Iliev, A short survey of Lunn-Senior’s model of isomerism in organic chemistry, Lecture Series on Computer and Computational Sciences, 1 (2005) (приета за печат).
V. Kanev, Hurwitz spaces of Galois coverings of P1, whose Galois groups are Weyl groups, Journal of Algebra (приета за печат).
A. Todorov, Quantum background independence and Witten geometric quantization of the moduli of CY threefolds, Communication in Mathematical Physics (приета за печат).
G. Tomanov, Flows on S-arithmetic spaces and metric Diophantine approximation, Comm.Math.Helv. (приета за печат).
План за работата през 2006 г.
Атанас Илиев
През 1993 г. беше показано от Донаги и Маркман, че относителният междинен якобиан върху пространството от модули на 3-мерни многоообразия на Калаби-Яо образува алгебрично интегруема Хамилтонова система, като условието за интегруемост беше изразено в термините на кубика на Юкава (кубика на Брайан-Грифитс). През 2005 г., въз основа на резултати на Тюрин и Бовил предположих съществуването на възможен аналог на резултата на Донаги и Маркман върху ограничени пространства от модули на 3-мерни многообразия на Фано, съдържащи фиксирана К3 повърхнина. През 2006 г. предвиждам започването на съвместна работа с Лоран Манивел от Инст. Фурие, Гренобъл върху проверката на
тази хипотеза.
През 2005 г. Ж. Савон и К. Йошиока доказаха общата хипотеза на Хюбрехтс (2001 г.) за съществувуне на регулярни Лагранжеви фибрации върху схеми на Хилберт на К3 повърхнини с примитивна поляризация от степен делима на удвоен точен квадрат. През 2006 г. планирам съвместна работа с Кристиан Ранестад от унив. на г. Осло, Норвегия върху геометричното описание на серията от Лагранжеви фибрации на Савон-Йошиока за серията от К3 повърхнини от степен делима на 8. Предположението за подобно описание произтича от резултати на А-Л. Кнутсен (2001) и Белтрамети-Сомезе (1988, 1993) върху секантните свойства на К3 повърхнини от степен делима на 4.
Валентин Илиев
Завършване на описанието на дериватите на циклопропана и на заместителните реакции между тях.
Васил Иванов Кънев
Ще работи върху доказателство на унирационалността на пространствата на Хурвиц на покрития на криви от род >= 1 от степен <= 5, с цел да се покрият случаите на малък брой точки на разклонение. Очаква, използвайки такива резултати, да завърши работата си по доказателство на унирационалност на пространствата от модули на тримерни абелови многообразия с поляризациu от тип (1,1,5) и от тип (1,5,5). Смята да работи също и върху един по-стар и още незавършен проект, отнасящ се до пространствата на Хурвиц параметризиращи покрития на Галоа на P1, чиито групи на Галоа са групи на Вайл от тип Е6 и тяхната връзка с пространството на Зигел, което параметризира главнополяризирани Абелови многообразия от размерност 6.
Веселин Дренски
Ще бъдат намерени някои определящи съотношения на алгебрата на инваринатите на две матрици от четвърти ред.
Съвместно с Джиетаи Ю от Университета в Хонг Конг ще бъдат продължени изследванията на автоморфизмите на свободни асоциативни алгебри.
Георги К. Генов
Ще продължат изследванията върху редовете на кратностите на алгебри от матрични инварианти. Ще продължат изследванията и върху изучаване на редовете на Хилберт на алгебрите на константите на някои унипотентни линейни оператори.
Георги Томанов Възнамерява да работи по хипотезата на Литълуд от теорията на диофантовите апроксимации на числата. Хипотезата допуска еквивалентна формулировка в термини на действия на групи върху хомогенни пространства.
Димитър Стефанов Изследване на влиянието на BMI (body mass index) като рисков фактор.
Димитър Циганчев Завършване в окончателен вид на статия за печат и представяне на дисертация в Университета в Талахасе, Флорида.
Иван Чипчаков
През тази година възнамерява да класифицира (с точност до изоморфизъм) абелевите групи, които се реализират като групи на Брауер на квазилокални полета, както и да завърши съдържателното обосноваване на едномерната локална теория на полета от класове. Основна задача в това направление е да се докаже предположението, че всяка периодична делима абелева група може да бъде реализирана като група на Брауер на поле K със следните свойства: а/ естественият хомоморфизъм на групи на Брауер Br(K) в Br(L) е сюрективен, за всяко крайно разширение L на K; б/ всяка крайна група се реализира като група на Галоа над K.
Татяна Гатева-Иванова
Ще изследва т.н. Braid Monoids В (полугрупи на плитките). Задачата е
1. Да се опишат класовете от полугрупи на плитките В, в които една специфична наредба, << е сьвместима с умножението. Това описание ще прави на езика на определящите сьотношения на В.
2. Получените резултати щe използва за алгебри на Хеке и групи на Коксетер.
Членове на работния колектив от звеното на БАН за 2005 г.
Учени (научно звание и степен, име и фамилия)
Специалисти с висше и средно образование (длъжност, име и фамилия)
Доц. д-р Андрей Николов Тодоров
Ст.н.с.II ст., д-р Атанас Илиев Илиев
Ст.н.с.II ст., д-р Валентин Ванков Илиев
Ст.н.с.II ст., д-р Васил Иванов Кънев
Чл.-кор., ст.н.с.I ст., д.м.н. Веселин Стоянов Дренски
Ст.н.с.II ст., д-р Георги Кузманов Генов
Ст.н.с.II ст., дмн Георги Методиев Томанов
Ст.н.с.II ст., д-р Иван Делчев Чипчаков
Ст.н.с.II ст., д-р Татяна Гатева-Иванова
Димитър Георгиев Стефанов
Димитър Георгиев Циганчев
Отчетът е приет от Научния съвет на звеното с Протокол № …………. от ……………., точка……………….
